极限的计算 篇1
电力系统运行人员一般习惯于将输电断面功率作为关于系统稳定运行水平的关键特征量进行监视,通过预防控制使断面当前输送功率小于离线或在线计算的极限功率,以便系统留有足够安全运行裕度。目前的研究中,输电断面的极限功率计算方法主要有基于灵敏度的方法和基于约束转化的最优潮流方法。文献[1]基于潮流和暂态能量函数的灵敏度技术来确定暂态稳定极限传输容量计算过程中的极端发电负荷增长模式。文献[2]将求解暂态稳定极限传输容量模型过程分解为暂态稳定最优控制和最优潮流意义上的暂态稳定极限传输容量两个子问题并交替求解。文献[3]利用约束转换技术将函数空间的优化问题转换为常规静态优化问题,并采用广义降维梯度方法求解转换后的问题。文献[4- 5]基于大规模分布式并行处理技术,提出了分档迭代和并行安全校核的极限功率搜索策略,并根据搜索结果计算关联断面极限功率间的相互影响因子。
大型互联电网中的输电断面有多个,每一个断面的稳定输送水平不但与本断面的输送功率密切相关,而且还受其他断面输送功率大小的影响。传统情况下分别独立计算断面极限的方法难以适应。例如,在计算某断面极限时,通常会把全网的方式设置得很恶劣,从而找出暂态稳定极限的一个最小值作为该断面的极限。然而,任何一个断面功率对应的 “最恶劣方式”不仅仅与该断面功率有关,从而使得 “最恶劣方式”的确定与断面极限功率的计算成为一个需要交互迭代的问题。随着电网跨区互联规模的逐步扩大,多个输电断面的输电极限存在着交互影响和紧耦合现象[6,7,8]。定量评估多断面稳定输送水平交互影响,并同时计算耦合的多个断面的输电极限,对大电网互联背景下电力系统的分析计算和运行控制具有重要意义。
然而在理论和工程方面,多断面稳定输送水平交互影响的量化评估和极限计算还缺乏系统性的方法,而电网安全稳定特性的复杂化,使得人工经验难以满足分析计算自动化和运行监控智能化的要求。 因此需要一种量化评估多断面稳定输送水平交互影响及自动搜索使多个断面同时达到输电极限功率的方法。本文采用扩展等面积准则(EEAC)[9],计算断面输送功率对系统稳定裕度的交互影响因子矩阵,指导多个断面交互影响的极限计算迭代过程,从而为实现多断面输电功率同时达到极限值的自动搜索计算打下基础。
1多个输电断面暂态稳定极限耦合关系分析
1.1断面的输电功率与系统稳定裕度的关系
设系统有K个输电断面,每个断面对应一个用于计算其输电极限的预想故障,将限制断面i输送能力的预想故障记为断面i的关键故障Ci(例如断面组成设备的N -1故障)。将断面i在输送功率Pi下发生预想故障Ci时,表征受扰系统稳定性的稳定裕度简称为断面i主导的系统稳定裕度ηi。在本文中,该稳定裕度采用基于EEAC方法计算的轨迹稳定裕度[9]。
断面i主导的系统稳定裕度与断面i的正常运行功率Pi紧密相关。如果Pi越大,则故障下以断面i主导的系统稳定裕度往往越小[10]。其主要原因是,如果Pi越大,则等值系统的初始运行功率越大,同一故障下系统的动能加速面积越大,而减速面积越小。
当断面i输送功率达到极限时,如果电网发生关键故障Ci,则该断面主导的系统稳定性达到临界稳定,该断面主导的系统稳定裕度ηi的数值为0。
1.2多个断面暂态稳定极限相互耦合定性分析
设图1所示的电力系统有n台发电机,断面1和断面2是系统的两个输电断面,C1,C2,P1,P2分别为两个断面的关键故障和稳态传输功率。
图1中系统各发电机组的运动方程可以表示为:
式中:Mk,δk,Pmk,Pek分别为机组k的惯量、功角、 原动机功率和电功率。
假设断面1的关键故障C1下,将系统轨迹划分为两个互补群S群和A群(简称为 “稳定模式 χ1”),基于EEAC理论,等值单机系统的映象为:
式中:Pm=PmS/MS-PmA/MA,为等值机械功率; Pe=PeS/MS-Pe A/MA,为等值电磁功率。
断面1主导的系统稳定裕度η1,即该等值映像的稳定裕度为:
式中:δ0为初始等值功角。
上式中对失稳轨迹 δ 取实际轨迹动态鞍点 δDSP,对稳定轨迹δ 取虚拟的动态鞍点δVDSP。
可见,η1与C1下整个动态过程的Pm和Pe以及积分上下限密切相关。而P1和P2可以看成是节点注入空间上各发电机节点出力和各负荷功率组成的向量的非线性函数。P1和P2的改变将直接影响Pm及Pe的初始值和积分下限δ0大小,并间接影响到整个动态过程中Pm和Pe的变化轨迹以及积分上限δ 的数值,进而影响η1的大小。同理断面2主导的系统稳定裕度η2不仅受自身输电功率P2影响,与断面1的输电功率P1也相关。
某一输电断面的极限,即是其主导的系统稳定裕度为零时的断面输电功率值。因此,其极限值与其他断面的输电功率相关。这就是多个输电断面极限交互影响的机理。该机理解释并不受限于图1所示的电网拓扑结构和输电断面构成形式。
1.3断面输电功率对暂态稳定性影响程度的量化表达
为进行断面输电极限交互影响的量化分析,假设当各个断面输电功率变化较小时,即在输电断面功率空间的当前邻域内,断面输送功率的变化对断面主导的系统稳定裕度变化的影响方向和程度近似不变,用如下线性关系描述。
式中:ΔP为以 ΔPi为对角元素的对角阵,其中 ΔPi为各断面在当前潮流基础上的独立变化量;J为断面输送功率对系统稳定裕度的交互影响因子矩阵; ηj/Pi反映了断面i输电功率变化对断面j主导的系统稳定裕度的影响程度,由于不同断面暂态稳定极限存在耦合,因此ηj/Pi数值不为零;Δη为各断面主导的系统稳定裕度变化量矩阵。
一般情况下断面j主导的系统稳定裕度主要受其自身输电功率影响,因此J的对角元素的绝对值一般要大于非对角元素。
Δη第i列第j行的元素 Δηj(i)表示断面i输电功率变化 ΔPi引起断面j主导的系统稳定裕度变化量。由于不同断面暂态稳定极限存在耦合,Δη 与J一样,是一个对角元素相对较大的满矩阵。
需要说明的是,对于同一个断面功率数值,在暂态稳定域的注入量空间中,发电或负荷分配方式可以有多种组合,因而在理论上,稳定裕度与断面功率并不满足函数的映射关系,即同样的断面功率并不能唯一确定其主导的系统稳定裕度。由于运行人员习惯于将断面功率作为关于系统稳定性的关键量进行监视,因此本文将断面功率作为反映系统稳定性的特征量,是一种实用化处理方法。本文在调整断面输送功率时,对发电机采用文献[11]的调整方法。 这样,该方法所求取的极限值为最危险的目标方向上的稳定极限值。在确定的调整原则和方法下,矩阵J的各元素可求。
2暂态稳定极限耦合的多个输电断面极限功率计算数学模型
大量实践经验表明,某断面关键故障下其主导的系统稳定裕度与该断面传输的有功功率呈单调反比变化关系,即该断面传输的有功功率越大,其主导的系统稳定裕度越小。而在调整某断面输电功率使该断面主导的系统稳定性达到临界稳定过程中,容易使其他断面主导的系统稳定裕度变大。如何在系统运行方式调节过程中使系统主要关键断面主导的系统稳定性同时趋向临界稳定,从而使得各个输电断面同时达到功率极限值,对于提高极限功率搜索的效率,具有较大的现实意义。该问题的数学模型可描述如下:
式中:g为系统的潮流方程约束;ε 为一个小的正数。
由于电力系统存在强非线性和时变性,通过数学解析方法或者直接用数学规划算法求解上述问题相当困难。为此,本文基于上述交互影响因子矩阵进行迭代计算。
3暂态稳定极限耦合的多个输电断面极限功率求解算法
3.1总体思路
求解上述问题的总体思路是:根据电网的典型运行方式或当前运行工况、模型及参数、预想故障和输电断面集合,以调整系统运行方式为手段对断面功率的稳态数值进行摄动,基于EEAC方法计算各个断面主导的系统稳定裕度变化量,进一步计算断面输送功率对系统稳定裕度的交互影响因子矩阵, 求解使所考察各个断面主导的系统稳定裕度同时均衡减小的各断面功率的同时变化量,从而为同时增加所有考察断面的潮流提供调整方向,实现多断面输电功率同时达到极限值的自动计算。
为了解决系统强非线性和时变性对算法收敛性的影响,将系统功率的调节过程分为若干步,每步调节的总功率控制在某一数值范围,并通过迭代直至所有断面的主导稳定裕度达到可接受程度为止。迭代过程中每一步的交互影响因子矩阵和系统稳定裕度均会重新计算。
3.2一步调节过程中系统功率增长模式求解模型
为了使断面输电功率调节方向趋向于所有断面同时达到输电极限的方向,本文提出了一种新的计算方法,将极限计算搜索过程中各断面功率调节量的确定描述为式(7)所示的数学规划问题,以所有断面主导的系统稳定裕度“均衡”变化为目标,使每步调节过程中各个断面主导的系统稳定裕度同比减小,从而实现各个断面同时达到其输电极限。
式中:ΔP′=[ΔP1′,ΔP2′,…,ΔPK′]T为该步各断面功率变化,为求解变量;Δη′=[Δη1′,Δη2′,…, ΔηK′]T为该步各断面主导的系统稳定裕度变化向量;ΔPc为系统功率增长步长,为功率断面变化量之和,根据电网规模和经验确定。
3.3交互影响因子矩阵的求取
由于电力系统的强非线性和强时变性,交互影响因子矩阵J难以通过解析获得。因此,本文以调整系统运行方式为手段通过对断面功率的稳态数值进行摄动来求取。首先逐次摄动断面功率,即每一次都在基态潮流的基础上,以增加一个断面的功率为目标,调整出一个新的潮流,形成断面功率摄动量矩阵 ΔP,对应于K个断面输送功率的增加生成K个新的电网潮流方式。然后基于EEAC方法分别计算系统新的潮流方式下各断面主导的系统稳定裕度变化量,形成稳定裕度摄动量矩阵 Δη,从而由式(4)求取J。这里,求取交互影响因子矩阵时摄动断面功率的方法与断面极限功率搜索时每步的调整断面功率的方法相同。
3.4算法流程
步骤1:基于系统分析和运行经验确定K个输电断面及各断面的关键故障。
步骤2:基于时域仿真和EEAC计算各断面主导的系统稳定裕度。
步骤3:统计主导的系统稳定裕度满足临界稳定条件(ηj<εj(j=1,2,…,K ))的输电断面个数N,如果N≥NS,则停止计算。其中εj和NS为根据具体电网特点设定的门槛值。
步骤4:求取当前潮流方式下系统的断面输送功率对系统稳定裕度的交互影响因子矩阵J。
步骤5:求解模型(式(7)),获得使得各断面主导的系统稳定裕度近似均衡变化的系统功率增长方式 ΔP′。
步骤6:根据该步功率增长方式 ΔP′,在系统最新一步潮流的基础上调整系统运行方式,生成新的基态潮流,转步骤2。
步骤6中,功率增长方式 ΔP′为各个断面功率变化量。根据稳态灵敏度关系和文献[11]中对于极限功率的调整方法实现断面功率的调整,本文不再详细描述。
3.5算法的特点
1)以多个断面功率极限同时达到临界稳定为目标,相当于给出了输电断面功率空间上的稳定域边界的工程实用方法。
2)算法以一定步长进行功率增长,每一步修正交互影响因子,可以克服系统强非线性带来的影响, 并能计及运行方式变化可能导致的稳定模式变化。
3)交互影响因子矩阵代表了每次迭代过程中系统功率增长的模式,类似于潮流计算的雅可比矩阵, 其准确性会影响算法的收敛性和效率,但不会影响计算结果的准确性。
值得指出的是,虽然实际应用中最关心的问题是几个输电断面功率同向增长的情形,但的确也会出现某几个输电断面不存在相同增长方向的情况, 这往往对应着不同断面主导的系统稳定模式有本质上的差异。例如,如果发电功率调整方式只限定于区域1,而区域1处于断面1的送端位置,但却处于断面2的受端位置,这样,求取断面1的极限功率时,要求增加区域1出力,求取断面2的极限功率时,却要求减少区域1出力。此时,本文所提出的计算方法同样适用,只是应该调整计算目标,只计算一个断面的极限功率。
4算例分析
以IEEE 10机39节点系统为例(对系统参数进行了部分修改),所考察输电断面为断面1和断面2,如图2所示。
设断面1关键故障C1为:线路bus16-bus17在0s时发生三相短路,0.17s故障线路切除。断面2关键故障C2为:线路bus21-bus16在0s时发生三相短路故障,0.22s故障线路切除。
4.1输电断面极限耦合关系分析
通过调整潮流使断面1输电功率保持665 MW不变、断面2输电功率分别为413,561,610 MW时,断面1主导的系统稳定裕度随之改变,分别为60.1%,22.8%,-2.6%,说明断面1输电功率对断面1主导的系统稳定裕度有较大影响,从而对断面2输电极限产生影响。
通过调整潮流使断面2输电功率保持463 MW不变、断面1输电功率分别为420,518,617 MW时,断面2主导的系统稳定裕度随之改变不大,分别为29.5%,29.6%,29.6%,说明断面1输电功率对断面2主导的系统稳定裕度变化不大,从而不会对断面2输电极限产生大的影响。
4.2迭代过程分析
初始状态下,断面1的输送功率为568 MW,其关键故障场景下系统稳定裕度为80.2%;断面2的输送功率为413 MW,其关键预想故障场景下系统稳定裕度为69.1%。令NS=2,εj=12%,每次摄动过程中 ΔP1=ΔP2=10 MW,每步两断面变化总量 ΔPc=50 MW;根据本文算法,具体迭代过程如表1所示。
计算结果表明:经过5次迭代,断面1的极限功率为749.6 MW,断面2的极限功率为467.5 MW。 迭代过程中,各个断面主导的系统稳定裕度基本上按比例均匀下降(如图3所示),最后同时达到临界稳定。
从迭代过程中的J看出,其对角元素相对较大,说明某一断面主导的系统稳定裕度主要与自身输电功率相关;非对角元素不为零说明与其他断面输电功率也相关。而J为非对称矩阵,说明断面之间的交互影响程度不具有对称性。从图3可看出, 随着每一步功率的增长,系统非线性程度也在改变, η1和η2总体上单调下降。
若最后一步功率增长50 MW,系统裕度小于零,而将最后一步的步长减小至35 MW后,两断面主导的系统稳定裕度达到预设的收敛判据而终止, 此时两断面输电功率即输电极限。可见在接近临界稳定时系统非线性增强,一直维持同样的调整量可能造成系统稳定裕度变化量过大,因此,在调整过程的后期应根据校核结果情况适当调整步长。
算法每次迭代增加了用于求取交互影响因子矩阵的一次仿真,但却同时获得了所有断面功率逼近极限时的功率变化量,与人工试探法相比,减少了盲目性,这样,总体计算效率会提高。此外,可以通过集群并行计算进一步缩短计算时间。
5结语
本文提出的量化评估多断面稳定输送水平交互影响的方法,以及使多个断面同时达到输电极限功率的自动搜索算法,是一种基于稳定性量化分析理论的系统性方法,既适用于离线分析,也适用于在线计算。算法以各个输电断面主导的系统稳定性同时达到临界稳定为目标,其计算结果在实际工程中可用于按耦合断面的功率之和不超过某一极限值来指导运行方式安排,因此在辅助调度运行人员综合考虑多个输电断面交互影响、掌控系统总体安全运行裕度方面有应用前景,也有利于促进分析计算自动化和运行监控智能化的技术进步。
极限的计算 篇2
1.利用函数极限的四则运算法则求极限
函数极限四则运算法则:设在自变量的同一变化过程中, 极限limf (x) 和limg (x) 都存在, 则有:
undefined
注 利用极限的四则运算法则求极限, 条件是每一项或每一个因子的极限都存在.这种运算方法非常简单, 因此, 一般情况下所给的变量大都不满足如上条件, 也就不能直接用四则运算法则.
(1) 因式都是x的多项式, 当x→x0时, 分式为“undefined”型, 做法是消去零因子求极限.
(2) 因式都是x的多项式, 当x→∞时, 分式为“undefined”型, 做法是分子分母同除以x的最高次方.
注 一般地, 当a0≠0, b0≠0, m, n为非负整数时, 有
undefined
(3) 因式都是x的多项式, 当x→∞或x→x0时, 分式为“∞-∞”型, 做法是通分或有理化.
2.应用两个重要极限求极限
两个重要极限是指undefined和undefined或undefined.第一个极限可通过等价无穷小量代换来求, 主要看第二个极限.
注 先凑出1, 再凑undefined, 最后凑出指数部分.
3.用等价无穷小量代换求极限
(1) 常见的等价无穷小量有:
当x→0时, undefined
(2) 等价无穷小量只能对分子或分母中的因式进行代换.
4.用洛必达法则求极限
(洛必达法则见教材, 这里不再叙述)
运用洛必达法则求极限应注意以下几点:
(1) 要注意条件是否满足, 即验证所求极限是否为“undefined”型或“undefined”型.
(2) 运用洛必达法则, 要分别求分子分母的导数, 而不是求整个分式的导数。
(3) 要及时化简分式, 化简以后检查是否是未定型, 若不是未定型, 应立即停止使用洛必达法则, 否则会出现错误.
(4) 在x的某种趋向下, undefined不存在时, 本法则失效, 应寻求其他方法求极限.
还应注意:洛必达法则并不是万能的.
5.利用函数极限的存在性定理求极限
定理 设在x0的某空心邻域内恒有g (x) ≤f (x) ≤h (x) , 且有undefined, 则极限undefined存在, 且有undefined
6.利用函数的连续性求极限
利用函数的连续性求函数极限包括:如函数f (x) 在x0点处连续, 则undefined及若undefined且f (u) 在点a处连续, 则undefined
7.利用定积分求极限
例 求undefined
解 把此极限式化为某个积分和的极限式, 并转化为计算定积分, 为此作如下变形:
undefinedundefinedundefined
不难看出, 其中的和式是函数undefined在区间[0, 1]上的一个积分和,
∴J=∫undefinedundefined∫undefined=ln2.
当然, 也可把J看作undefined在[1,2]上的定积分,
同样有J=∫undefinedundefined∫undefinedundefined
用左右极限与极限的关系求极限适用于分段函数, 求分段点处的极限, 以及用定义求极限等情形.
定理 函数极限undefined存在且等于A的充分必要条件是左极限undefined和右极限undefined都存在且都等于A, 即有undefined
8.利用迫敛性求极限
定理 设函数f (x) , g (x) , h (x) 满足条件:
(1) 函数f (x) 在点x0的某个空心领域内有定义, 且f (x) ≤g (x) ≤h (x) ;
undefined, 则有undefined
做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数, 并且找出的两个函数必须要收敛于同一个极限.
以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法.在做求解极限的题目时, 仅仅掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的, 必须要细心分析仔细甄选, 选择出适当的方法.这样不仅准确率高, 而且会省去许多不必要的麻烦, 起到事半功倍的效果.这就要求学习者要吃透其精髓, 明了其道理, 体会出解题的技巧.达到这样的境界非一日之功, 必须要多做题, 善于总结, 日积月累, 定会熟能生巧, 在做题时得心应手.
参考文献
[1]盛祥耀.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2004.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001.
浅谈极限的计算方法与技巧 篇3
【关键词】极限；计算；两个重要极限；等价无穷小；洛必达法则
1 引言
极限概念是深入研究函数变化性态的一个最基本概念，极限方法是数学中最重要的一种思想方法，是微积分学的基础。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如，魏晋时代的数学家刘徽在《九章算术》中利用割圆术，用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率。随着微积分学的诞生，极限作为高等数学中的一个概念被明确提出。但最初提出的这一概念是比较含糊的，因此在数学界引起不少争论。直到19世纪，由柯西、魏尔斯特拉斯等人才将其置于严密的理论基础之上，从而得到了世界的公认。
2 极限的几种计算方法
2.1 利用无穷小量的性质和等价无穷小的代换求极限
2.1.1 无穷小量有下列重要性质：
2.1.1.1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量；
2.1.1.2 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；
2.1.1.3 常量与无穷小量的乘积为无穷小量；
2.1.1.4 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量。
当 时，有下列常见等价无穷小：
sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln（1+x）～x，ex-1～x，（为非零常数）。
2.1.2 利用等价无穷小代换求极限时应注意以下问题：
2.1.2.1 等价无穷小代换只能对分子或分母中的因式进行代换.
2.1.2.2 在乘除运算中才可以将无穷小用其简单的等价无穷小去替换.
例1：求极限
解：因为当时，x为无穷小量，且，即为有界变量，
由性质（4）得=0.
例2：求极限
解：原式=
例3：求极限
解： 原式
2.2利用极限的四则运算法则求极限
定理1：设，则
①；
②；
③.
也就是说，如果两个函数的极限都存在，那么这两个函数的和、差、积、商的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为分母的函数的极限不能为0）.
由上述定理可以得到下面的推论
推论：设，
①若C为常数， 则；
②若n为正整数，则.
上述法则及推论对于，等情形均成立.
例1：求极限
解：原式==8
在应用极限的四则运算法则时，通常需要先对函数做某些恒等变换或化简，变换的方法通常有分解因式，分子（母）有理化，通分，比较最高次幂法等。
例2：求极限
解： 原式=
例3 求极限
解：原式=
=
例4：求极限
解：原式=
==
例5：求極限
解：原式=
对于此极限，我们有一个一般的结果，用数学式子可表示为：
（l、m为正整数；al， ……，a0，bm， ……b0为常数且al·bm≠0）.
2.3利用两个重要极限求极限
2.3.1
该重要极限在极限计算中有重要作用，它在形式上有以下特点：
①它是型未定式.
②它可以写成（（ ）代表同样的变量或同样的表达式）.
例1：求极限.
解： 原式=
例2：求极限
解： 原式=
2.3.2
该重要极限在形式上有以下特点：
①它是型未定式.
②它可写成或.
例1：求极限
解：原式=
例2：求极限
解：原式=
2.4 利用洛必达法则求极限
2.4.1 型未定式
定理1：洛必达法则Ⅰ：若函数f （x）与g（x）满足条件
①；
②和在点x0 的附近（点x0 可除外）可导，且；
③存在（或无穷大）.
则=
上述法则对时的型未定式同样适用.
例1 求
解： 原式=
2.4.2 型未定式
定理2：洛必达法则Ⅱ：若函数f （x）与g（x）满足条件
①；②和在点x0 的附近（点x0 可除外）可导，且；③存在（或无穷大）.
则=
上述法则对时的型未定式同样适用.
例2：求
解：原式=
注：利用洛必达法则不仅可以解决型和型未定式的极限问题，还可以解决0·∞型，∞-∞型，1∞型，00型，∞0型等类型的未定式极限问题，解决这些类型未定式的方法，就是经过适当的变换，将它们化为 型或型未定式的极限。
3 结论
极限的计算方法灵活多样，根据题目的特点，合理选择运算方法是关键，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]北京大学数学力学系.高等代数[M].北京：人民教育出版社，1978.
[3]数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，1995.
[4]陈传璋，金福临编.数学分析（上下册）第二版[M]，高等教育出版社，2006： 123-146.
数列极限的计算 篇4
数列极限的计算
极限概念有着深刻的思想性,它包含了事物的无限运动变化过程和无限逼近思想,体现了由有限到无限,近似到精确、量变到质变的`辩证思想,曾对教学发展和促进人类文明发挥过十分重要的作用.极限方法是辩证法在数学上的应用,是初等教学所没有的一套崭新的方法,它解决了“直与曲”,“近似与精确”的矛盾,是客观世界中由量变到质变的一种反映.数列极限是高等数学的重要组成部分,求数列极限的方法很多.本文总结出十余种类型的数列极限方法,讨论的内容涉及数列知识,Stolz定理,子序列的极限与函数的极限的关系,级数理论,上下极限,定积分理论,柯西收敛准则,泰朝展式,黎曼引理等,力求对数列极限的计算做一个总结.
作 者：卜宪敏 作者单位：日照广播电视大学,山东日照,276826刊 名：中国科教创新导刊英文刊名：CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD年，卷(期)：“”(5)分类号：G623.5关键词：极限概念 极限方法 Stolz定理 子列理论
极限的计算 篇5
智能化是电网发展的最终目标,而柔性化是智能化电网发展的必要手段。目前,电力系统的柔性应用还不广泛,大部分应用主要集中在柔性交流输电(FACTS)方面。柔性交流输电系统[1],也称为灵活交流输电系统,是指应用于交流输电系统的电力电子装置,其中“柔性”是指电力系统利用电力电子装置对电压、电流的可控性。随着现代电网智能化、柔性化的发展,基于电力电子技术的柔性化电力技术已很难满足电力系统灵活性的需要,电力系统的柔性更多的是体现在系统参数变化情况下系统的可控性和响应能力,特别是间歇性能源的开发和利用对电力系统的灵活性提出了更高的要求。
风力发电是目前技术最为成熟的可再生能源发电方式,随着风电机组单机容量和风电场规模的增大,大型风电场并网运行对电力系统的影响也越来越明显[2]。为了能在系统正常运行的前提下,尽可能地利用风能,确定一个风电场的穿透功率极限及其影响因素成为了规划设计风电场时迫切需要解决的问题[3]。
由于风电场对系统的影响涉及到许多方面,分析计算十分复杂,因此至今尚没有统一的求解风电场穿透极限功率的方法。时域仿真法是首先设想一个风电功率,然后选取几种典型的系统运行方式,通过动态仿真检验系统在该水平的风电容量冲击下是否会失去安全性和稳定性[4,5],然后对风电容量进行修正,通过比较各组数据确定穿透率极限。实际上这是一种验证性的间接计算方法,可以检验风电接入后系统的动态性能,但要准确地确定一个给定系统的最大装机容量,需要进行大量的仿真计算。
文献[6-8]从电网静态运行安全角度出发,把风电穿透功率极限的计算归结为各种约束下的风电功率最大化,采用确定性分析方法计算了风电穿透功率极限。但由于风电的随机性很强,在优化过程中将风电功率作为确定性变量将会对优化结果的可行性造成影响。
文献[9]将风电穿透功率极限看作是在满足网络和设备约束前提下系统允许的风电场最大装机容量,并基于此提出了一种基于机会约束规划的风电穿透功率极限计算方法。文献[10]采用相关机会规划理论,在保证系统安全运行的前提下,引入了风电的发电能力约束,并考虑了风电场减出力控制措施的影响,建立了计算风电并网容量的优化分析模型。但两者都利用了人为近似假设:风电场的风速满足Weibull分布,求解模型没有充分反映出风电出力随机性强的特点。
大量的研究结果表明[11],在计算风电穿透功率极限时考虑风电出力的随机性十分重要,但现有的求解方法都不能有效地处理此类问题。对此,本文把电力系统柔性概念引入到风电穿透功率极限的研究中,提出了基于电力系统柔性评价的风电穿透功率极限计算方法。该方法充分考虑了风电出力随机性给风电场穿透功率计算带来的影响,通过IEEE 30节点系统对比分析,证明了该方法的有效性。
1 电力系统的柔性
1.1 柔性概念
广义的柔性是指系统对不确定信息的响应能力。最初的柔性分析,是针对过程系统的实用性、可操作性而展开的研究工作[12,13,14]。所谓过程系统中的柔性,Grossmann和Morari定义为系统在从一种操作状态过渡到另一种操作状态的情况下,能够调节到满足工艺要求的能力[15]。电力系统的柔性与过程系统中的柔性概念有相同之处,都是指系统在结构确定的情况下针对参数变化时的适应能力和可控性。
在电力系统中,不确定参数y的变化范围(即柔性)可以描述为:
其中,δ为柔性参数,决定了参数变化的范围和柔性的大小;ε-、ε+分别表示参数变化范围的下界和上界,是δ的函数。当ε-、ε+是δ的线性函数时,电力系统的柔性被称为“线性柔性”;当ε-、ε+是δ的非线性函数时,则被称为“非线性柔性”。对于电力系统中的“线性柔性”,参数y的柔性还可以描述成一个以固定值y0为中心,正负偏差大小分别为Δy+和Δy-(事先人为给定或按y的概率分布给定)的超矩形:
1.2 电力系统的柔性评价
一般电力系统的规模较大、覆盖面较广,电力系统中参数的变化和不确定性是多种多样的。在含不确定参数的条件下,电力系统优化问题的约束条件可以由下式表示:
其中,x是状态变量;u是控制变量;y是不确定参数,其柔性可以由式(1)表示;I表示不等式约束集,包括节点电压约束、线路潮流约束以及发电机出力约束等;J表示等式约束集,主要为功率平衡方程。
对式(3)作如下简化:
由式(1)可知,柔性参数δ的大小确定了不确定参数y的变化范围。控制变量u的作用就是在确保不确定参数y在超矩形内任意变化时,能够通过u的适当调节,也即存在确定的u,使得满足约束式(3)。因此,对尽可能大的T(δ)空间,柔性约束条件可表示为:
其中,表示选取不等式约束中最大的一个;表示通过调整控制变量u来尽可能地改善电力系统的安全性和可靠性;表示通过调整参数来描述最恶劣情况下电力系统的安全性和可靠性。
对于确定的柔性参数δ,不确定参数y的变化范围是确定的,因此电力系统柔性评价问题可以描述为:
也可描述为:
其中,χ(δ)表示电力系统的安全性和可靠性,是柔性参数δ的函数,只有χ(δ)≤0时才说明电力系统的安全性和可靠性满足要求。
上述模型的物理意义是,对于确定的δ和给定范围内任意的y,是否存在可调的u,满足电网安全、可靠运行的要求。
电力系统柔性评价表明了参数在给定范围内变化时系统的适应能力和可控性。当柔性参数δ不确定时,可以定义如下的可变柔性指数:
上述模型的最优解F(δ*)代表了电网的柔性评价指标,即柔性指数,柔性指数的大小反映了电力系统安全、可靠运行的裕度。柔性指数越大,电力系统对不确定参数变化的适应性越强。
值得说明的是,柔性评价分析是传统确定性分析方法向不确定领域的延伸,其实质是一种面向不确定性信息的确定性分析方法。与传统确定性分析法[16]相比,该方法可以有效地处理规划过程中的不确定信息,使得规划方案灵活性更强、适应性更好;与不确定性分析法(如随机规划[17]、模糊规划[17]等)相比,该方法可以消除不确定分析法对不确定信息的分布类型存在人为近似假设的缺陷,因为其对不确定信息进行建模时,并不需要事先预知不确定信息的分布类型。
2 风电的极限穿透功率
2.1 风电功率的柔性化表示
风电机组是不可控机组,其输出功率特性可由式(9)所示的分段函数近似表示[9]:
其中,PN为风机额定输出功率;v为风机轮毂高度处的风速;vci为切入风速,当风速高于此设定值时,自动装置动作把风机并入电网;vco为切出风速,当风速高于此值时,风机停止发电从电力系统中解列出来;vN为额定风速,当风速大于或等于此值而小于切出风速时,风机出力为额定值。
由式(9)可知,风电输出功率并不是一个确定的量,而在一个范围内波动,其功率水平值很大程度上取决于当时的风速条件。虽然基于风速预测可对风电输出功率特性进行模拟研究[18,19],但是风电功率预测误差往往大于风速预测误差,这主要是由于风速与风力发电功率的对应关系所致。在经过功率特性曲线转换后,不是很强的风速规律性被进一步破坏,得到的风力发电功率规律性更加微弱,表现出非常强的随机性。因此,不确定分析方法(需预知不确定信息的分布规律)很难有效处理风电功率不确定性的问题,更不可把风电功率作为确定性变量参与决策优化。由电力系统柔性概念可知,柔性参数δ的定义为解决这类问题提供了可能,因为其对风电输出功率的不确定性进行建模时,并不需要事先预知其分布类型。风电功率柔性属于“线性柔性”范畴,其参数的变化范围可描述如下:
其中,PwN为风电功率波动中心,ΔPw-和ΔPw+分别为风电功率负向和正向波动偏差。风电功率的随机性主要表现为风电功率在一个范围内波动。因此,只要根据实际情况确定合适的波动中心PwN以及互相匹配的正、负向波动偏差ΔPw+和ΔPw-,式(10)就可以准确地模拟风电功率的随机波动,实现对风电功率的随机性建模。
研究表明,风电输出功率一般在0~PN之间随机波动,因此风电功率随机波动的上、下限是确定的。由电力系统柔性约束条件χ(δ)的物理意义可知,只要在给定的δ值下,PN满足电力系统安全性和可靠性约束,那么在相同的δ值下,其他的风电输出功率Pw也肯定满足安全性和可靠性约束,式(10)可简写为:
简化后,式(11)消除了负向波动偏差的影响,使得柔性指数模型(式(8))被简化为关于柔性参数δ的一维求极大值的优化问题,而波动中心PwN和正向偏差ΔPw+仅作为δ的常系数参与优化,对计算结果无影响,所以可以任意选取(ΔPw+≠0)。
2.2 数学模型
基于风电功率的柔性化表示,当把风电功率定义为参数变量y时,式(8)中柔性指数的最优值F(δ*)即代表风电最大并网容量,则风电穿透功率极限计算模型可描述如下:
其中,Plmax为线路潮流限值组成的向量;Umax和Umin为节点电压上、下限组成的向量;PGTmax和QGTmax为常规能源发电的有功和无功功率上限组成的向量,PGTmin和QGTmin为两者下限组成的向量;Pwi、PGTi、Qwi、QGTi分别为风力发电和常规能源发电的有功和无功功率;PLi、QLi为系统节点有功和无功负荷;PNwi为风电场有功功率波动中心,ΔP+wi为风电场有功功率正向波动偏差;i=1,2,…,N。
上述模型的物理意义在于,调整常规发电机组出力,在保证电力系统静态安全性的前提下,确定风电功率的最大变化范围,即风电穿透功率极限。
3 求解方法
如式(8)所示的柔性指数求解是一个多目标优化问题,可将柔性指数模型分解成2个子问题。
子问题1:
子问题2:
在子问题1中,柔性参数δ是常数,所以有:
对于子问题2,当v的最大值为临界值0时,变化为:
通过对上述2个子问题(式(15)和(16))交叉迭代求解就可以得到原问题的解。本文采用序列线性化的方法计算求解。
对式(15)线性化:
由等式约束可得:
代入不等式约束中,有:
求解上述线性规划问题,可得控制变量的修正量Δu,令:
代入式(16)中,并进行线性化:
由等式约束得:
代入不等式约束中,得到:
计算上述问题,得到Δy,并按下式进行修正:
代入式(15)中,替换y0,并进行潮流计算,更新状态变量x。上述2个子问题交替求解,当Δy≈0,Δu≈0时迭代结束,最终的F(δ*)等于式(16)确定的δ*。特别地,当等式约束和不等式约束都是参数y的线性函数时,在式(16)中不需要对y进行线性化。
4 算例分析
本文采用IEEE 30节点测试系统,对上述计算模型和求解算法进行了验证。系统中常规机组出力上、下限如表1所示(均为标幺值)。
为了验证本文所提出的计算模型的有效性以及揭示风电出力的随机性对风电穿透功率极限计算的影响,分别选取7、10、14、17、24作为风电并网节点,采用传统确定性分析方法以及本文提出的柔性评价分析方法,分别求解风电穿透功率极限,计算结果见表2(均为标幺值)。
表2的计算结果表明,在负荷既定的情况下,风电场从不同的网络节点并网,电网所能承受风电功率随机波动的柔性范围是不同的。换言之,系统的网络结构是影响风电穿透功率极限的一个重要因素。另外,随着对风电出力随机性考虑的全面性,对大部分节点而言,系统可接受的风电穿透功率水平显著降低,原因在于,在一定的系统机组出力调节裕度下,传统确定性分析方法仅寻求一组最优的机组调度方案,在满足系统安全、可靠性运行的要求下,得到全局最优解,若直接把该最优解作为风电场最大装机容量并考虑风电出力的随机性,当风电功率在该功率限额下波动时,就有可能存在某个或多个风电功率水平值,在同一机组出力调节裕度下,不满足系统安全、可靠运行的要求,造成系统存在越限危险。而柔性评价分析方法恰恰弥补了这一缺陷,它通过降低风电场最大装机容量,剔除造成系统越限的病态风电功率水平值,使得风电功率在其最优解限额下波动时的任一功率水平值,在同一机组出力调节裕度下,都能满足系统安全、可靠性运行的要求,避免因初期风电功率随机性考虑不足、风电并网容量规划过大而造成的系统越限危险,使得风电穿透功率极限计算更加合理。特别地,当系统机组出力调节裕度可以有效抑制风电出力随机性对风电穿透功率极限计算的影响时,两者所得最优解将相等,如节点24。
增加常规机组的功率调节裕度,分别将有功出力上限上调10%,下限下调10%,仍选取上述节点作为并网点,计算结果见表3(均为标幺值)。
表2和表3的计算结果表明,随着系统机组出力调节裕度的提高,系统可以接受的风电装机容量水平有较为明显的提高,但仍有部分节点的功率水平变化不大,如节点14。这说明此时网络结构起决定作用。
5 结论
本文把电力系统柔性概念引入到风电穿透功率极限的研究中,提出了基于电力系统柔性评价的风电穿透功率极限计算方法,并采用IEEE 30节点系统算例进行了对比验证。研究结果表明,风电功率的柔性化表示完全反映出了风电出力随机性强的特点,柔性评价分析实现了传统确定性分析方法向不确定领域的延伸,是一种面向不确定信息的确定性分析方法。
极限的计算 篇6
电压稳定裕度作为度量当前电力系统电压稳定水平的一个性能指标,是指在功率注入空间中,从当前运行点出发,按给定方向增长负荷直至电压崩溃时,当前运行点与电压崩溃点之间的距离。目前这个距离一般是以可额外传输的负荷功率来表示的,因此又称为负荷裕度。负荷裕度的大小直接反映了当前系统承受负荷及故障扰动、维持电压稳定的能力。相对于其他状态指标而言,裕度指标具有线性度好、直观、易于理解等优点,因此成为目前应用最广泛的静态电压稳定性指标。
在电力系统静态电压稳定性的研究中,一般不考虑系统元件和控制的动态特性[1];尽管静态分岔有鞍结分岔SNB(Saddle Node Bifurcation)、极限诱导分岔LIB(Limit Induced Bifurcation)、叉型分岔和跨临界分岔等,但一般只就前2种最基本的分叉类型进行相关研究。静态电压崩溃点的计算大多针对SNB点(雅可比矩阵发生奇异的点),并以当前运行点离SNB点间的负荷距离评价电压稳定裕度[2]。在重负荷下,这个指标有时会过于乐观,因为系统有可能在雅可比矩阵奇异前就已发生LIB[3,4],导致电压崩溃。此时,若继续沿用SNB的电压稳定裕度计算方法则会导致计算结果不准确,给系统电压稳定带来隐患。因此,研究LIB的电压稳定裕度计算方法具有很重要的实际意义。
至今为止,已有许多方法被提出并用于计算负荷裕度,但其主要是针对SNB的。文献[5-7]给出了一种直接法和一种迭代法求解最小负荷裕度。文献[8-10]在模型建立、利用雅可比矩阵特征值和特征向量、提高寻优算法速度和可靠性等方面给出了若干有价值的成果。文献[11]提出了一种计算初值选取的方法。文献[12]结合实际系统研究了最小负荷裕度的求解。文献[13]以最小奇异值为指标,每一步迭代都寻找对最小奇异值影响最严重的负荷以及发电模式,如此迭代直至崩溃点,得到最小负荷裕度。以上方法都未对负荷、发电模式加以任何限制,文献[14-15]意识到了这一点,并在模型的建立和求解上做了一定的改进。文献[16]在已有研究工作的基础上,探讨了适用于控制中心实际的最小负荷裕度求解模型和求解方法。
然而,以上求解最小负荷裕度的模型和方法都基于崩溃点处的潮流雅可比矩阵奇异性,只限于SNB类型的电压崩溃点;LIB的存在(崩溃点处的潮流雅可比矩阵非奇异)则限制了以上方法的应用。因此,迫切需要研究适合于LIB的负荷裕度计算方法。
本文分析了LIB的产生条件及其机理,建立了LIB的最小负荷裕度求解模型,求解过程中借鉴文献[17]的参数灵敏度算法,详细推导了负荷裕度求解方法;且该种求解LIB的最小负荷裕度的模型和方法同样可以准确得到SNB的电压稳定裕度。
1 LIB的机理分析
1.1 LIB概念
当参数达到某一临界值时,系统的控制达到极限,特征值瞬间变化,2个平衡点在分岔点处融合,系统仅具有不稳定的平衡点,但状态矩阵并不奇异,这种分岔即为LIB。LIB与SNB最大的区别是:在SNB点处潮流雅可比矩阵奇异,具有0特征值,P-U曲线在极限点处是光滑的;而在LIB点处潮流雅可比矩阵并不奇异,不具有0特征值,P-U曲线在极限点处不光滑。
对电力系统电压稳定而言,LIB常常是由负荷增长过程中某台关键发电机无功出力到达极限引发的。如图1所示,点o为初始运行点。随着负荷增加,系统电压水平一般会逐渐降低,发电机随之逐渐增加无功出力。因此,某些发电机会到达无功极限,如图中a点和b点。随后,这些发电机不再具有电压调节能力,即不能维持机端电压恒定,这些点称为无功/电压约束转换点。而当系统中某台发电机到达无功极限时,系统会突然发生电压崩溃,这是因为系统的运行点位于该发电机P-U曲线下半部的不稳定区。这时系统电压水平并不一定会下降到不可接受的程度。
在LIB点处,运行点突然从QGi
1.2 数学机理解释
变量遇到极限导致系统结构发生突然的变化,同样的平衡点在2个系统下的雅可比矩阵不相同,特征值也不同,极限前系统中的稳定平衡点在极限后系统中不一定是稳定的,这种稳定性的突然改变导致发生LIB。
系统结构的变化,导致运行点的稳定性发生了突然改变。同样的运行点,在极限前系统中是稳定平衡点,在极限后系统中变成了不稳定平衡点。此时,系统中变量达到极限时导致系统稳定性的突然破坏,系统发生了LIB而失稳。发生LIB时,系统的一个稳定平衡点和一个不稳定平衡点在极限值处相交而融合,使得分岔值后系统平衡点的性质变为不稳定。这和SNB是类似的;不同的是,SNB的P-U曲线在极限点处是光滑的,而LIB的P-U曲线在极限点处不光滑,上半支和下半支横截相交。
1.3 物理机理解释
LIB实际上反映了系统电压稳定对动态无功源的依赖性,或者说反映了动态无功源在维持系统电压稳定中的重要性。发电机是电力系统中的主要动态无功源,能快速连续地调节电压,在维持系统电压稳定性方面起着重要作用。另一方面,电力系统中还存在大量静态无功源(主要是电容器),但其控制电压的能力较弱。因此,为维持电力系统电压稳定,系统中应有足够比例的动态无功源。但动态无功源都存在无功极限,当达到无功极限时,其丧失电压调节能力而变为静态无功源。潮流计算中,达到无功极限的发电机即由PV节点转变为PQ节点。如果此时动态无功源在维持系统电压稳定性中的作用至关重要,系统就有可能因为失去动态无功支撑而发生电压崩溃,即发生LIB。
1.4 约束转换点求法及分岔条件
设系统的潮流方程为f(x,μ)=0,补充一个附加方程c(x)=0,该方程表示模式转换的发电机,为电压约束关系。将上述方程联立,即
求解该方程组可得约束转换点。
设Qs和Ur分别为发电机的无功功率极限和参考电压,由式(1)在约束转换点可得:
如果同时满足∂μ/∂Ur>0和∂μ/∂Qs>0,则该约束转换点就是LIB点。
2 负荷裕度模型及电压预警规则
2.1 最小负荷裕度模型
连续潮流模型可写为[16]
f(DG,DL,X,λ)=(SG0+λDG)-(SL0+λDL)-S(X)=0(3)其中,DG为发电机模式列向量,向量元素为dg,i;DL为负荷模式列向量,向量元素为dl,i;X为状态向量,X=(θ,U);λ为裕度因子;SG0为发电机初始有功、无功功率向量;SL0为负荷初始有功、无功功率向量;S(X)为用状态量表示的节点注入功率向量。
定义M=∑λdl,i为负荷裕度,用有功功率裕度表示。
不失一般性,模型式(3)有如下设定:设系统共有nL个PQ节点,nG个PV节点,1个平衡节点,且设各PV节点、平衡节点都挂有负荷(可为0),为了便于表述,把所有发电机节点都设为PV节点或平衡节点。负荷有功、无功保持等功率因数增长,则负荷模式DL(nL+nG+1维向量)只要考虑有功功率模式即可。发电机一般按事先制定的发电计划来响应负荷增长,即按照一定比例分担增长的负荷,发电模式可写为DG=KG∑dl,i,KG为发电机响应负荷的分担因子向量,向量元素为kg,i(i=1,2,…,nG),将其指定为常数向量,则DG依赖于DL存在。在随后的最小负荷裕度求解中,只考虑负荷模式DL即可。
在最小负荷裕度求解中,由于负荷模式DL不确定,将它作为参数变量引入,则裕度因子λ以及状态向量X可写成参数向量DL的函数。
对于节点i∈PQ节点有
对于节点i∈PV节点有
其中,P0Li和QL0i分别为节点i的初始有功、无功;P 0Gi为PV节点i的发电机初始有功;PL i、QLi、PGi分别为用X表示的节点注入功率;dl,iQ0L i/P0L i表示节点i的无功负荷增长模式,即保持等功率因数增长。
电压稳定预警在控制中心定时启动,而未来的负荷模式可从控制中心的节点典型负荷曲线上得到。图2是节点负荷部分时段的阶梯负荷曲线。
负荷模式有一个合理的波动上、下界,即DL[DLmin,DLmax]。在负荷模式波动的范围内,定义最可能的负荷变化模式为期望负荷模式,记为则对应的裕度因子为期望负荷裕度因子裕度为期望负荷裕度同时,在波动范围内也定能找到一模式DL*,在此模式下负荷裕度因子最小,记为λmin,对应的裕度为最小负荷裕度:
结合连续潮流模型(式(4)~(6)),求解最小负荷裕度的问题可转化为如下优化问题:
2.2 电压预警规则
求出最小负荷裕度Mmin后,联合期望负荷模式下的期望负荷裕度来制定预警规则:当增长的负荷有功功率ΣΔPl,i≤Mmin,则负荷模式只要在指定的一个范围内变化就可保证电压稳定;当虽然负荷按照期望模式变化,判断是电压稳定的,但由于随机变化的负荷可能偏离预定变化模式,此时存在发生电压不稳定的可能性,运行人员应予以注意。
3 最小负荷裕度的求解
3.1 LIB点灵敏度计算
电力系统LIB点(x*,λ*)满足的特征方程可表示为[16]
其中,式(8)为将诱发LIB的关键发电机所在节点当成PV节点时的潮流方程;式(9)为该发电机的无功约束方程;状态变量x=(θ,U)∈Rn;λ∈R为负荷裕度因子;μ∈R为系统网络参数。欲求灵敏度∂λ*/∂μ,可对式(8)(9)分别求导得:
式(10)可采用增广方程求解。注意到式(9)是该关键发电机节点的无功限制方程,即
可以看到该方程就是把该发电机节点由PV节点转成PQ节点时的节点无功平衡方程,故式(10)与下式等效:
其中,方程f是把该关键发电机节点当成PQ节点时的潮流方程,即增加了该关键发电机节点的无功平衡方程;状态变量x中也相应增加了该发电机节点的电压幅值变量;即行向量eiT各元素中除第i个元素为1外其他均为0,且i必须是该发电机节点电压幅值变量所对应的列的位置。由式(11)解得的就是所求的LIB约束的负荷裕度因子对参数μ的灵敏度。
3.2 求解过程
设DL为参数变量,可依次求取负荷裕度因子λ对DL中任一元素dl,i的灵敏度Sλd l,i;由式(11)可得同理,可求得λ对所有节点i的dl,i的灵敏度,即得到对DL的灵敏度。
由负荷裕度M=Σλdl,i,可得M对于任一节点i的dl,i的灵敏度为
同理,可求得M对所有节点i的dl,i的灵敏度,即得到对DL的灵敏度。解得SMdl,i后,即可修正DL,求得DL*。
由式(12)求得负荷裕度灵敏度后,即可用序列线性规划法来迭代求解最小负荷裕度优化模型式(7)。下面描述其计算步骤。
步骤1给定初始模式DL(1)=DL(0),利用连续潮流模型(式(4)~(6))计算裕度因子λ和负荷裕度M,并求解崩溃点处的M对于DL的灵敏度;给定步长δi(1)(i=1,2,…,nL+nG+1),缩小系数β∈(0,1),允许误差ε,置k=1。
步骤2根据灵敏度信息SMdl,i修正DL(k),即令DL(k+1)=DL(k)±δ(k),则
并计算负荷裕度M(k+1)及求解崩溃点处的M(k+1)对于DL(k+1)的灵敏度。
步骤3若|M(k+1)-M(k)|<ε,则DL(k+1)为近似最优解,从而得到最小负荷裕度Mmin;否则,令δi(k+1)=βδi(k),置k=k+1,返回步骤2。
迭代结束后,得到最小负荷裕度Mmin。
4 算例分析
对IEEE 118节点系统Matlab仿真计算,在给定的期望负荷模式和模式波动范围内求取系统的期望负荷裕度和最小负荷裕度Mmin。该系统有53个电压控制节点,其中节点103在初始负荷状态时无功就已越上限,而LIB发生在当连接于节点10的发电机到达无功极限时。
设定序列线性规划中用到的各个节点的初始步长限制为0.2,允许误差ε=0.01,缩小系数β=0.5,负荷初始模式设为期望模式
表1列出了在第1步,即初始模式为时,负荷裕度对于负荷模式灵敏度的计算结果。
如表1所示,除了节点6、8、12、18、40、42、49、59、80、90、100的灵敏度为正外,其余各节点灵敏度都为负,即提供了一个求解最小负荷裕度的寻优方向,灵敏度为正的节点在初始迭代时应减少其dl,而其余各节点应增加dl,期望在指定步长内找到一个可行极值点。
PV节点70、74、103、76、77、105、92、85、110的无功出力先后达到上限,则转为PQ节点;序列线性规划经过12次迭代后收敛,得到最小负荷裕度Mmin=7 699.75和期望负荷裕度M=8 827.18。
用灵敏度算法追踪分岔点,求得PV节点10发生结构转换时的负荷系数λ=2.0979。图3显示了利用连续潮流法绘制的IEEE 118节点系统中发生LIB时的分岔图例。图中给出了发电机节点10和8的λ-U曲线。图中清晰地显示出,当连接于节点10的发电机到达无功极限时,发生了LIB。
当把DL的波动范围扩大,而其余的求解设定参数不变,初始模式还是再次求取系统在几种不同状态下的负荷裕度得:期望负荷裕度初始负荷波动范围内的最小负荷裕度Mmin=7 699.75,扩大负荷波动范围后的最小负荷裕度M′min=7 119.96。可见,扩大负荷波动范围后,最小负荷裕度大幅降低,这说明在负荷模式波动范围更大时,电压崩溃的可能性也增强,运行人员更应予以重视。
5 结论
极限的计算 篇7
风力发电作为一种新能源, 具有许多与常规发电方式不同的特点:风电是一种间歇性能源, 风电机组的启停及其出力具有随机性;目前风力发电一般采用异步发电机, 在向系统送出有功的同时还要从系统吸收无功; 在现有的技术水平下风力发电还无法预测, 因此, 风电基本上是不可调度的。风电的这些特点将影响到电力系统的安全性。当风电场的容量较小时, 这些特性对电力系统的影响并不明显。随着风电场容量在系统中所占比例的增加, 风力发电对系统的影响就会越来越明显。大风速扰动会使系统的电压和频率产生很大的变化, 严重时可能使系统失去稳定。另外, 风电机组的运行受制于系统的运行条件, 当系统运行条件比较恶劣, 如电压水平比较低时, 风电机组就很容易在系统扰动或风速波动下停机, 从而使系统造成有功缺额, 不仅给风电场带来经济损失, 也可能使系统失去稳定。为了描述某一电力系统中能够承受的风电场容量, 因而引入了风电场穿透功率极限的概念[1]。
1风电场穿透功率极限概念
关于风电场穿透功率极限的定义有多种形式。1998年的国际大电网会上J.F.Christensen等人提出的风电场穿透功率极限是指系统所能接受的风电场最大容量和系统最大负荷的比值。R.A.Schlueter等人将风电场穿透功率极限定义为系统所能接受的风电场最大容量与系统容量的比值。考虑到我国的实际情况, 将风电场穿透功率极限定义为系统能够接受的最大风电场装机容量占系统最大负荷的百分比[2]。
2风电场穿透功率极限的计算方法
2.1数字仿真法
自风电问题出现以来, 研究人员大多采用数字仿真的方法模拟风电场并网以后对系统电能质量和安全性的影响, 综合考虑运行方式、扰动方式以及稳定判据等因素, 间接地确定系统风电场准入功率的水平。
数字仿真法物理概念清晰, 只要建立的模型正确就可考虑多种因素的影响及各种因素间的相互影响。但这是一种验证性的计算方法, 要确定一个给定系统的最大装机容量还需进行大量的仿真计算。
2.2带约束条件的优化方法
现在有学者用较成熟的优化算法求解风电场穿透功率极限的问题, 并取得了较好的成果[3]。在仿真求取风电场穿透功率极限时, 优化算法通常先假设一个风电场容量值, 再利用优化方法对风电场的容量进行修正。通过不断地仿真、分析和修正, 直到求得该种运行方式下满足约束的风电场最大容量。根据不同运行方式下求得的各自对应的风电场最大容量值, 取其中最小的容量值并根据定义计算风电场穿透功率极限。
2.3频率约束法
如果风电场接入的系统规模较小, 风电的随机波动性和不稳定性对电网频率的影响就较大, 这时限制风电场穿透功率的主要因素是频率波动和稳定性。频率约束法的基本原则如下:考虑到风电的不稳定性, 同时兼顾整个电网的安全性和经济性, 这种稳态频率分析法与电网结构没有关系, 而只与电网的负荷水平、电源性质及组成有关。频率约束分析法适用于分析研究风电场接入较小容量电网的情况。
3风电场穿透功率极限数学模型
本文采用优化算法对风电场穿透功率进行求解, 把风电场穿透功率极限问题归结为在系统静态安全约束下的风力发电功率最大化问题, 并利用内点法中的仿射尺度法来求解所提出的数学模型。在确定系统风电准入功率极限的同时, 还可以给出电力系统内其他常规机组的最优运行调度方案。
电力系统的网络结构是根据系统电源和负荷的分布位置规划设计的, 在保证系统安全的前提下, 能够满足系统正常运行的需要。风电场的接入改变了系统的电源分布, 即使在负荷不变的情况下, 系统的潮流方式也要发生改变, 这种变化往往是在系统的规划阶段没有考虑到的。因此, 风电场接入系统以后是否会危及系统的静态安全将是研究风电准入功率极限问题首先要考虑的因素。本文的静态安全约束指标主要是线路潮流不过载, 节点电压不越限。此外, 常规机组的有功出力, 还要受到上下限约束。若不考虑系统网损变化, 风电场并网运行后所有节点的功率增量总和等于0 , 以满足功率平衡的约束。所以, 求解风电准入功率极限的数学模型可以表示为:
式中:ΔP为常规发电机节点和风电场节点有功功率增量矢量;Cp为行矢量, 在与矢量ΔP中风电场节点对应位置上元素为1, 其他位置元素为0;Pl0是由线路功率初始值组成的矢量;Plmax为由线路潮流限值组成的矢量;ΔPl为线路功率增量矢量;Pgmax, Pgmin分别为发电机出力的上下限组成的矢量;P0为有功电源及风电场节点初始状态出力组成的矢量;E为所有元素为1的行矢量。EΔP=0的物理含义是:在考虑线路潮流不过载, 发电机组有功出力受到上下限的约束和不考虑网损变化的情况下, 风电场并网运行后系统中所有节点的有功增量总和等于0[5]。
假设系统初始运行状态下的节点电压幅值近似等于1.0, 根据P-Q分解潮流法有:
式中:B′为因子表矩阵。
根据直流潮流计算公式, 系统各支路的有功潮流增量矢量为ΔPl=BlMlbΔθ, 其中Mlb为支路节点关联矩阵, Bl为由支路电纳组成的对角阵。利用P-Q分解潮流, 得ΔPl=-BlMlb[B′]-1ΔP, 这表明ΔPl可以用ΔP的线性函数表示。
若选取ΔP为优化变量Z, 则规划问题可以简写为:
其中
式中:I是单位对角阵[6]。
4原仿射尺度算法
4.1原仿射尺度算法原理
原仿射尺度算法是Karmarkar算法的一种简化算法。它用仿射变换代替投影变换。早在1967年。前苏联学者Dikin I I 就首先提出了这种方法, 并于1974年给出了收敛性的证明;但他的这些工作直到1986年Barnes等人再次研究该方法后, 才被人们所发现并详细研究了这种求解方法。另一种仿射尺度算法实际上是从标准的原问题的对偶问题出发, 因而被称为对偶仿射尺度算法。起其基本思想是:从对偶问题的一个内点可行解出发, 在对偶问题的可行域内部移动, 得出改进的对偶内点可行解, 同时得出一个原估计点;迭代点列始终保持对偶可行性, 并使对偶目标行数值逐步增加, 从而逐步逼近对偶最优解;与此同时, 原估计点列对原问题的不可行性逐步消失, 从而逐步逼近原问题的最优解。
原仿射尺度算法可以直接求解标准形式的线性规划问题LP[7]:
式中:系数矩阵A是m×n阶满秩矩阵。对LP的可行域:
定义K的相对内部为:
若
现设
从K为多面体的情形可以看出, 如果现行内点可行解Xk处于凸多面体的中心位置, 显然应该沿着目标函数的最速下降方向 (即负梯度方向) 移动。但如果Xk显著偏离中心位置而与多面体的某一边界特别靠近, 则上述移动可能导致对整个迭代过程极为不利的情形。为此引进一个仿射尺度变换。
对应于Xk, 定义n阶对角阵Dk, 它的对角元素为Xk的n个x
在Rn中定义仿射尺度变换如下:
在这一变换下, Rn的正卦限中的点仍变为正卦限中的点, 但其分量值发生变化。特别地, Xk的像点为:
它与非负卦限的每一边界面都保持单位距离, 显然Y= (Dk) -1X (X∈Rn) 是可逆的, 其逆变换为
其中
对变换后的问题, 从迭代点Yk出发, 移动方向应该是使CkY迅速下降的方向。但是, 为了保证新的迭代点Yk+1仍满足约束条件AkY=B, 不能直接用负梯度方向-Ck作为移动方向, -Ck在矩阵Ak的零空间中的投影
由于该投影
向量Ck在Nk上的正交投影为:
由Ck=CDk, Ak=ADk得,
由此, 便可算出像空间中的移动方向
其中tk>0, 称为步长系数。对上式再施行逆变换, 即得原问题的新迭代点:
其中
即为原空间中的移动方向。由
若dk的风量d
其中γ是一个小于1的正数。
因此, 以上所确定的新点Xk+1仍为原问题的内点可行解。
4.2算法程序流程
原仿射尺度法的计算步骤概括如下[9,10,11,12]:
(1) 利用大M法求出问题初始解, 并设定精度参数δ (δ>0) 和ε (ε>0) , 令k=0;
(2) 令Dk=diag (Xk) , 计算对偶估计uk=CT (Dk) 2AT (A (Dk) 2AT) -1和wk=CT-ukA;
(3) 检查|wkXk|<δ是否成立, 若不成立, 检查wk, 若wk≥0或满足
(4) 计算移动方向:dk=- (Dk) 2 (wk) T并检查dk;若dk≥0停止迭代;否则转下步;
(5) 计算步长系数, 并实现转移
(6) 然后置k→k+1, 返回步骤2。
内点法
计算流程图如图1。
5算例仿真
5.1算例数据
以IEEE 9节点为算例, 考虑不同节点接入风电场的情况进行计算与分析。
基准值取SB=100 MVA。
变压器参数:
线路参数 (标幺值) :
负荷:
负荷A:125+j50 MVA;
负荷B:90+j30 MVA;
负荷C:100+j35 MVA。
将发电机G3设为系统的平衡节点 (Slack) , 设置电压幅值为1.04 pu, 电压参考相角为0°;将G2和G1设为PV节点, 分别设置有功出力为1.63 pu和0.85 pu, 设置电压幅值都为1.025 pu。
系统中线路Line 2、Line 3、Line 4、和Line 5的传输极限为100 MW, 其余线路的传输极限为250 MW。
5.2程序运行结果
下面为风电场分别接入4、5、6、7、8节点时, 程序运行结果。
以下为风电场分别接入4、5、8节点时, 程序运行后迭代次数与机组有功变化的关系见图3～图5。
由以上结果可以看出:
(1) 对3个发电机变压器出口节点4、6和8三个节点接入风电场计算结果来看, 其中节点8接入风电场时, 风电场穿透功率极限达到1.629 5, 相对于节点4和节点6接入风电场时的穿透功率极限要大得多。其原因主要是:初始状态时2号发电机节点2向电网中注入有功功率为1.631 3, 相对于1号发电机和3号发电机的有功出力要大得多, 当在2号发电机节点对应变压器出口节点接入风电时, 此时可以通过风电场的有功注入来代替2号发电机组的有功出力。由于2号机组初始有功出力很大, 所以注入的风电场有功就相对较大。从数据可以看出当风电场接在8号节点时, 2号发电机组的有功出力下降了1.130 0, 相对风电场接在节点4和节点6时下降的0.764 7和0.301 0要大得多。所以计算数据和理论分析结果一致。
(2) 从图3～图5可以看出前10～20次迭代, 迭代步长较大, 后面迭代步长较小。
(3) 从5组数据的迭代次数可以看出, 内点法求解线性规划问题具有快速的收敛性。
6结语
本文提出了一种基于静态安全约束下确定风电场穿透功率极限的优化方法, 并应用内点算法进行MATLAB软件编程求解数学模型。结论如下:
(1) 本文优化方法计算准确, 迭代迅速, 程序用时较少, 使得风电场穿透功率极限求取简便而快速。
(2) 本文优化方法不但可以直接求解风电场穿透功率极限, 同时还可以给出系统内其他常规机组的出力调整情况, 这对于风电场并网系统的运行和规划具有很大帮助。
(3) 通过对计算结果分析可知, 系统的网络结构是影响风电场穿透功率极限的一个重要因素。
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预言的极限 篇8
1968年4月，一些外交家、企业家、学者和民间人士来到罗马的一栋私人别墅内悄悄地开了几天会议，会上他们讨论了粮食、人口、石油、资源、环境等等与地球有关的问题。最后，在意大利汽车企业家奥雷里奥·佩切伊的提议下，一个关注全球性问题的组织——罗马俱乐部成立了。成立伊始，罗马俱乐部就将自己定义为一个关注全球性问题的智囊式研究机构。
长期以来，对世界弊病的敏感和对人类发展的隐忧已经被各种悲观主义未来学派的学者们阐述得淋漓尽致。从19世纪英国人马尔萨斯的《人口论》开始，到1967年美国人保罗·埃利希的盛世危言“本世纪70和80年代将有成千上万的人因饥饿致死”，罗马俱乐部的成员们希望找到一些更详细确实的材料和更科学的分析方式来支撑他们的预言。
在1970年罗马俱乐部年会上，麻省理工学院教授福雷斯特说，他可以在短时间里设计出一个符合俱乐部要求的世界模型来探索成员们对未来的隐忧。经过17位青年科学家21个月的努力，由福雷斯特的学生领导的项目小组向罗马俱乐部提交了一个题为《增长的极限》的报告，并于1972年发表，以大量的数据和图表翔实地证明了传统的经济发展模式不但使人类与自然处于尖锐的矛盾之中，并将使人类持续不断地受到自然的报复。
巧合的是，在《增长的极限》发表的第二年，由于阿拉伯国家对石油的刻意封锁，几乎所有的工业化国家都遭遇了 “石油危机”，由此产生的工业生产负增长，让普通人第一次切身体会到不是因为战争，而仅仅是因为经济增长引起资源稀缺对社会生活产生的消极影响，这使得西方社会弥漫着对未来悲观失望的气氛。《增长的极限》仿若一語成谶的圣贤“福音书”从小范围的学术界关注中传播出去，被翻译成30多种語言，在全球传播3000多万本。
但并非人人都对此深信不疑。
1981年，美国经济学家朱利安·林肯·西蒙发表《没有极限的增长》抨击了罗马俱乐部研究问题的方法。他认为，用技术分析的方法预测未来，往往与历史的实际进展相差甚远，事实上“资源的前景是乐观的，地球资源是无限的”。更有甚者，有人认为罗马俱乐部是一群正在试图打破美国经济神话、谋划推翻美国政府的“心怀不轨的人”。
但实际上，在《增长的极限》里，罗马俱乐部就清楚地表明态度：“不要盲目地反对进步，但是反对盲目的进步。”而在另一个声誉斐然的报告《私有制的极限》的序言里，罗马俱乐部更是大声疾呼：“谨防极端。”
《增长的极限》作者丹尼斯·米都斯说：“千万不要把社会发展的终结与所谓的‘世界末日’联系在一起。人类已经存活了20000代……我们这代人同样可以存活下去，但是恐怕社会发展将遭遇严峻的考验。”自成立以来，罗马俱乐部发布的33个报告仅仅是为了让人类对未来发展保持清醒的头脑，“通过风险评估对可能到来的灾难与考验找出切实可行的方案”。
在罗马俱乐部的官方网站上，他们照例对未来发出预言：“2052年的世界将比今天更加安全和自由。人类拥有机会、工具、科技和敏锐的洞察力来克服危机，进入一个更美好的社会。”当然，“我们是否能变成这样，将取决于我们每一个人”。
用极限定义证明极限 篇9
1、用数列极限定义证明：limn20 nn27
n2时n2(1)2n(2)2nn22(3)24(4)|20|222 nn7n7n7nnn1nn
2上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2 n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n[]，故取N=max{7, 2 44[]}。这样当n>N时，有n>7，n[]。因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n[]，所以不等号（3）成立的条件是1 |不等式（4）能成立，因此当n>N时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N时，在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n20|。n27n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．． 2可把它放大为（k为大于零的常数）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．． n40 nn2n 1n4n4n4时nn2n2(1)|20|22 nn1nn1nn1n2n 22不等号（1）成立的条件是n[],故取N=max{4, []},则当n>N时，上面的不等式都成例 2、用数列极限定义证明：lim 立。 注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． n2n1n 2n2n1n nnn22 n(n1)2n 1(1)n 例 3、已知an，证明数列an的极限是零。2(n1) (1)n1(1)1(2) 证明：0(设01)，欲使|an0|||成立 22(n1)(n1)n1 11解得：n1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n1 1数n都是成立的，因此取N[1]，则当n>N时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式 和不等式均成立，所以当n>N时，|an0|。 在上面的证明中，设定01，而数列极限定义中的是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？ 在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如若不设定01，则N[1]就有1 可能不是正整数，例如若＝2，则此时N＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定01，这样就能保证N是正整数了。 那么对于大于1的，是否能找到对应的N？能找到。按照上面已经证明的结论，当＝0.5时，有对应的N1，当n>N1时，|an0|＜0.5成立。因此，当n＞N1时，对于任意的大于1的，下列式子成立： |an0|＜0.5＜1＜，亦即对于所有大于1的，我们都能找到与它相对应的N=N1。因此，在数列极限证明中，可限小。只要对于较小的能找到对应的N，则对于较大的．．． 一、“变换代入法” 有的函数可通过初等代数变换 (如因式分解或分子.分母有理化, 或分子和分母同除以代数式, 化简去掉零子或无穷大因式, 再利用极限运算法则和连续函数定义undefined代入即可. 例1 求f (x) =|x-2|, 求undefined 解undefined 例2 (0801) 求undefined 解undefined 例undefined. 解undefined 二、“公式法” 利用两个重要极限公式:undefined和代数函数当x→∞极限: undefined 利用上述公式关键是认清它们的标准形式和蕴涵的条件, 并能熟悉它们的扩充和变形形式, 如: undefined 对于不符合条件不能使用, 例如undefined不能用上述公式, 可利用无穷小量的性质求得undefined.考题一般需要通过代数、三角变换或变量替换后, 化为符合公式条件下才应用.两个重要公式几乎每次都考到.有时单独使用, 更常与其他方法 (如利用函数的连续性质等) 综合使用, 特别是对于连续的复合函数, 极限符号可以先与函数符号交换, undefined, 再根据函数的形式选择相应的方法. 例undefined undefined 例undefined undefined 例undefined undefined 例undefined undefined 例6 (1001) 求undefined undefined 例undefined 解undefined 三、“求导法” 对于未定式极限undefined, 常直接利用洛必达法则 (先分别求出分子和分母的导数再求极限) .其他未定式极限:0·∞, ∞-∞, ∞0, 0∞, 1∞, 可通过通分、对数数恒变形等手段化为undefined.利用洛必达法则是求未定式极限的常用有效的办法.但必须注意只有undefined, 且undefined存在方可直接利用, 而且只要条件符合可多次使用.用法则失败时, 要考虑用其他办法解决.用洛必达法则时常常结合使用其他方法 (如用无穷小替换定理) .此方法每年必考. 例8 (0901) 求极限undefined 解undefined 例undefined undefined 例10 (0907) 求极限undefined undefined 例undefined 解 原式undefined 例undefined undefined 另解undefined ∴原式undefined 四、“无穷小法” 利用无穷小的性质 (如无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量) 及无穷小替换定理也是常用的方法.无穷小替代, 注意不能进行和差分别代换, 只能整体代换.常用的无穷小替换有:undefined 此方法常和其他方法结合使用. 例13 (0807) 求极限undefined 解 原式undefined 例14 (1001) 求限极undefined 解undefined原式=0. 例15 (0904) 求极限undefined undefined 又undefined原式=0. 例undefined 解 此题属1∞型.设undefined undefined 五、“求单侧极限法” 对于分段函数分段点两侧表达式不同的分段点极限要分别求出左右极限, 然后才能判断函数在该点的极限是否存在. 例17 (1001) 已知 undefined 在x=1处连续, 则k=____. 解 此题关键是求undefined是分段点且两侧表达式不同, 要分别求出左右极限. undefined A.2 B.1 C.4 D.∞ 解 x=2是分段点但两侧表达式相同. undefined 例19 (1004) 已知 解 x=1是分段点且两侧表达式不同, 要分别求出左右极限. undefined 六、其他方法 另外对于一些特殊复杂的数列, 要采取相应的特殊方法, 如用夹逼准则、单调有界数列必有极限法则或用等比和等差求和公式先求和再求极限等方法. 例undefined A.0 B.1 C.不存在D.∞ undefined 又undefined原式=1. 例undefined A.6 B.3 C.2 D.∞ 解 根据等比数列前n项和公式得undefined ∴原式undefined 极限是高数最基本的概念.导数、定积分定义式是极限形式, 级数也与极限密切相关.因此, 利用这些导数、积分、级数知识可丰富求极限的方法.如利用导数、定积分定义、中值定理、泰勒公式、级数也可求极限.对于有些特殊极限还可利用定义和柯西准则.解答题中求极限一般需诸法并用. 例22 (0807) 设f′ (1) =1, 则undefined 解 根据导数定义, undefined ∴原式undefined 例23 (0810) 设f′ (0) =1, 则undefined 解 根据导数定义, undefined ∴原式undefined 例24 (1004) 设函数 undefined 试确定常数a和b的值, 使得在x=0处连续. 解 此题是综合题, 关键是求undefined, 因为x=0是分段点且两侧表达式不同, 所以要分别求出左右极限. undefined (变换代入法) . undefined (用公式法) . undefined 摘要：极限运算是高等数学中的最基本运算, 本文结合近年来的全国自考高数 (一) 题目谈谈求极限常用方法. 【极限的计算】推荐阅读： 数列极限的计算07-04 极限的计算、证明07-29 极限计算中常见的错误09-08 极限的计算方法与技巧论文07-02 智力的极限05-27 材料的极限07-08 函数的极限07-22 D1.2-1.3数列的极限函数的极限07-22 逼近生命的极限06-04 极限运算的教学04-30求极限的方法 篇10