极限运算的教学

极限运算的教学 篇1

一、利用极限四则运算法则求极限时必须强调是在极限存在的前提下进行的

由以往的教学实践来看, 学生在解题时往往不注意运算法则的前提, 以致发生错误. 例如求时, 学生往往错误地解成: 原式, 这里既产生了运算法则上的错误, 又产生了不定型运算上的错误, 因为当x→1 时, 的极限都不存在, 不符合极限运算法则的成立条件, 这里第一步发生了运算法则上的错误, 而第二步又发生了∞ - ∞ 不定型理解上的错误.

二、在求函数极限时既要注意函数的结构, 又要注意自变量的变化趋势, 对容易混淆的问题应注意加以比较

例如, 在讲二个重要极限时, 对于

对其极限过程和字母表示的意义要加以比较, 才能正确运用公式. 又如对于型问题, 学生往往不注意自变量的变化趋势而发生运算上的错误, 事实上由于自变量的变化趋势不同, 求极限的方法、结果也是不一样的. 所以在教学中应正确引导学生加以比较.

三、利用等价无穷小求极限必须注意的问题

利用等价无穷小求极限是一种很有效的方法, 在解题过程中它常常能起到化难为易、简化计算的作用. 这种方法的主要依据是等价无穷小代换原理, 即当x→x0时, α, β 为无穷小, 又 α' ~ α, β' ~ β, 且. 在应用该原理时要特别注意 α 与 α'、β 与 β'的等价性, 否则在计算过程中很容易出现错误.

例如在求时, 学生往往出现如下的错误解法:

解因当x→0时, tanx~x, sinx~x,

上述的错误原因在于学生没用考虑 α = tanx - sinx与α' = x - x≡0 的等价性. 事实上, 因为“0”是比任何其他无穷小都更高阶的无穷小, 因此这里的 α 与 α'并不是等价的, 所以在上述解题中作出的代换是不正确的. 上题的正确解法为:

那么在什么情况下才能对和、差进行等价代换呢? 或者如何保证和、差代换的正确性呢? 在此必须提醒同学正确的和、差等价无穷小代换有如下定理:

有了上述定理后, 教师就可以根据学生的具体情况给出下列习题作出讲解或练习的范例:

四、在求含有绝对值的极限时, 一定要学生重视以往学过的数学基本概念, 否则在解题时很容易出错

例如在求时, 学生常常错误地写成, 这里产生错误的原因就是忽视了绝对值的存在, 或者对绝对值的概念缺乏正确地理解, 对此在教学时老师一定要解释清楚, 以免学生在解题时发生类似的错误, 对于上题, 事实上

另外对于利用洛必塔法则求极限的教学, 则需要专门讨论, 这里就不叙述了.

摘要：在高等数学中, 极限运算的教学是最重要的教学内容之一, 笔者在教学实践中经常发现, 由于初学者对极限缺乏正确的认识, 因此在进行极限运算中常常出现错误, 为了帮助初学者正确掌握极限运算.本文根据电大的教学要求, 谈谈极限运算的教学.

关键词：高等数学,极限运算,极限教学

参考文献

[1]李林曙, 黎诣远.微积分[M].北京:高等教育出版社, 2005.7.

数列极限的运算性质 篇2

教学目标

1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．

2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．

3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想． 教学重点与难点

使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件． 教学过程

（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限

师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：lim1=0，limC=C，limqn=0（|q|<1）来解决。

nnnn例1：求下列极限：

7n33n2n(1)lim 3n4n1

师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．

生：可以分子、分母同除以n3，就能够求出极限．

师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？

师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？ 生：结果应该一样．

师：分子、分母同时除以2或2，能否求出极限？

n

n-

1（二）先求和再求极限 例2 求下列极限：

由学生自己先做，教师巡视．

判断正误．

生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．

师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？

生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．

=12． 师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．

例3求下列极限：

师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．

生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．

生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．

例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn，师：等比数列的前n项和Sn怎样表示？

师：看来此题要分情况讨论了．

师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：

师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同

（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限 师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：

例5计算：

题目不难，可由学生自己做． 师：（1）中的数列有什么特点？

师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？

（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1；

（四）利用极限的概念求数的取值范围

师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值． 生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．

师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？ 生：先求极限．

师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？

|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．

解得0＜m＜4．

师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？ 生：主要有三种类型：

（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限． 师：求数列极限应注意的问题是什么？ 生甲：要注意公式使用的条件．

生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．

上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．

（五）布置作业 1．填空题：

2．选择题：

则x的取值范围是[ ]． 的值是[ ]．

A．2 B．-2 C．1 D．-1 作业答案或提示

（7）a． 2．选择题：

（2）由于所给两个极限存在，所以an与bn的极限必存在，得方程

以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用． 课堂教学设计说明

1．掌握常用方法，深化学生思维． 数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的设计就是以此为目的的．

2．展示典型错误，培养严谨思维． 第二课时

数列极限的运算性质

教学目标：

1、掌握数列极限的运算性质；会利用这些性质计算数列的极限

2、掌握重要的极限计算公式：lim(1+1/n)n=e 教学过程：

一、数列极限的运算性质

如果liman=A，limbn=B，那么

（1）lim(an+bn)= liman+ limbn =A+B（2）lim(an-bn)= liman-limbn =A-B（3）lim(anbn)= liman limbn =AB（4）lim(an/bn)= liman/ limbn =A/B（B0，bn0）注意：运用这些性质时，每个数列必须要有极限，在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零。

数列的和的极限的运算性质可推广为：如果有限个数列都有极限，那么这有限个数列对应各项的和所组成的数列也有极限，且极限值等于这有限个数列的极限的和。类似地，对数列的积的极限的运算性质也可作这样的推广。注意：上述性质只能推广为有限个数列的和与积的运算，不能推广为无限个数列的和与积。

二、求数列极限

1、lim（5+1/n）=5

2、lim(n2-4)/n2=lim(1-4/n2)=1

3、lim(2+3/n)2=4

4、lim[(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)]=10

5、lim(3n2-2n-5)/(2n2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n2)=3/2 分析：由于lim(3n2-2n-5)及lim(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接应用商的极限运算性质进行计算。为了能应用极限的运算性质，可利用分式的性质先进行变形。在变形时分子、分母同时除以分子、分母中含n的最高次数项。

4、一个重要的数列极限

我们曾经学过自然对数的底e2.718，它是一个无理数，它是数列(1+1/n)n的极限。lim(1+1/n)n =e（证明将在高等数学中研究）求下列数列的极限

lim(1+1/n)2n+1 =lim(1+1/n)n (1+1/n)n (1+1/n)=ee1=e2 lim(1+3/n)n =lim[(1+1/(n/3))n/3] 3=e3

分析：在底数的两项中，一项为1，另一项为3/n，其中分子不是1，与关于e的重要极限的形式不相符合，为此需要作变形。其变形的目标是将分子中的3变为1，而不改变分式的值。为此可在3/n的分子、分母中同时除以3，但这样又出现了新的矛盾，即分母中的n/3与指数上的n以及取极限时n不相一致，为此再将指数上的n改成n/33，又因为n与n/3是等价的。

lim(1+1/(n+1))n=lim(1+1/(n+1))(n+1)-1=lim(1+1/(n+1))n+1/lim(1+1/(n+1))=e

练习：计算下列数列的极限

lim(3-1/2n)=3

lim(1/n2+1/n-2)(3/n-5/2)=5

lim(-3n2-1)/(4n2+1)=-3/4 lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2

lim(1+3/2n)2=1

lim(1+1/3n)2(2-1/(n+1)3=18=8 lim(1+1/n)3n+2=lim[(1+1/n)n] 3(1+1/n)2=e3

lim(1+4/n)n=e4

lim(1+1/(n+2))n+1=e lim[(n+5)/(n+4)]n=lim(1+1/(n+4))n=e

lim(1+2/(n+1))n=e2