离散数学课程教学论文 篇1
离散数学常作为各高校计算机科学与技术专业的专业基础课开设。但学生经常感到离散数学的内容很难理解, 对离散数学的实际用途提出疑问, 学习兴趣不高, 达不到学习的目的。
2. 课程内容和特点
采用的教材是屈婉玲等编著的《离散数学》[1]。本人主讲离散数学已经5年, 本校的授课学时是72学时。主要内容有数理逻辑、集合论、代数结构、图论四部分。本课程内容相关联的科目有人工智能, 数据库原理, 数据结构, 近世代数, 计算机网络, 算法设计与分析等等。涉及内容较多并且比较抽象和分散。各部分联系不够紧密, 学生掌握起来很困难。由于离散数学是计算机科学若干学科的基础, 书中的内容又包含了大量的定理。如果严格按照内容讲授课程, 很可能使学生感到像学习高等数学一样。教学效果必将大打折扣。因此根据课程的特点和内容, 进行教学方法和内容的改革, 提高学生的学习兴趣, 是急需要解决的问题。
3. 几种教学模式的应用
3.1 多媒体教学的应用
离散数学的教学中, 很多数院校只重视理论教学, 一直以来都延续着数学课的教学手段, 大多数老师采取“黑板和粉笔”的讲授方法。由于采用方法单一, 学生感到课堂教学比较单调, 并且不能收到很好的教学效果。随着多媒体技术引入教学, 多媒体教学课堂的增多, 不妨将上课地点设在多媒体教室。在多媒体教室上课要准备课程的幻灯片ppt, 但是并不是上课的老师完全按照ppt上的内容讲课。多媒体教学课件转换快, 学生不能很快捕获知识和不能仔细思考的缺点显现出来。本人认为ppt的内容主要是定理和概念。把一些不好讲解和难以理解的内容如果能做成ppt动画等效果, 这样学生学习会收到较好的效果。由于离散数学推理和证明较多, 这些过程的推导还是采用以黑板板书为主和幻灯片为辅助的教学方式为好。在黑板书写定理推论等内容不仅占用了课堂教学部分时间, 还消耗了教师的体力, 占用了黑板书写的面积。采用幻灯片播放定理和推论等内容很好地解决了上述问题。
3.2 采用实验教学的方法
在以前的离散数学教学中, 根本不开设实验课。但是, 本人认为实验课有必要开设。开设实验课有助于增进学生对定义定理的理解, 为抽象思维提供直观的思维背景, 使抽象的内容直观化、具体化, 为学生进行数学论证提供感性直觉的材料, 帮助学生更好地理解离散数学课程。作为课程内容的离散数学实验, 既要注重揭示概念、定理的形成和发展过程, 展示数学问题的解决过程, 又要与基本的离散数学思想挂钩, 有机地和教学相互结合、相互促进。离散数学最重要的应用就是在计算机方面, 如数据结构、算法分析与设计。教师可以结合数据结构, 精选某些算法, 让学生用程序语言实现, 然后体会所学定义定理的应用, 使抽象的理论具体化。比如欧拉图的判定、汉密尔顿图的判定以及最优二叉树等都可以通过小程序实现。由于离散数学内容多, 总授课学时较少。所以, 实验学时不宜多, 可以安排两次实验课, 实验内容为验证性实验, 还可以在理论教学中通过多媒体演示的方法供大家学习。
3.3 课堂教学多种方式的应用
在本人授课过程中, 不断有学生问到学习离散数学知识的作用。在开始讲解每章内容时候, 教师要先介绍本章的内容要点, 本章内容和其他计算机学科的知识联系和作用。这样学生不但有了初步印象, 而且学习时更具有目的性并且激发学习兴趣。
从教学内容上也可以引入一些趣味实例。比如在数理逻辑部分可以讲解逻辑学家的故事, 讲解命题逻辑知识用于电路设计的实际例子。对离散数学的内容做一些知识的扩展, 比如讲解图论内容的货郎担问题, 可以结合当前的研究热点, 可以介绍计算智能中的用于解决这个NP问题的一些算法和研究进展。这样不但丰富了学生的知识, 也增加了学生的学习兴趣。另外多多参考同类离散数学教材也是必要的方式。每个教材的编写都不是完美的, 各章节各有所长, 正好可以相互补充。例如屈婉玲[1]等编著的离散数学书75页第三组的推理定律, 书上没有详细的推导, 学生比较难以理解。左孝凌编著的离散数学[3]和相应的习题配套书给出了很好的解答。
采用图示法在教学过程中会收到很好的教学效果[4]。俗话说“千言万语不及一张图”。在离散数学教学中, 充分应用数形结合的思想方法, 对于发展学生的创造性思维, 培养学生的思维方式都有重要的作用。例如本人所用教材中的函数章节可以对函数的单射、满射、双射、复合映射很方便地用图来表示出来。代数系统章节中代数系统、半群、独异点、群的关系可以用集合论中的文氏图很好地表示出来。代数系统的同态和同构也可以画图形象化地表示。如果利用板书和绘制的简单图形相结合, 使学生更容易理解, 事半功倍。
对教材内容多进行归纳和总结, 相当于是把书读“薄”的一个过程。离散数学这样的理论性课程, 几乎每章节都有大量的新术语或定理, 晦涩难懂, 学生很容易产生畏难情绪。教师应该先把定理推导过程讲明白, 学生带着理解去记忆和应用, 效果才能更好。提炼相关内容的核心才能使内容变得“少”一点。例如本人对教材的46页数理逻辑的9个推理定律仔细推敲之后可以发现定律3可以推出定律4和5, 由定律6可以推导出定律7, 8, 9。在第六章集合代数中, 公式 (6.27) 是较重要的核心公式。它可以推出公式 (6.17) 和公式 (6.18) 等, 并且在很多的集合等式证明中起着重要的作用。
4. 结束语
随着计算机科学与技术的发展, 离散数学作为一门基础课程, 其教学方式需要教师不断地研究、总结和创新。在教学中不断地深入实践, 不断改进教学方法和手段, 才能收到越来越好的教学效果。
参考文献
[1]屈婉玲, 耿素云, 张立昂.离散数学[M].北京:清华大学出版社, 2008.
[2]郭晓姝.离散数学教学模式改进探讨[J].计算机教育, 2012 (5) :69-72.
[3]左孝凌, 李为继, 刘永才.离散数学[M].上海:上海科学技术文献出版社, 1982.
离散数学课程教学论文 篇2
“离散数学”课程是研究离散量的结构和相互间关系的一门学科, 它充分描述了计算机科学离散性的特点, 是计算机科学技术及相关专业的核心课程, 可以为计算机科学技术及相关专业的学生提供重要的理论基础, 例如程序设计语言、数据结构、数据库技术、算法分析、可计算性与计算复杂性理论、逻辑设计、系统结构、容错诊断、人工智能与机器定理证明等课程[1,2]。
为了能激发学生学习的积极性, 达到最佳的教学目的, 本文通过调研和结合近年来的教学实际情况, 从教学方法和手段等方面进行探索, 提出了基于PBL教学模式的“离散数学”课程教学创新实践。
1“离散数学”教学现状分析
“离散数学”是计算机科学技术及相关专业的骨干课程[3], 与其他计算机课程相比有相似的方面, 但也有其独特的地方, 分析“离散数学”课程的特点, 以及在教学实践中常存在的问题主要体现在以下几个方面:
(1) 离散数学定义多、定理多, 内容抽象, 逻辑性强, 大多数教师只重视理论知识的教授, 忽略了实践环节, 使学生误认为离散数学是一门理论课, 对本专业的实际应用作用不大, 因此不重视学习, 甚至出现厌学心理。
(2) 离散数学课程中的定义和定理难理解难记忆, 公式和证明也特别多, 有些学生掌握了基础知识, 也背会了定义、定理和公式, 但不会做题, 所以很多学生认为离散数学是一门难学的课程, 甚至有些学生认为离散数学是计算机专业中最难学的课程。
(3) 离散数学内容丰富, 包含数理逻辑、集合论、代数系统、图论、组合数学等多个知识点。大多数教师能认真深入地讲好每个知识点, 但是很少老师会把这些知识点之间的联系介绍出来, 所以使大部分学生误认为离散数学课程是由几个相互独立的知识点组成, 各知识点之间联系少, 缺少体系完整性, 导致学生对课程内容理解的不深入和透彻, 达不到学习目的。
(4) 离散数学内容多, 课时少, 一般高校在教学培养计划中将该课程设置为64学时, 甚至有的学校设置成54学时[4], 在这些学时中教师只能主要以追求讲授理论知识为主, 缺少理论联系实际的实践教学环节, 导致学生不知道到如何使用这门学科为计算机科学的应用和发展提供有效地服务。
针对“离散数学”课程的特点, 以及在教学实践中存在的这些问题, 本文提出一种基于PBL的教学模式用于“离散数学”课程的教学研究, 通过以问题为导向, 倡导以学生主动学习为主的教育方式使学生认识到学习离散数学对计算机专业的重要性, 以及激发学生学习的积极和主动性。
2 基于PBL离散数学教学方法
离散数学是计算机专业的一门核心课程, 为了提高教学质量, 达到教学目的, 以及理论知识与实践技能协同发展和互相促进, 本文提出了一种基于PBL教学模式的“离散数学”教学研究。其教学模式是:
(1) 上课前, 为了使学生对教学新内容产生浓厚的兴趣和强烈的求知欲, 提高学习效率和课堂的教学质量, 教师针对学生的专业知识特点及授课任务, 设计可行有效的教学方案, 并结合授课内容提出和专业知识相关的一道或若干道问题, 以问题为导向要求学生围绕所提问题充分预习教材、查找相关资料、课下分组探讨解决方案。例如在讲图论中的最短路径知识时可以向学生提出下面的从一个城市到另一个城市的最短路径问题, 使学生围绕该问题预习和探讨授课新内容。
所提问题:图1为7个城市A, B, C, D, E, F, G之间的一个公路图, 该图用G表示, 结点 (用V表示) 代表城市, 边 (用E表示) 代表城市之间的公路, 边上的权值 (用W表示) 表示该段公路的长度。考虑编写一个程序的算法, 该算法能够自动算出从一个城市到另一个城市的最短路径及距离。
(2) 课堂内, 教师首先鼓励学生积极发言, 让学生以解决问题为支架陈述其自学方法、自学过程、自学内容, 以及解决问题的方;然后教师讲授教学内容, 讲解应用教学新内容对所提出问题的解决方案;最后教师对学生所提出问题的解决方案给予评价, 对其有解决方法较好和具有创新想法的同学给予赞赏, 对解决方法不足之处给予补充, 以有效地培养和训练学生自主学习, 分析问题, 解决问题和创造思维能力。例如上面求最短路径问题, 我们首先讲解最短路径知识, 然后利用该知识给出下面的从一个城市到另一个城市的最短路径及距离的解决方案, 再对学生所提出问题的解决方案给予评价。
从一个城市到另一个城市的最短路径及距离的解决方案:给出一个城市到其余城市的最短路径及距离算法, 其它城市之间的最短路径及距离可以类似解出[5]。下面以图1中的A城市为例, 介绍一个城市到其余城市的最短路径及距离算法求解的主要步骤:
(1) 把图1中城市集合V分成两组:第一组为已求出最短路径的城市集合 (用S表示) , 第二组为其余未确定最短路径的城市集合 (用U表示) 。初始时, S只包含城市A, 即S={A}, A到A的距离为0。U包含除A外的其他城市, 即U={B, C, D, E, F, G}, U中各城市到城市A的距离为边上的权值 (若两城市之间有公路) 或∞ (若两顶点之间无公路) 。
(2) 把k加入S中 (该选定的距离就是城市A到城市k的最短路径长度) 。
(3) 以k为新考虑的中间点, 修改U中各城市的距离:若从城市A到城市u (u∈U) 的距离 (经过城市k) 比原来距离 (不经过城市k) 短, 则修改城市u的距离值, 修改后的距离值的城市k的距离加上边<k, u>上的权。
(4) 重复步骤 (b) 和 (c) 直到所有城市都包含在S中。
(3) 课堂后, 让学生上机实验, 把问题程序化, 以帮助学生加深对所学知识的理解与消化, 同时也锻炼学生编程能力和应用离散数学的理论知识解决计算机专业实际问题的能力。
3 结束语
针对“离散数学”课程特点, 本文通过调研和结合近年来的教学实际情况, 从教学方法和手段等方面进行探索, 提出了一种基于PBL教学模式的“离散数学”课程教学创新实践, 即教师课前提出问题———学生查找资料、分组讨论———教师教授新内容和给出问题的解决方案———学生上机实践。该模式即能给学生提供有针对性的思维支架, 激发学生学习的积极性, 又有助于教师从多方面考虑PBL理念的方法在教学中的应用, 提升教学设计的有效性, 达到教与学的目标。
摘要：本文针对计算机专业“离散数学”课程特点, 研究和探讨了基于PBL的教学实践。通过提供有针对性的思维支架, 让学生按照思维支架思考、分析、学习以及最后上机实践的教学过程来调动学生学习的积极性和促进学生对核心知识的掌握和实践技能的锻炼, 实现学习和实践技能协同发展, 互相促进达到教学目的。
关键词：离散数学,PBL,课堂教学,教学改革
参考文献
[1]屈婉玲.离散数学[M].高等教育出版社, 2008.
[2]文海英, 廖瑞华, 魏大宽.离散数学课程教学改革探索与实践[J].计算机教育, 2010, (6) :100-103.
[3]张蕾, 黄文芝.“离散结构”课程的教学探索[J].中国电力教育, 2011 (17) :96-101.
[4]谭作文.离散数学课程中实验教学探讨[J].计算机教育, 2010 (6) :106-109.
《离散数学》课程教学改革与实践 篇3
摘 要： 《离散数学》是针对网络和软件专业的学生所开设的专业必修课，该课程的学习有助于培养计算机方面的高科技人才的数学素养，培养学生应用《离散数学》的相关知识解决实际问题的能力。作者主要结合学生的学习反馈、学校的发展及教学实践，对《离散数学》这门课程的教学方法及改革提出了心得体会。
关键词： 教学改革 《离散数学》 现代化教学 讨论组
一、引言
《离散数学》是各高等院校理工科专业（尤其是网络和软件专业）的一门非常重要的必修课，它是现代数学的一个重要分支，该课程的核心内容主要是围绕离散量的有关数据及其的逻辑关系展开的。随着社会的发展及各个学科的不断进步，离散数学这门学科不仅仅为学生提供基础知识，更应该借助这门课程培养学生的逻辑推理能力、自主学习能力和抽象概括能力。从理论知识的角度分析，对于计算机科学与网络技术专业的学生来说，学好离散数学这门课程，可以为往后的专业课学习做铺垫、打基础。因为计算机科学与网络技术专业的学生的专业课程里包括算法与分析、数据库理论、操作系统、数据结构和自动化理论等，而对这些课程的学习理解都要以离散数学为基础。从培养能力的角度分析，学好离散数学这门学科，可以培养学生的逻辑推理能力和缜密概括能力，培养学生发现问题、思考问题和解决问题的能力。随着这些年教学工作的发展，《离散数学》这门学科有所变化，但是很多学生反映这门课程概念太多、内容过于抽象，而且理论性非常强。为了让学生更好地学习这门课程，作者将结合学生的学习反馈、学校的培养方案及教学经验，对《离散数学》这门课程的教学方法及改革给出心得体会。
二、内容体系
结合本校对学生的培养方案，《离散数学》这门学科所讲授的内容主要分为五大部分：数理逻辑、集合论、代数系统、图论和计算机科学中的应用。展开来说，主要讲解的内容有命题逻辑、谓词逻辑、集合与关系、代数结构及图论等。学习这门学科，一方面为软件、网络的学生学习专业课做铺垫，另一方面为了培养计算机方面的高技术人才所必备的基本数学素养。那么对于高校教师而言，如何找到一种有效的教学方法，使学生对《离散数学》这门学科感兴趣并高效学习，对于独立院校来说变得尤为重要。
三、《离散数学》在教育教学工作中存在的问题及相应的改革措施
1.《离散数学》在教育教学工作中存在的问题
《离散数学》的发展已有多年，它不仅在数学领域发挥着非常重要的作用，而且在计算机领域中起着不可替代的作用。近几年来，随着科学技术的发展，《离散数学》在教育教学工作中随之出现一些问题。相关的教学内容、教学计划、教学方法等都存在一些不足有待弥补。（1）传统的教学体制对于现代的学生来讲并不是很适用，它的弊端在于过去的教学主要以课本为主，把知识内容讲授给学生是老师的主要任务，教师的作用更突出一些。但与此同时传统教学也有独特的优点，传统教学主要利用课本、粉笔、黑板等手段将知识讲授给学生，突出言传身教的特点。这种教学方式可以拉近教师和学生之间的距离，教师引导学生学习，启发学生的思维创造力，这些行为不仅有助于促进师生感情，更有利于为学生的身心发展提供有利的条件。（2）随着社会的发展，现代化教学越来越普遍，以多媒体的出现为主要代表，让教学内容更丰富多彩，尤其对于数学这门学科，图画和动画的辅助能够达到非常好的效果。多媒体的出现，不仅让本学科的内容更丰富，而且让学生接触更多与之相关的其他内容。另外，使用多媒体讲课还可以有效地提高教学质量，PPT的使用既可以让丰富的教育教学资源得以共享，又可以促进师生互动。但是，多媒体教学有着局限性，由于多媒体放映过快，很容易使得课程推进过快，学生独立思考的时间减少，这就降低了学生的学习效率。另一方面，多媒体的使用会使得老师的注意力大多在多媒体上，而减少和学生的交流。我校采取的是现代化教学模式（多媒体教学），教材用的是上海科技文献出版的《离散数学》，这本书相对来说比较适合本校学生的基础及教学课时的安排。但是，离散数学这门学科对于大部分高校（尤其是独立学院）的学生来说免不了理论偏重和内容抽象。对于刚走进大学生活的孩子们，遇到理论性较强、内容有比较抽象的学科可能会不知所措，甚至学生都不知道这些跟自己的专业有何联系，经调查发现70%的学生缺乏学习兴趣，几乎50%的学生上课注意力不集中，玩手机现象严重。通过这两年的教学实践，发现对于独立学院要想完成培养应用型人才的任务，单纯地采取多媒体教学还是远远不够的，下面围绕《离散数学》在教育教学工作中存在的问题，谈谈对这些问题采取的改革措施.
2.《离散数学》课程教学改革措施
2.1注重基础教学。对于计算机专业的学生而言，离散数学主要是一门工具课，所以我校在教学的过程中适度淡化理论的推导，尽量将繁难及复杂的问题简单化，多突出基本的概念、技能、方法，涉及的性质和定理，最好以图形或简单的例题加以说明解释。这样既可以提高学生的学习积极性，又可以增强学生应用离散数学的知识解决实际问题的能力。
2.2采取多媒体板书相结合的教学手段。结合计算机专业学生的特点，在具体实施《离散数学》的教学过程中，主要采取多媒体和板书相结合的授课方法。由于讲解这门课程时需要大量的推导和计算，学生需要动手练习和独立思考，为了避免学生对学科细节和环节掌握得不够清晰、明白，不能单一地使用多媒体教学，否则很容易加快推进课程内容，黑板的使用有助于加强对学生的启发。教师使用黑板，既能够吸引学生的注意力，又能够留出时间让学生思考问题、分析问题，甚至解决问题，从而达到预期的教学目的。理论知识（主要是概念、性质和定理）以解释为主，重点放在其应用上。讲解知识和例题的时候，以多媒体为辅助工具，主要借助黑板进行讲解，习题课全部采用黑板教学。
2.3借助网络平台，建立离散数学讨论群。信息时代，手机成为学生们生活当中必不可少的一部分，从最开始只是接听电话到现在非常先进的智能化。让学生迷失了方向。他们把大部分时间和精力留给手机，却忽略他们来到大学校园的初衷。信息化的出现，对人们来说，既有利又有弊，结合学生的特点和心理，在这两个学期里，建立离散数学讨论群，为了提高学生的学习积极性，在群里设立奖惩措施，同时建立这个群不只是为了解决学习上的问题，还可以解决其他生活方面遇到的问题。这样不仅拉近我和学生之间的距离，更重要的是让学生充分利用时间学习。同学之间相互讨论，相互帮助，让他们既学到知识又学会做人。
3.实践成果
（1）教师教学能力和水平提高显著。项目组的教师能将教学当做人生事业追求，在教学各环节中严格要求自己，认真上好每堂课，起到为人师表的典范作用。项目组有青年教师教学竞赛三等奖1人。（2）学生的学习效果。实践表明，通过教学改革极大地调动了学生对离散数学的积极性。学生的出勤率、听课率明显提高，更愿意在老师的带领下好好学习。但由于时间紧张，项目的研究仍有不足之处。
参考文献：
[1]左孝凌.离散数学.上海科学技术文献出版社，1981.
[2]耿素云.离散数学.清华大学出版社.
对离散数学课程教学的整改意见 篇4
11月1日下午5点，作为任课教师，我在院二楼会议室组织了离散数学课程教学座谈会，参加会议的学生代表有软件工程0603班和0604班的赵丽娟、刘丽生、喻洪莲、张晓蛟、刘炜生、杨达、李陟、李孟哲、王新、柳纪胜、袁力皓、石顺共十二人。会上气氛活跃，师生们都对离散数学课程教学提出了很多很好的意见和建议。以下仅为我对学生的一些看法和对教学的整改意见。
一、对学生的看法
1、大部分学生上课认真听讲，上课能踊跃回答老师的提问；大部分同学作业认真完成，学习主动性强；部分同学很有钻研精神。
2、有少数几个同学上课时老坐在后排，且有打瞌睡现象；也有少数同学上课不带纸笔，对课堂练习不做；有个别学生有迟到和不按时交作业的现象。
3、少部分学生对概念理解不透，讲到后面时，对前面已讲的概念没记忆，导致思维连贯不起来。
4、总体上说学风较好，上课纪律较好，有一批积极上进的同学在起带头作用，与老师配合良好。
二、课程整改意见
1、把PPT的内容提前发给学生，供他们预习；
2、增加每次课的小作业量，利于学生对概念的复习巩固；
3、增加习题课时间，通过对习题讲解，加深学生对概念的理解与记忆；
4、增加课堂上提问环节，加强课堂互动气氛，集中学生注意力；
5、每次上课前几分钟复习上次课的新概念和知识点；
6、在讲授证明和推理过程时，重点放在整体思路分析上，并脱离PPT进行推演。
教师签名：
学生签名：
离散数学绪论课教学 篇5
1 离散数学简介
离散数学正式形成于20世纪70年代初期,主要包含五部分的内容:数理逻辑、集合论、代数系统、图论、形式语言和自动机。组成离散数学的五部分内容都有一定的发展历史。随着计算机学科不断的发展,离散数学也在不断的改革和变化。离散数学当前发展主要是沿着两个发展方向:一个是演算、另一个是算法。这两个方向平行发展。这几年由于人工智能的快速发展,促进了形式推理和代数结构的演算研究,同时在演算过程中强调算法的技巧。算法是计算机解决实际问题的主要手段。在计算机学科中占有非常重要的地位。所以在以后的离散数学中将加强自动机理论体系,并独立对算法进行研究。由于算法的发展,随之和算法相关的可计算性理论、不可计算性问题、算法分析与复杂性等理论也会迅速发展。因此离散数学进一步发展的内容,应该成为“理论计算机科学”的基础。
2 学习离散数学的重要性
2.1 离散数学在计算机学科中的地位
计算机学科中普遍采用了离散数学的基本概念、基本思想和基本方法,并把离散数学作为自己的理论基础和重要的数学工具。离散数学能够培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、归纳构造能力、创新能力、分析问题和解决问题能力。离散数学与计算机学科中的后续课程数据结构、操作系统、编译原理、算法分析、逻辑设计、机器定理证明等联系紧密,为它们提供了必要的数学基础,所以离散数学在计算机学科中占有非常重要的地位。
2.2 离散数学与编程的关系
计算理论与算法是计算机程序设计的灵魂。程序设计者都需要一定的数学修养。严格的说,一个离散数学基础不扎实的程序员不能算一个合格的程序员。如果离散数学和算法设计技术没有学好的话,这样的程序员基本上只能算是背程序的机器,只能停留在写写简单的classes或用SQL语句实现查询等基础的编程工作,对于一些需要用到离散数学知识的编程的工作就无能为力。为什么这样说呢,大家可以了解一下计算机解决实际问题的一个过程:“分析问题→建立数学模型→选择数据结构→设计算法→翻译成计算机语言”的过程。从在这个过程中,大家可以看出来最后一步才是通常所说的编程序。所以,学会C编程语言或者会用一两种开发工具只不过学会了最后一步,而前面的四步不学会的话,想用计算机解决实际问题的能力是非常有限的,除非是特别简单的问题。但是前面四步的掌握都与离散数学学习有关。所以要想成为一名合格的程序员,必须提高离散数学修养。
2.3 离散数学应用举例
数学的源泉在于应用。离散数学的应用主要是通过一些数学模型与学科的联系来实现的。这里以表格形式列出离散数学与计算机科学实际应用的一些结合点[4],如表1所示:
这样的“结合点”还很多很多,由上表同学们就可以看出离散数学在计算机科学中是最基础的学科了。学好离散数学是学好计算机的基础,这就是为什么计算机专业的研究生考试,离散数学都采用最难试题的缘由。
3 离散数学学习方法
3.1 了解离散数学与一般数学的区别
离散数学是计算机科学的数学,和一般的工程数学,计算数学都有一定的区别。传统的数学系一般开的主干课程有数学分析、微分方程、复变函数、泛函分析等。讨论的对象基本是连续的变量,关心的比较多的是解的存在性,唯一性,稳定性和收敛性等等。而离散数学作为计算机学科的基础数学,主要研究的对象是离散的量,比如说自然数、整数、有限个结点,{真,假},等等。离散数学涉及的结构类似于图、树、排列和组合这样的结构。并不热心于解的存在性等的讨论。比较注意的是概念的描述和能行性问题。离散数学的论证方法也和传统数学所采用的分析方法不一样.离散数学除了采用一般分析课程的分析方法外,最主要的论证方法是数学归纳法,构造法,反证法等。尤其是构造性证明方法体现了计算机科学的特性。程序员采用编程语言写代码解决实际问题的过程,其实就是程序员构造代码的过程。集合论中康托尔的对角线论证是构造性论证的范例,在图论当中好多定理的证明都采用的构造性证明的方法,所以学习离散数学可以很好的培养学生的构造性思想。同学们要充分了解离散数学与一般数学的区别,掌握离散数学的学习方法。
2.3 充分了解离散数学的特点、难点有针对性的学习
离散数学的特点是:内容散,概念多和好理解;难点是:离散数学概念多易忘。头几次离散数学上课一般都没有问题,容易给同学造成错觉,认为该课程简单,听不听都能学好,正如学习语言,一天记20个单词没有问题,天天记20个单词且保证以前记的不忘就太难了。当学生一旦忘记前面的概念,就会影响相关知识的学习,如果不及时补救就会形成连锁反应,所以并不是聪明的人才能学好离散数学,而是能够坚持的人才能学好。所以建议同学:除了认真听课,认真做作业,有问题及时解决外,能和同学做到每天讨论几分钟离散数学,加强概念的记忆。
2.4 学习离散数学的本质
在知识大爆炸的今天,学会知识的意义是有限的,学会学习的技能才是最重要的,学数学就是要做数学,学习离散数学也不例外,学习数学不仅限于学习数学知识,更重要的是学习数学思维。在平时学习中要善于总结和归纳。计算机系的学生对数学的要求跟数学系是不同的,跟物理的差别就更大。所以计算机系学生学习离散数学一定要先了解学习离散数学的主要目的是什么,学习这门课的主要目的是将理论再应用于实践,培养和训练自己的推理能力,这也是学习离散数学的本质。所以在做离散习题的时候不仅要掌握题目的解题方法,更要掌握解题的思路。对于定理的学习不能像学高等数学一样只记住结论,强调套用公式计算而不去深究它的由来。定理证明的过程恰巧是训练思维能力的过程。所以对定理证明过程的学习对于计算机系学生来说是非常重要的。
4 结论
总之,绪论课教学作为教师与学生的第一次接触,在整个学科教学中具有特殊的教学地位和重要意义,搞好离散数学绪论课的教学可以起到”抛砖引玉”的作用。此绪论课使学生充分认识到学习《离散数学》的重要性和必要性。并了解离散数学的学习方法,从而对本门课程的学习产生浓厚的学习兴趣,为学习好这门课奠定了基础。
摘要：离散数学是计算机专业的核心基础课,在教学中具有特殊的地位和作用。第一堂课是学好离散数学的关键。该文通过三个方面就如何上好离散数学绪论课做了探讨。
关键词：离散数学,绪论课,教学
参考文献
[1]Kenneth H.Rosen.离散数学及其应用[M].袁崇义,等译.北京:机械工业出版社,2006.
[2]杨卓娟,杨晓东.关于高校课程绪论教学的思考[J].中国大学教学,2011(12):39-41.
[3]黄震.《离散数学》课程在计算机科学中的作用及其应用[J].赤峰学院学报:自然科学版,2011.
离散数学的教学改革实践研究 篇6
关键词：离散数学,教学改革,翻转课堂
0前言
离散数学是研究离散对象和它们之间的关系的现代数学的一个重要分支, 具有内容多、体系松散、高度抽象及逻辑思维性强等特征, 既不同于传统的高等数学、线性代数的优美理论体系, 也不同于纯计算机算法、结构的实践课程, 而是一门理论和实践兼备的核心基础课, 因此广大教育工作者也在不断的改进其教学方法, 以适应该课程的特征。
1 目前离散数学的课程定位及教改现状
根据离散数学教学领域的权威专家及文献, 该课程的定位[1]为 (1) 在计算机科学与技术体系中有重要的基础理论支撑作用; (2) 对于培养学生的学科素质和掌握正确的学科方法是至关重要的; (3) 有利于学生进行将数学方法应用于计算机数据结构和算法的设计等创新实践活动。由于离散数学是一门相对年轻的课程, 其教学改革起步于近十年, 大部分围绕着以下四个方面开展:
1.1 教学内容的分类教学
由于开设该课程的专业包括计算机科学与技术、信息系统与信息管理、计算数学、软件工程等, 根据各专业培养目标可分为可科学型、工程型和应用型三种类型, 科学型对课程要求掌握的内容最多, 侧重点在理论框架的掌握和逻辑思维的训练, 工程型在数论要求上较科学型低, 而应用型则在加强应用而减少证明技术和数论理论教学内容。
1.2 教材的更新改进
传统教材以纯数学理论知识为主, 鲜有应用实例。近五年, 国内陆续出版了少数带有应用的教材, 逐步在每章的结尾及习题中出现了实践知识模块, 虽然占比不高, 但是已经是一种更能体现应用性的改进。而国外教材[2]显然在应用性、思维性训练上着墨更多, 更突显出离散数学作为编译原理、数据结构、数据库等关联或后续课程的理论支撑课程的作用, 内容上调整得更为大胆, 但在定义的表述上不够清楚简洁、习题开放性过大, 不太适合国内学生的学习习惯和课时要求。
1.3 教学方式的转变
随着的现代教育技术的推进, 离散数学也一样走入了多媒体教学的模式, 节省了大量的板书时间, 也使得在课堂上演示实践结果成果可能。在离散数学的很多模块中引入案例帮助学生理解该理论知识的应用性也是近年广大院校不断开展的教学改革环节。
1.4 考核试题和方式的多样化
正是由于越来越多的从教者意识到离散数学是一门理论与应用兼并的综合课程, 在考核试题上也由传统的单一理论题转变为理论及应用各占一定比例, 且增加了平时成绩、课外实践的占比, 让学生更加重视自学和解决实际问题的能力。
2 我校离散数学教学改革的实践研究
我校信息管理与信息系统专业、计算机科学与技术专业分别开设了56学时、80学时的离散数学课程, 通过参照其他院校的经验和本校长期的教学实践改革, 基于提高学生学习兴趣和实践创新能力的目标, 我们也摸索出了一些新的教学改革措施:
2.1 多种教材、资源的整合
首先, 教材是教师开展教学和学生课外学习的基础, 前文也提到了国内外教材各有优缺点, 所以我们不拘于一本教材, 将多本教材及网络资源的优点集于一身, 例如在知识点的引入上借鉴国外教材的实例, 在定义上采用国内教材的简明描述, 定理推导证明时参考国外教材的思路说明, 讲解例题时坚持国内教材的逐步多层次加深, 简单章节直接利用播客、慕课等教学资源, 作为学生的自学内容, 而习题和课外思考题则可在国内外教材中优选。
2.2 混合教学模式的采用
由于离散数学的各个模块特征差异较大, 例如数理逻辑具有高度的逻辑性、图论具有超强的应用性等等, 在教学方式上也需要因“特征”施教, 对于开放性、综合性的模块可采用翻转课堂, 对于实践性强的模块采用PBL (problem based learning) 教学, 对于较抽象的模块采用CBL (case based learning) 教学等;
例如我们在分治算法的教学中, 前期学生通过慕课资源自学基本概念, 再采用小组讨论以下问题并上交讨论结果:
(1) 请描述一下你在C语言中所学过的冒泡排序法的基本思路?
(2) 请通过查找的资料, 讨论两种新方法:二分归并排序法、快速排序法的基本思路?
(3) 请运用上述三种算法实现数组[3, 7, 2, 5, 6, 4, 1, 8]的具体排序过程?
(4) 这三种算法的算法复杂度T (n) 分别为多少?
(5) 这三种算法的优缺点是怎样的?如何理解“分治”的思路?
(6) 实验:三种算法的编程如何实现? (语言自选, 上交代码)
并对该次翻转课堂进行考核 (包括自我评分、组员匿名评分、导师评分) , 如下表:
在此混合模式中, 不仅调动学生自主学习积极性、锻炼学生的数学思维能力, 且在培养团队精神和提高实践能力上也实现了较好的效果。
2.3 以应用为驱动, 将数学建模与离散数学相结合
数学建模是一个将数学应用于实际问题并用计算机方法进行求解的过程, 在其实践过程中有大量的环节都需要用到离散数学中的理论和该理论的计算机实现。例如:图论的最短路径算法在2011年全国大学生数学建模竞赛B题第一问中的应用实现, 可以布置成一篇课外的实践论文, 让学生完整的解决一个实际问题。
3 总结和展望
(上接第36页) 引导学生掌握正确数学思维和方法, 建立理论与实践之间桥梁的重要渠道, 我们应在思维和应用的培养上进一步的深化教改。因此, 我们在加强教师自身对离散数学与其他学科的交叉应用的掌握, 补充翻转课堂所需资源, 致力开展正式的实验课时等方面还可以继续完善, 让学生学有所乐、学以致用、学会创新。
参考文献
[1]屈婉玲, 王元元, 傅彦, 等.“离散数学”课程教学实施方案[J].中国大学教学, 2011 (1) :39-41.
[2]Rosen K H.Discrete Mathematics and Its Applications[M].7版.北京:机械工业出版社, 2012.
离散数学课程教学论文 篇7
关键词：悖论,离散数学,教学
离散数学作为计算机专业的核心专业基础课, 是学习许多计算机专业课程的先决条件。如何更好地开展离散数学教学意义重大, 是每个该门课程授课教师应认真思考的问题。作者在针对计算机科学与技术、信息与计算科学等专业的离散数学教学实践中, 探索出一条基于悖论的离散数学教学思路, 取得了较好的效果。
悖论, 即在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论, 但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人类对某些概念的理解认识不够深刻所致。悖论的成因极为复杂且深刻, 对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展, 因此具有重要意义。难怪对于悖论曾有这样的评论:“当悖论提出时, 问题已经解决一半了。”
在离散数学的教学内容中, 牵涉到一系列的悖论, 这些悖论在当时引起争议, 在争议中推动了理论的进步与发展。对于学生来说, 接触到悖论时, 都会在思想上产生惊讶, 引起强烈的学习兴趣, 这是因为悖论与学生受到的形式逻辑的教育形成鲜明的反差, 因此在离散数学的教学中追本溯源引入悖论具有积极、重要的教学意义。
一、秃头悖论
秃头悖论描述:设n为某人头发的根数 (n≥0) , 基于数学归纳法:
1. n=0时, 此人为秃子
2. 假设n=k时, 此人为秃子
3. n=k+1时, 由于相比情况2仅仅多出一根头发, 因此, 此人仍是秃子, 即世界上所有的人都是秃子。
显然这一论断是不成立的, 分析其原因, 在于推导中使用了“秃子”这一模糊概念, 即人到底有多少根头发算作秃子没有精确的标准和定义。
要解决秃头悖论, 关键在于类似“秃子”这样模糊概念的表示, 从而引出模糊集合的特征函数定义以及隶属度的概念。
二、无穷饭店
无穷饭店描述:
“无穷饭店”是银河系中心的一家巨大的旅馆。它拥有无穷多个房间, 这些房间通过黑洞伸展到更高级的时空领域。房间号从1开始, 无限制地排下去。
情况1:一天, 这个旅店的客房全住进了客人, 这时来了一位飞碟驾驶员要住宿。尽管已经没有空房间了, 但旅店老板仍然给驾驶员找到了一个房间:把原来住在各个房间里的房客都一一移到高一号的房间。从而空出第1号房间使用。
情况2:第二天又来了五对夫妇渡蜜月。老板只需把每个客人都一一移到高5号的房间中去, 空出的1到5号房就给这5对夫妇即可。
情况3:周末, 又有无穷多个推销员来这家旅馆开会。此时老板只需把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就可以。
无穷饭店乍一看似乎是不可能的, 因为它似乎违背了我们常常遵循的局部小于整体这一原则, 但当学习集合的基数以及等势的概念后, 无穷饭店这一悖论也就能够理解了。基于一一映射 (双射) 的方法, 不论是有限集还是无限集, 两个集合间可建立等势的概念。
无穷饭店的所有房间号可视为自然数集合N={1, 2, 3, 4, ……}, 对于情况1, 老板将原来客人的房间号均加1, 使得原房客的房间号集合对应到A={2, 3, 4, 5, ……}, N与A存在双射f (x) =x+1;因此, 所以老板可在保持原来房客住宿容量的情况下腾出一个房间。情况2与情况1类似。对于情况3, 原有房客的房间号集合被调整为C={2, 4, 6, 8, ……}, N与C之间存在一个双射f (x) =2x;因此, 所以老板可在保持原有住宿容量的情况下为推销员们腾出无穷多个房间[1]。
通过无穷饭店这一悖论, 在思考中加深了对集合基数以及两集合等势的概念理解。
三、理发师悖论 (罗素悖论)
理发师悖论描述:一位乡村理发师, 宣称他不给村子里任何自己刮脸的人刮脸, 但给所有不自己刮脸的人刮脸。此时有人问:“那您自己给不给自己刮脸?”理发师无言以对。事实上, 理发师悖论是罗素悖论的通俗描述。下面介绍罗素悖论:
对于大部分集合是不满足它与自身的属于关系的, 例如, 26个英文字母的集合A={a, b, c, ……, y, z}, 显然对于集合。但是有的集合, 例如“集合B是由2个以上元素的集合为元素组成的集合”, 则{1, 2, 3}、{1, 2, 3, 4}、{1, 2, 3, 5}等这些集合中的元素个数都是大于2, 因此都是集合B中的元素, 从而集合B中的元素数亦大于2, 因此有。
由此, 由康托尔最初所提出的“朴素集合论”, 会出现集合不是自己的元素、或者集合是自己元素的情况。
基于以上, 罗素构造集合, 提出问题“吗?”经过思考后会发现这个问题无法解答。首先, 若, 则按照P的定义有;其次, 若, 则按照P的定义有;即无论做何种解答都会出现矛盾的结论, 称之为罗素悖论[2]。
罗素悖论引发第三次数学危机, 自此之后一大群数学精英为了推进集合论的发展, 先后为剔除“罗素悖论”前赴后继。其中的理论改革中, 以法国数学家策墨罗提出的方案最为彻底, 即他与弗伦克尔合作提出的ZF公理。
理发师悖论以及罗素悖论的引入, 不仅让学生生动了解集合理论的发展历程, 同时进一步加深了对集合概念的理解。
四、结论
悖论由于与平常的教学知识的灌输与众不同, 使得往往在悖论的引入中, 学生全神贯注, 积极思考悖论的产生原因, 在潜移默化中达到了知识的灌输与强化作用, 学生反响不错, 因此, 有必要在今后的教学中挖掘更多更好的悖论, 以悖论促教学, 提高教学质量, 实现素质教育。
参考文献
[1]左孝凌, 李为, 刘永才.离散数学[M].上海:上海科学技术文献出版社, 1982.
[2]屈婉玲, 耿素云, 张立昂.离散数学[M].北京:高等教育出版社, 2008.
离散数学课程教学论文 篇8
关键词 建构主义理论；离散数学；抛锚式教学
中图分类号：G642 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2016）20-0099-03
Abstract The constructivism is introduced into Discrete Mathema-tics in this paper， which use the anchor teaching method to present the teaching contents. It is concluded that the constructivism theory can perform well in Discrete Mathematics by three experiments on different grades.
Key words constructivism theory； discrete mathematics； anchored teaching
1 引言
离散数学是研究离散结构、对象和状态以及它们之间关系的一门学科，是计算机科学、软件工程及电子信息工程领域各专业重要的基础理论课程，也是诸如数据结构、编译技术、操作系统、信息安全、算法设计与分析、数据库等多门课程的先行课程[1]。在开设本课程前，本科学生主要接触的数学问题都是基于实数问题的高等数学、概率论及线性代数等课程，对离散状态理解较少。而离散数学研究对象比较抽象，学生对离散数学的定义、定理及其应用很难准确掌握和灵活应用，导致很多学生害怕学习离散数学，久而久之就对该课程产生厌倦情绪。因此，如何提高学生学习离散数学的兴趣，是诸多从事离散数学教学的教师亟待解决的一个重要问题[2]。
然而，离散数学的学习者是具有较强学习能力的大学本科一、二年级的学生，经过义务教学阶段及高中阶段的学习后，已经具有较强的学习和分析问题的能力。他们通过对初等几何、初等代数、高等数学、微积分、线性代数及概率统计的学习，在数学推理、数学逻辑、代数运算等领域已经具备初步的知识体系。因此，帮助学生将已经建立的初步知识体系迁移到离散数学的学习，进而利用已有的数学知识分析离散问题，培养学生主动学习的能力，提高学生的学习兴趣，具有较强的教学研究价值和实际的教学意义。
2 建构主义学习理论及教学模式分析
建构主义（Constructivism）由认知主义发展而来，最早可以追溯到皮亚杰的“日内瓦学派”。他强调认知过程是一种心理过程，坚持从内因与外因的相互作用的观点来研究认知的发展[3-4]。建构主义理论认为学习是学习者以自己原有的经验为基础，建立与原有知识的映射关系，来构建新的知识的过程。因此，建构主义教学模式强调“以学生为中心”，认为学生是学习知识的主体，是知识构建的积极主动者，教师的作用在于帮助和促进学生学习这个中心[5]。
著名的教育学家何克抗先生在总结国内外关于建构主义教学理论研究的基础上，总结出支架式教学、抛锚式教学、随机进入教学三种教学模式[5]。余胜泉等人总结出基于建构主义的教学设计模式，如图1所示[4]。建构主义教学设计模式是以问题（或项目、案例、分歧）为核心，建立学习“定向点”，通过设计“学习情境”“学习资源”“学习策略”“认知工具”“管理和帮助”而展开，它们共同服务于由教学目标、学习者、学习内容而决定的学习任务（问题、案例、项目、分歧）这一核心。
3 基于建构主义学习理论的课堂教学设计
资料与分析对象 本文选择武汉大学软件学院2009级、2012级和2013级本科生的离散数学教学为分析对象。在三个不同的教学年度中，笔者承担6个班级的离散数学教学课程，每个班级分为2个大班教学，每个班的教学人数大致相当，学生学习背景大致相当。在教学研究中，将2个平行班级随机分配为对照班和实验班，其中对照班采用传统讲授型教学方式进行教学，而实验班采用建构主义教学方式引导学生自主性学习。在实验班中采用的建构主义教学策略为抛锚式教学策略，根据学生已有的知识背景，建立教学锚点，引导学生自主性探究学习。
在三个不同的教学年度采用的参考教材各不相同，其中2009级的两个班级选用刘玉珍、刘咏梅编著的武汉大学出版社出版的《离散数学（修订版）》作为参考教材[6]，2012级的两个班级选用屈婉玲、耿素云、张立昂编著的清华大学出版社出版的《离散数学（第2版）》作为参考教材[7]，2013级的两个班级选用Kenneth H. Rosen编著的机械工业出版社影印版《离散数学及其应用》作为教材[8]。
对照班选用的讲稿来自于教材的配套PPT，而实验班采用的讲稿是经过建构主义教学策略修改的PPT资料。课程实施时，对照班和实验班均采用相同的课外作业及课外阅读材料。
教学案例 本文以“关系的性质定义和判别”为例，按照建构主义教学策略重新设计课程内容及PPT。“关系的性质定义和判别”这节课程主要包括关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性。每个教学内容分为定义、举例、性质在三种不同表达方法中的特点、充要条件及证明过程等5个不同的教学任务。
对于关系的自反性与反自反性部分，采用抛锚式教学方法进行设计，具体设计案例见图2。
4 教学效果分析
本文采用建构主义教学策略和普通讲授为主的教学策略，对武汉大学国际软件学院的2009级、2012级以及2013级学生进行对比教学，教学成果统计如表1所示。
对比教学发现，与对照班相比较，2009级及2013级实验班在各个分数段中的比例均有显著性提高。虽然2012级实验班的综合成绩也比对照班有提高，但相对于2009级和2013级而言，提高程度不显著。引起这种现象的可能性原因在于2009级采用的教学参考书为武汉大学出版社出版的刘玉珍等编著的《离散数学》，该教学参考书知识覆盖面较广、难度较大。2013级采用的教学参考书为Kenneth H. Rosen编著的机械工业出版社影印版《离散数学及其应用》，该参考书用英语编写，内容翔实，但学生在理解语言方面存在偏差，因此教学参考书的难度也比较大。2012级采用的是屈婉玲、耿素云、张立昂编著的清华大学出版社出版的《离散数学（第2版）》作为参考教材，该教材中具有大量翔实的教学案例，降低了学生的学习难度。
因此，笔者认为：采用建构主义教学方法，在教学过程中建立教学锚点，能及时为学生在学习过程中寻找可类比的知识点，能促进学生学习，学习效果明显；相比较而言，教学参考书越抽象，采用建构主义教学方法越能启发学生学习，学习效果也越明显。
参考文献
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[6]刘玉珍，刘咏梅.离散数学（修订版）[M].武汉：武汉大学出版社，2006.
[7]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].2版.北京：清华大学出版社，2008.
离散数学课程教学论文 篇9
1 概述
自从1978年高考恢复以来，我国的高等教育得到了长足的发展，特别是进入21世纪，随着国家经济的高速增长，高等教育也在各个方面得以迅速发展。尽管高等教育模式已持续发展30多年，但是高教课堂上的教与学之间的关系依然极其复杂，并且模式也随着社会的变革也开始不断的在发生微妙的变化。比如在过去的课堂上，基本是以板书为主，以学生听为主，互动性较差，形象性也比较差。计算机的发展使得这种模式发生变化，现在的大学课堂基本是板书结合媒体，这样更有利于将知识形象化，学生也较容易明白。但同时这也带来一系列的问题，比如学生能够记下的知识较少，因为媒体的播放速度较快，加入的知识点也较宽，学生在短时间以内很难记住所有点。再有，计算机手段越高，学生亲自去写的就越少，这对学生并没有利处。
离散数学作为计算机专业的一门基础课程，有着理论知识点多而复杂，理解困难，难于找到实际实例与之结合特点，在多种学科中有其应用[1-3].因此，离散数学的教学对于教师的要求就显得更高，教师不仅要把书本上的理论知识点传授给学生，而且要让学生真正的能够融会贯通，举一反三。但就本人所了解到的情况而言，上过离散数学的学生基本给出的统一答案是知识点多，抽象性强[4-5],不易理解。在我从教的四年时间里，我不得不思考该如何设计知识点，能够做到让学生既能记住知识点，又能真正的应用知识点。该文结合自己在高校里从教的四年经历，简单谈谈对计算机中基础课程离散数学教学的认识和可能的改进之处。文章将从教材建设，教学方法和实验教学的角度，探讨在现代课堂中离散数学教学应该需要考虑的几点。
2 教材内容的建设
现代的计算机研究表明，每一次的突破不仅是技术上的，也包含理论上的，特别是理论知识的进步。这就要求学生要从根本上将理论知识打牢。离散数学是一门综合性的计算机学科。它包含数理逻辑，集合论，代数和图论等内容，基于一般的教材已不能适应学生的需求。由于离散数学内容繁多，学生难以理解，也不知其到底在计算机学科中起到什么样的作用，而导致多数学生厌烦学习离散数学。这里其中之一的原因在于教材内容的建设还不够丰富，作者认为应该当将离散数学知识点与实际的实例结合起来或与计算机其它学科里的实例相结合来阐述所要表达的知识点。因此，我们认为离散数学教材的建设[6-7]
应该必需要考虑以下几点：
1) 教材应该具有内容精，范围广，知识点新，知识点实例化特点。当然教材的建设应该也要注重重点内容突出的特点。
2) 结合数学建模竞赛，应该将数学建模中的思想，内容引入到离散数学教材的建设上来。这样有利于学生有一个整体的认识，能够知道一个知识点在一个实际的`案例中应该如何去应用，去展现。
3) 实验环节的设计。现在市场上所出版的教材多数学是理论与实验相脱节的，一些内容阐述很好的教材，但并未引入实验环节。
4) 注重教材内容的深度和广度的设计，可以分两部分安排，一部分是较易理解的点，再设计一部分比较深的知识点。这样可以有利于学有余力的学生做一些补充，也能够做到让学生知识哪些知识是基本知识点，哪些是深层次的知识点。
3 教学方法的改进在传统型
课堂教学上，教师基本都是以板书和粉笔为展现方式，并且大都以书本知识点为出发向学生传授知识。学生在课堂上没有自主的意识，整个课堂呈现出一片寂静。比如，特别是在介绍离散数学代数理论部分，如果仅仅是按照书，将内容和示例写在黑板上来讲解，笔者认为这不利于学生的消化。从作者所在学校四年的教学上来看，大部分学生对于这部分的理解也仅仅是记住知识点，时间一长，自然就丢掉。考试中也不能做到举一反三，一旦将题目换掉，即使是考相同的知识点，依然有多数同学不能够正确解答。因此，现代课堂中的教学方法和手段必需要加以改进[8-10].
3.1引入多媒体教学
多媒体课件并不是简单的罗列书本上的知识点，而是能将具体的知识点用更加形象化的东西展现给学生，这样能使学生更容易接受。离散数学图论部分尤其需要借助多媒体。图论中每个知识点的讲解都要牵扯到图。因此，我们可以只利用一个图配以动画就把所有知识点给讲解完，这既刺激学生的感觉器官，又能提高学生的兴趣，帮助学生更快的掌握图的相关概念。很多教师也注意到这一点，但是很多情况下没有取得预期的效果。作者这几年也尝试着将PPT引入到离散数学的教学中来，但收效甚微，这主要是由于知识点的形象化不够。因为如果仅仅是将书本上的知识点放到PPT上，然后进行讲解，这反而不如在黑板上讲解。这里最大的问是形象化教学不够。
3.2 加强形象化教学
离散数学难，主要难在知识点多，不易于理解。课堂上必需要激发学生的兴趣，应该加大形象化教学[11-12].这对教师将是一个非常大的挑战，他们需要收集更多的资料，并进行分析，将离散数学中的知识点融入到实际案例中，并表达出来。因此，仅仅借助于多媒体并不一定能很好地阐述知识点，但当把一个知识点结合工程实例来讲解的话，效果完全不一样。例如，在介绍什么叫代数这一节时，通过引入一个例子，学生就能更加明白，也更加容易记住。如下表1所示，是作者上课所采用的案例。
3.3 结合数学建模讲解
离散数学中每章的知识点比较独立，自成一体系。例如在代数这一章里，它的内容与数理逻辑，集合关系不太大。但是代数本身就是一个体系，一个对象而已。实际在离散数学教材里，关于代数知识点的介绍就是一个数学建模的过程。从一开始学生不知道代数是什么，然后到代数结构(模型)，再到代数的性质和优点。这与数学建模如出一辄。因此，引入数学建模的内容将有利于学生更加系统地了解离散数学知识点的用处，以及在实际问题中如何应用。它可以煅炼学生对现实问题进行深入细微的观察和分析，又需要学生灵活巧妙地利用各种数学知识。
4 实验教学的引入与实验教材的建设
离散数学的知识点多而繁杂，仅仅依靠课堂上的理论内容的讲解远远不够。为此，要能够让学生学以致用，在离散数学的教学过程中加入一些实验，既能对离散数学的理论知识进行很好的验证，同时也能巩固先导课程的学习内容，以及为后续课程的学习打下基础。不过可惜的是，据作者所了解，大部分的院校不仅没有开设实验教学，还将理论课时缩减，笔者所在学校也没有开设实验教学。因此，在上完课有许多同学都会觉得所上知识点有何用，能干什么，不像其它课程，学完可以直接去编程，然后出结果，一看就知道对不对。在四年的教学过程中，我也深感实验教学的重要性，它对学生进一步理解书本上的知识点更加重要。当然我也在实验教学过程中引入了一部分的实验，效果还不错，例如，在上图论这一章，为了加强学生对理论内容的理解，我就要求他们设计一个能够求最短路径的实验。这既能加深他们对知识点的理解，又能提高他们的编程能力。如下图1所示是作者所带学生做的一个实验。
当然，如何设计实验是极其重要的，实验题目既要能反映理论的实质内容与思路(理论背景)，又要与实际应用结合。
5 结论
离散数学是一门综合性较强的学科，内容多，知识点杂而难，抽象性高。同时它又是计算机专业必不可少的专业基础课。总之，要能将离散数学这一门课上好，影响的因素非常多，需要授课教师花更多的时间进行备课，将知识点融于实际的案例中，加强形象化教学。只有这样才能激发学生学习离散数学的兴趣，提高他们对离散数学重要性的认识。
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离散数学课程教学论文 篇10
离散数学的课程改革现在已经越来越普及, KM教学作为一种新的教学方法改革也已慢慢应用在离散数学的知识体系结构中, 而计算机教育中我们所关注的计算思维能力的培养能否在这种教学模式中得到体现呢?计算思维和思证思维、逻辑思维一样, 必定会成为一个现代公民必须掌握的基本思维模式, 而计算思维能力的培养, 首先要建立计算的基本意识, 了解计算的基本功能, 掌握计算的基本方法, 会用计算的基本工具, 具备计算的基本能力。离散数学的学习过程中我们将内部逻辑结构与思维导图相融合, 运用计算思维的方式引导学生学习问题求解和知识发现, 通过抽象模型的建立以获得问题的求解。
2“KM教学+计算思维”的课程教学
离散数学基本内容包含数理逻辑, 集合和关系, 代数系统和图论, 教学中以离散数学的知识逻辑结构作为核心, 通过思维导图演绎, 把四大篇内容按照知识点的内在逻辑性, 建立知识的逻辑结构图, 我们采取先把结构搭建, 再充实细节, 最后加以融合贯通。而在讲授过程中, 我们采用最基本的问题描述方法 (符号化, 模型化) , 最主要的思维方法 (抽象思维, 逻辑思维) , 最基础的实现形式 (程序, 算法, 问题表示, 数据结构, 系统实现) , 最典型的问题求解过程 (问题, 形式化描述, 计算机化) , 而这些都可以称之为“计算思维”[1]。学习离散数学就是增强学生的逻辑思维能力和利用离散结构来构建问题的抽象数学模型能力, 进而在这个构建的模型上解决问题的能力。而这种能力就是计算机专业的学生具备计算思维能力的重要体现。
具体实例如下:
在集合与关系篇中, 我们首先介绍了集合的性质和运算, 然后引入笛卡尔积来说明关系是由集合与集合的运算所生成, 接下来再介绍关系的表示、关系的性质和关系的运算[2]。这样从浅到深、从抽象到具体、从简单到复杂、从定义到运算再到组合成新的复杂关系 (偏序关系和等价关系) , 我们根据信息加工理论来展现这种多层次的逻辑结构。这一节中关系的表示、运算和性质作为横向知识结构定义, 然后纵向上再深化为具体的表示 (关系图, 序偶对和关系矩阵) , 具体的运算 (复合运算, 逆运算和闭包运算) , 具体的性质 (5条性质) , 环环相扣展开铺垫, 最终形成关系这张知识网络结构图[3]。这就是我们所说的KM教学法, 下面给出了关系的一个思维导图, 如下图图1所示。
从计算思维的角度来看, 我们可以把关系的五条性质抽象成符号表示, 借助符号推理来判断生活中任何一个关系具备哪些性质。而派生出来的两种复杂关系等价关系和偏序关系的区分和联系又是什么?采用基于计算思维的任务驱动模式设计教学流程[4], 就可以从思维方法的高度去培养学生, 使学生能够具备从实际应用中抽象得到问题、分析问题以及运用所学知识解决问题的能力。
3 效果跟踪评价
为了验证这种“KM教学+计算思维”教学模式对学生的学习效果和思维能力培养的效果, 我们改变了原有的学业成绩评价模式。传统考核方式主要依靠考勤的记载和期末卷面分来评价学生掌握知识的程度, 由于学生通常临阵磨枪, 强化训练, 最终头脑中形成的是对知识的瞬间记忆和强化复制, 并没有达到我们希望学生具备的解决问题的能力。所以我们采用多手段多方式教学评价, 最终考查学生是由平时课堂互动、习题解答、期中考试、通过网络教学平台自主化学习能力和期末考试等多渠道考查模式, 最终的评价结果也可以量化为学生自己画出的KM思维导图、自己设计出的抽象数学模型、知识点具体应用在生活的案例等。同时我们采用的这种模式也在某种程度上积极调动了学生的积极性和学习能力的大幅度提升, 学生由原来的被动式学习变成了主动式学习, 监督式学习, 同时提升了学生的计算思维和逻辑思维能力, 学生对这门课程的满意度也上升了。
4 结束语
“KM教学法+计算思维”就是构建培养学生计算思维能力的一种教学模式, 它解决了计算思维的基本内容如何表达, 清楚地描述计算思维相关的知识内容及其之间的关系[5]。这是一个计算机专业学生应该具备的能力, 也是所有大学生应该具备的能力。这种思维的培养可以造就具有良好知识修养和自由独立精神, 敢于创新, 善于创新的应用型人才。
参考文献
[1]朱亚宗.论计算思维:计算思维的科学定位, 基本原理及创新路径[J].计算机科, 2009, (04) .
[2]程虹.离散数学习题集[M].武汉大学出版社, 2006.
[3]程虹.KM教学法在离散数学课程中的创新应用[J].计算机光盘软件与应用, 2014, (12) .
[4]齐兴敏.项目驱动式教学法在离散数学教学中的应用探讨[J].现代商贸工业, 2009, (15) .