分布曲线 篇1
上述土壤水分特性曲线预测模型均含有经验参数, 对模型的推广和应用造成一定的阻碍。 最近, Mohammadi和Van-clooster提出了不含经验参数的土壤水分特性曲线简易预测模型 (MV模型) [14]。本文利用土壤颗粒分布曲线, 预测了土壤水分特性曲线, 对比了无参数的MV模型和含有单个经验参数的AP模型, 重点讨论了MV在沙壤土和粉壤土中的实际应用效果。
1模型理论
类似于Arya and Paris等人的研究[6], 文献中通常以假定的土壤颗粒紧密规则排列模型为基础来研究土壤负压与水分的特性关系。常用的颗粒模型如图1所示。此颗粒排列模型假设土壤颗粒为光滑球形, 当将土壤颗粒分布曲线分成n段后, 每段曲线对应有一平均颗粒半径Ri, 该半径即为图1中颗粒半径。
AP和MV模型均将土壤颗粒大小分布曲线分成n段, 并假设每段对应的土壤颗粒均是离散独立的, 首先计算每段的含水量, 然后组合各段土壤含水量, 得到土壤含水量。每段曲线对应的空隙体积:
式中:Vi为第i段曲线对应的土壤孔隙体积;Wi为对应的土样质量百分比;ρp为土样比重;e为土样孔隙率。
孔隙率由式 (2) 确定:
式中:ρb为土样密度。
其确定式为:
式中:Vbi为每段土样的体积。
则每段的体积含水量为:
1.1 MV模型
颗粒排列模型的总体积为:
球形颗粒的体积为:
在实际结构中, 球形颗粒的个数可能大于8或小于8;引进参数ξ, 以8ξ表示颗粒排列模型中的实际颗粒个数, ξ取决于具体的土样, 但需满足:ξ<1.909 9[见式 (9) ], 则土壤孔隙体积为:
孔隙率e为:
参数ξ满足:
孔隙率由式 (10) 给出:
颗粒排列模型的横断面孔隙面积Ai为:
孔隙周长Ci为:
所以土壤负压bi为:
式中:σ为水的表面张力系数;δ为土壤颗粒和水的接触面的夹角;ρw为水的密度;g为重力加速度;β为单个孔隙中周长与面积之比。
根据Mohammadi和Vanclooster的研究[14], 当土壤颗粒排列模型为立体模型时, 取β=7.318。由于β与ξ具有很强相关性 (相关系数达到0.95) , 可设β/ξ为常数, 即:β≈7.318ξ。在本文研究中, 取σ=7.275×10-2kg/s2, ρw=998.9kg/m3, g=9.81m/s2, δ=0°, 则土壤负压的最终表达式为:
1.2 AP模型
每段曲线对应的土壤颗粒体积为:
每段曲线对应的孔隙体积为:
式中:ri为土壤孔隙平均半径;hi为土壤孔隙总长度。
在图1假想的土壤颗粒排列模型中, 土壤空隙的总长度可以用2 niRi代替;由于实际的土壤颗粒排列可能与假想结构不符, 引入一个修正参数α, 每个排列模型中土壤颗粒数量修正为niα。Arya等人发现α 的取值范围为1.31~1.43, 且α 取1.38时效果最好[6], 故采用建议值1.38。结合公式 (15) 、 (16) 和修正参数, 得到孔隙半径的表达式:
土壤负压可表达为:
在本文研究中, 取σ=7.275×10-2kg/s2, ρw=998.9kg/m3, g=9.81m/s2, δ=0°, 则土壤负压的最终表达式为:
2 供试土样
供试土样取自江苏常州水稻研究所水稻试验田、江西南昌红壤性水稻土、山东寿光蔬菜大棚土 (为表述简洁, 后文将以上3种土样分别简称为土样JS、土样JX、土样SD) 。土样JS、JX和SD分别为粉壤土、粉壤土和沙壤土。利用压力膜法和离心法联合测定三种土样的水分特性曲线。
采用筛分法和比重计法联合测定土壤颗粒级配, 采用Fredlund公式对土壤颗粒级配进行拟合:
式中:α, n, m, df为拟合参数;dm=0.000 1;P (d) 为粒径小于等于d的土壤颗粒体积百分比。
各土样的颗粒大小分布拟合曲线如图2所示。
3 结果与分析
分别利用实验室测定和模型预测的方法得到了JS、JX、SD3种土样的水分特性曲线, 如图3所示。
采用van Genuchten (1980) -Mualem经验公式拟合土壤水分特性曲线:
式中:θ为土壤体积含水量;θr为残余含水量;θs为饱和含水量;β、k为拟合参数;h为土壤负压。
采用最小二乘法, 对3种土壤的观测θ~h数据及其不同模型预测的θ~h数据进行vG模型参数拟合, 得到各参数最佳拟合值如表1所示。表1中拟合相关系数R2越接近于1, 则表示拟合效果越好。
利用拟合的土壤水分特性曲线, 模拟同一土壤负压下所对应的土壤含水量, 模拟结果如图4所示。
本文采用误差平方和 (SSE) 来评价曲线的拟合效果, 采用Akaike信息准则 (AIC) 来衡量模型优劣, 分别定义如下:
式中:Yi为实测值;为拟合值。
SSE越小, 拟合效果越好。
式中:N为数据个数;p为模型经验参数。
AIC值越小, 模型的预测结果越好。对图4中的数据分别进行误差平方和和AIC检验, 如表2所示。
从表1可知, 借助MV模型和AP模型, 各土样的参数拟合相关系数R2均接近于1, 表明这两个模型能够较好地模拟出真实的土壤水分特性曲线。不同方法获得饱和含水量很接近, 这主要是由于AP和MV模型在低负压区域的模拟效果均非常良好。k是水分特性曲线形状中最为敏感的参数, 该参数决定了曲线的形状, 一般认为随着土壤黏粒的增加, k值逐渐减小[15];SD、JX和JS土样中黏粒含量分别为13%、23%和28%, 由表1可以看出, 拟合出的模型拟合出的k值均随着黏粒增加而增大。因此, 两个模型均能够表达出土壤水分特征曲线的这个内在特点。同时也注意到, 模型预测的β值虽在合理取值范围内[10,16], 但均与实测含水量-负压曲线拟合出的β值相差较大;AP模型的预测值尤其偏小。因此, 两个模型在模拟β值方面可能仍有待改进。总的来说, 作为水分特征曲线的间接模型, 在本文研究中AP和MV模型取得了良好的模拟效果, 模拟精度与文献[14, 17]中报道的精度接近。由表1中实测值的拟合效果可知, 土壤质地是影响k值的主要因素之一, 这与van Genuchten等人研究结果一致;两模型拟合得到的k值与实测值相差较大, 表明模型拟合得到图形的形状相差较大, 从图3中可以明显看出。
从图3 可以得出, MV模型和AP模型在较小土壤负压下, 对土壤含水量预测效果较好;当土壤负压较大时, MV模型和AP模型在土样SD (沙壤土) 中的预测含水量明显小于实测值, 且当土壤负压越大差值越明显;一般来说, 在相同负压条件下, MV模型预测的含水量要小于AP模型预测值, 且MV模型的预测负压与观测值偏离较大。
结合图3和表2可知, 随着土壤黏粒的增加 (SD、JX和JS土样中黏粒含量分别为13%、23%和28%) , AP模型的预测效果逐渐变差, 这与Mohammadi和Vanclooster的研究结论相同;但MV模型的预测效果与土壤黏粒含量之间无明显关系。总的来说, MV模型的AIC值大于AP模型, 因此AP模型更加适用于本文土样水分特征曲线的研究。
值得注意的是, AP模型中包含经验参数α[公式 (19) ], AP模型的预测效果依赖于该经验参数的取值, 本文采用了Arya建议的α值1.38。MV作为一种无参数模型, 计算过程更为简单, 不依赖参数的经验取值。
4 结语
正态分布曲线教学感悟 篇2
正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，由中心极限定理知一个随机变量如果是众多的、互不相干、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布，服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都是0，通常感兴趣的是它落在某个区问的概率，离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数曲线描述，高中数学2—3介绍几种常用分布：两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布，当”充分大时，二项分布可用正态分布来近似，即二项分布的正态逼近，因此，在教学是有必要跟学生介绍离散型和连续型分布的区别与联系，
正态分布密度函数的推导是十分困难的，教科书采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的实际含义，而本节的教学重点应放在引导学生认识正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义上，教学中可采用直观方法：高尔顿板实验的方法（可利用计算机模拟）引入正态分布密度曲线，可以帮助学生理解正态分布曲线的来源，当然，教师要引导学生，在实验中，小球到底落到哪个球槽内，是很多次与小木块随机碰撞结果的叠加，并引导学生观察小球落到球槽的分布情况，使学生注意投放一个小球实验是一个随机实验，重复投放”个小球，相当于做了”次独立重复实验，随着实验次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，
2.正态分布密度曲线及函数的定义、性质
给出正态曲线图像后，虽然看上去很美，但教材上是不会说明这个密度函数是通过什么原理推导出来的，所以学生会搞不明白数学家当年是怎么找到这个概率分布，这个概率分布有何重要作用，因此，教学中，教师可以介绍正态分布曲线从发现到被人们重视进而广泛应用几百年的精彩历史！教材中列举了许多服从正态分布的随机变量的例子，比如某一地区同龄人群身高的分布，打靶所中环数等，教师可以引导学生分析为什么它们都近似服从正态分布，以加强学生对随机变量产生背景的印象，要的数学常量兀，e都出现在这公式中，数理统计领域中这个公式最能让人感觉到“神”的存在，因为这个分布戴着神秘面纱，在自然界中无处不在，让你在纷繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序！教师可以结合研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、某区间上的最值等方面来分析密度函数的性质，
数形结合在正态曲线的教学中尤为重要，正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系、单峰性、对称性、峰值的位置与大小、图像与坐标横轴围成的面积，这里前四个特点都可以根据函数曲线的形状及正态密度函数表达式得到，最后一个需要利用概率的性质，教材并没有给出具体证明，教师可结合几何画板直观展示两个参数u，σ对正态分布密度曲线位置、形状的影响，服从正态分布Ⅳ（u，σ2）的随机变量服从3σ原则，
3.全国卷中的正态分布
在长时间的福建高考数学卷中，几乎没见正态分布题目的身影，2016年起，我省高考将恢复使用全国卷，纵观近些年全国卷，正态分布亮相多次，有单独知识点考查，也有与其它知识融会贯通，这不得不引起我们的思考、重视，教学中，要注重解题方法与技巧，
例（2012年高考新课标全国卷·理15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件l或者元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布Ⅳ（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的为——，
考点正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义
专题计算题；基础题
数学思想方法数形结合
分析先根据正态分布的意义，知三个电子元件 的使用寿命超过1000小时的概率为1/2，所求事件“该
部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件l、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分布求其概率再相乘即可，
反思本题主要考察了正态分布的意义，正态密度曲线的对称性，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，
例（2014年高考新课标I全国卷·理18）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图，
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差；
考点正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差，
专题计算题；概率与统计，
数学思想方法数形结合，
分析由z服从正态分布Ⅳ（200，150），利用3σ原则求出P，
反思本题主要考察离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考察计算能力，
4.结语
分布曲线 篇3
学号：120606325
姓名：王逢雨
[摘 要] 机械故障诊断是一门起源于 20 世纪 60 年代的新兴学科，其突出特点是理论研究与工程实际应用紧密结合。该学科经过半个世纪的发展逐渐成熟，在信号获取与传感技术、故障机理与征兆联系、信号处理与诊断方法、智能决策与诊断系统等方面形成较完善的理论体系，涌现了如全息谱诊断、小波有限元裂纹动态定量诊断等原创性理论成果，在机械、冶金、石化、能源和航空等行业取得了大量卓有成效的工程应用。统计分析工作是机械故障诊断中的核心环节，统计分析工作的质量和水平将会对机械设备的检修工作产生重要影响，关系到机械设备的安全与可靠运行。本文在对机械故障的特性等问题进行阐述的基础上，重点就机械故障统计分析工作中数据的收集和统计分析的方法进行重点探讨，希望对提高机械故障的管理水平能够有所帮助。
[关键词] 机械故障；统计分析；数据收集；方法
一、统计分析工作中机械故障的特性 机械设备在使用过程中，由于会受荷载应力等环境因素的影响，随着机械设备部件之间磨损的不断增加，结构参数与随之变化，进而会对机械功能的输出参数产生影响，甚至使其偏离正常值，直至产生机械故障。概括说来，主要有以下几方面的特性。
（一）耗损性
在机械设备运行过程中，不断发生着质量与能量的变化，导致设备的磨损、疲劳、腐蚀与老化等，这是不可避免的，随着机械设备使用时间延长，故障发生的概率也在不断增加，即使可以采取一定的维修措施，但是由于机械故障的耗损性，不可能恢复到原先的状态，在经过统计分析工作后，必要时需要对设备进行报废。
（二）渐损性
机械故障的发生大多是长期运行的老化或疲劳引起的，所以具有渐损性，而且与设备的运行时间有一定的关系，所以做好机械设备的统计分析工作是很有必要的，当掌握了设备故障的渐损规律后，可以通过事前监控或测试等手段，有效预防机械故障的发生。
（三）随机性
虽然有的机械故障具有一定的规律性，但这并不是绝对的，因为机械故障的发生还会受到使用环境、制造技术、设备材料、操作方式等多种因素的影响，因此故障的发生会具有一定的分散性和随机性，这在一定程度上增肌了机械设备预防维修与统计分析工作的难度。
（四）多样性
随着科学技术的发展与应用，机械设备的工作原理日趋复杂，零部件的数量在不多增多，这就使得机械故障机理发生的形式日趋多样化。机械故障的发生不仅存在多种形式，而且分布模型及在各级的影响程度也不同，在统计分析工作中需要引起足够的重视。
二、机械故障管理中统计数据的收集
在对机械故障的统计分析工作中，数据的收集是最基础的环节，因此必须保障数据收集的及时性、准确性和规范性，这样才能为接下来的数据分析工作奠定良好的基础。
（一）做好日常检点数据的收集 机械设备的操作人员和统计人员要重视对日常点检记录数据的收集，只有这样才能保证统计数据收集的全面性。对此，相关人员要严格按照点检表对设备进行检查和记录，对于发生的问题或故障要在第一时间记录在《 设备故障报修单 》 上，并及时上交机械故障管理部门。
（二）安装调阶段相关数据的统计与处理
对于机械设备在安装调试阶段发生的故障，统计人员要引起高度重视，并详细记录在案，以备后期的参考与分析，对于搜集到的同行业相同设备的故障数据，在确保其真实性的基础上，也可以将其纳入到统计范围之内。
（三）确保采集与整理的规范性
为了保证故障数据分析的准确性和规范性，统计人员及设备检修人员在日常工作中必须详细、规范地填写 《 设备故障分析报告》、《 设备故障处理单》 等资料，对机械故障发生的部位、原因、时间、表现以及后期的处理与改进等详细记录在案。
三、机械故障管理中统计数据的分析方法
（一）焦点分析法
焦点分析法是一种最直接、最简单的方式，是以机械故障问题点为中心的分析方法，其分析结果简单明了，实用性比较强。首先，我国要根据需要把一个圆分成等分成若干块，每一块分别代表着生产线机械设备有标准化问题点的一部分，分别记录着该部分发生故障的次数，然后用有量线段进行表示，最后将这些点进行连接，所形成的多边形就是带有评价性质的焦点分析图。
（二）直方图对比分析法
该方法要求预先对计划指标数值进行设定，然后按照机械故障发生的实际录入实绩值，然后将实绩值与计划值进行对比，看其差距之间的大小，并参照历史实绩值进行分析，这可以反映出机械故障发生时计划值与实绩值的科学性，以及设备故障发生概率的大小，便于及时采取相应的检修措施。
（三）排列图分析法
排列图分析法也被称为帕洛特图法、主次因素分析法，它是找出造成设备故障并进行分析的一种简便有效的图表分析方法。排列图是根据“关键的少数和次要的多数”的原理而制作的。即对影响机械设备故障的因素按照影响程度的大小用直方图进行排列，找出最主要的因素，其结构包括一个横坐标和两个纵坐标，若干个直方形和一条折线构成，通常将影响因素分为三类： A类因素（占比 80%以下）、B 类因素（占比 80%～90%）、C 类因素（占比 90%以上）。其中，A类因素为主要因素，也是设备故障管理中需要重点解决的因素。
四、典型的故障率分布曲线
现代的设备管理中，典型的故障率分布曲线——浴盆曲线仍然占有很重要的地位。很多故障的分析都是基于浴盆曲线发展的。
无故障工作期就是在浴盆曲线上发展而来的。与传统可靠性指标中假设产品的随机失效不可避免不 同，无 故 障 工 作 期（ＦＦＯＰ）内 产 品 不 会 发 生 任 何 故 障（即零故障）。首先阐述了 ＦＦＯＰ的概念内涵、与平均故障间隔时间（ＭＴＢＦ）的区别和联系，提出了一种 ＦＦＯＰ 的预计方法。该方法假设产品的故障率函数具有浴盆曲线特征、故障发生过程为泊松过程、产品具有固定的免维修工作期。然后以一种改进的 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布函数描述具有浴盆曲线函数特征产品的故障率。基于泊松过程理论，给出了 ＦＦＯＰ 的预计算法、流程和仿真验证手段。最后以某型无人机舵机为 案 例 对 研 究 方 法 的 可 用 性 进 行 了 验 证。结 果 表 明： ＦＦＯＰ 与 免 维 修 工作期（ＭＦＯＰ）、置信度水平密切相关，及时维修的产品能够保证较长的 ＦＦＯＰ。在工程应用时，ＦＦＯＰ 的确定应综合考虑运行维护费用进行权衡。
无故障工作期（ＦａｉｌｕｒｅＦｒｅｅＯｐ ｅｒａｔｉｎ ｇＰｅｒｉ －ｏｄ，ＦＦＯＰ）定义为产品不会 发 生 任 何 故 障（即 零故障）的时间。对于符合设计要求、质量合格的产品，往往都要求其具有一定的无故障工作期，尤其是具有高 可 靠 性／安 全 性 需 求 的 系 统，如 武 器 装备、核能系统、载人航空航天器、高速列 车 等。作为耐久性度量指标，ＦＦＯＰ 的长短与维修费用、保障费用紧密 相 关。准 确 预 计 ＦＦＯＰ，结 合 合 理 的维修策略，能够实现对产品的充分使用，降低运行成本。
ＦＦＯＰ概念最早在美国空军颁布的军用规范ＭＩＬ－Ａ－８７２４４《 航空电子设备完整性大纲要求》 中提出［ １］，其中 ＦＦＯＰ 作 为 耐 久 性 参 数，对 传 统 的可靠性参数进行了补充，并指导设计和生产。后来美国又颁布了一系列规范和指南，都对装备的ＦＦＯＰ指标有了明确的要求［ ２ －３］。在１９９６年英国国防部（Ｍｉｎｉｓｔｒ ｙｏｆＤｅｆｅｎｃｅ，ＭＯＤ）提出免维修工作期（ＭａｉｎｔｅｎａｎｃｅＦｒｅｅＯｐ －ｅｒａｔｉｎ ｇＰｅｒｉｏｄ，ＭＦＯＰ）的 概 念 以 后［，ＦＦＯＰ 就通 常 与 ＭＦＯＰ 结 合 度 量 产 品 的 耐 久 性。ＭＦＯＰ概 念 比 ＦＦＯＰ 严 格，在 ＭＦＯＰ 内，产 品不 允 许 出 现 任 何 影 响 性 能 和 任 务 的 失 效 事 件；而 ＦＦＯＰ 内 不 允 许 故 障 但 允 许 维 修 活 动，ＦＦＯＰ是 一 系 列 免 维 修 工 作 期 的 集 合。文 分 析 了 英 国 国 防 部 为 新 一 代 战 机 提 出 的ＭＦＯＰ概 念，与平均 故 障 间 隔 时 间（ＭｅａｎＴｉｍｅＢｅｔｗｅｅｎＦａｉｌｕｒｅｓ，ＭＴＢＦ）进 行 了 对 比，并分 别研 究 了 基 于 任 务 可 靠 度 和 更 新 理 论 的 ＭＦＯＰ预 计 方 法，于 英 国 的 超 高 可 靠 飞 行 器（ＵｌｔｒａＲｅｌｉａｂｌｅＡｉｒ －ｃｒａｆｔ，ＵＲＡ）和 未 来 攻 击 飞 行 器（ＦｕｔｕｒｅＯｆｆｅｎ －ｓｉｖｅＡｉｒｃｒａｆｔ，ＦＯＡ）项 目。当前国内外的研究大多集中在对无故障工作期／免维修工作期（Ｆ ／Ｍ－ＦＯＰ）概念的阐述以及适场合 分 析 等 方 面［ ７ －１１］，证 明 了 基 于 Ｆ ／Ｍ－ＦＯＰ维修策略的有效性。文献［ １２］ ～文献［ １４］ 假设产品故障为有限时间区间内的离散事件，基于统计方法估计了产品存在某固定长度 ＭＦＯＰ 的概率。文献［ １５］ 以典型机电产品为案例，研究故障事件为齐次泊松过程情况下 ＦＦＯＰ 的评估方法，并对结果进行了合理性分析。文献［ １６］ 和文献［ １７］ 基于 Ｐｅｔｒｉ网络，使 用 仿 真 方 法 分 析 了 固 定 ＭＦＯＰ系统的可靠 度。以 上 研 究 集 中 在 ＭＦＯＰ 预 计 方法方面，没有考虑维修策略对 ＦＦＯＰ 的影响。然而，为 促 进 基 于 ＦＦＯＰ 维 修 策 略 的 应 用，需 要 进一步研究 ＦＦＯＰ的预计方法与模型。在很多 情 况 下，产 品（系 统）的 Ｆ ／Ｍ－ＦＯＰ 大多由运行 过 程 中 随 机 故 障 事 件 之 间 的 相 对 位 置（时间、空间距离）决定，相对位置的远近直接影响产品的 ＦＦＯＰ。以 图 １ 所 示 的 时 间（空 间）区 间［ ０，Ｌ］ 为例，假设系统是一个客户服务系统，为一个客户服务的免维修周期为ｓ。如果两个或者更多的客户集中在ｓ内出现，如图１（ａ）所示，则系统会出现过载（故障），此系统的 ＦＦＯＰ 为ｓ的 概 率就是Ｐ｛ ｎ［ ｔ，ｔ＋ｓ］ ≤１｝，ｎ［ ｔ，ｔ＋ｓ］ 为［ ｔ，ｔ＋ｓ］ 区间内的客户数量。类似的方法也可以用于分析交通处理系统，如图１（ｂ）所 示，如 果 一 个 交 通 意 外 的恢复 周 期 为ｓ，在 这 段 周 期 内 出 现 的 其 他 意 外 则会导致拥堵（故障）； 如果把事件区间换作一段钢结构（见图１（ｃ））或者电缆（见图１（ｄ）），也存在一个极 限 区 间ｓ，在 这 个 区 间 内 应 力 集 中 点 或 缺 陷次数要低于某一确定数量，否则会出现故障。以上案例中，客户出现与事故发生时刻
泊松过程是描述随机事件发生的基本数学模型之一，实际生活或自然世界中的随机事件，大多可以用泊 松 过 程 描 述［ １８］。对 于 寿 命 服 从 指 数 分布的产品，故障率是一个常数，寿命周期内随机故障事件可以用齐次泊松过程描述。然而，实践证明，大多数产品的故障率随时间变化的曲线是浴盆曲线［ １９］，故障 率 是 时 变 函 数，故 障 事 件 需 要 用非齐次泊松过程描述。本文首先阐述 ＦＦＯＰ 与 ＭＦＯＰ 之 间 的 区 别与联系，然 后 提 出 一 种 ＦＦＯＰ 预 计 方 法，预 计 故障率函数为浴盆曲线的产品的无故障工作期。该方法作了如下假设： ① 故障事件服从泊松过程；② 故障率函数为浴盆曲线； ③ ＦＦＯＰ内允许固定周期的计划维修，产 品 修 复 如 新； ④ 一 个 ＭＦＯＰ内不允许有任何影响产品正常运行的故障事件，一个维修恢复期（ＭａｉｎｔｅｎａｎｃｅＲｅｃｏｖｅｒ ｙＰｅｒｉｏｄ，ＭＲＰ）只能处理一次随机故障。在以上假设的基础上，给出了 ＦＦＯＰ 的预计方法、模型和预计步骤，并通过某型无人机舵机对所提方法进行了应用验证。１ ＦＦＯＰ概念与内涵
在 ＭＩＬ－Ａ－８７２４４中，ＦＦＯＰ 被定义为故障概率达到２％ 的 时 间。图 ２ 描 述 了 概 率 密 度 函 数（Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔ ｙ Ｄｅｎｓｉｔ ｙ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ＰＤＦ）、ＦＦＯＰ这３者之间的区别与联系。
根据 ＦＦＯＰ和 ＭＴＢＦ的定义，有
∫ ０ ＦＦＯＰｆ（ｔ）ｄ ｔ＝２％（１）ＭＴＢＦ＝∫ ０ ∞Ｒ（ｔ）ｄ ｔ＝∫ ０∫ ∞ ｔ ∞ｆ（τ）ｄ τ ｄ ｔ（２）
式中： ｆ（ｔ）为故障密度函数； Ｒ（ｔ）为可靠度函数。对于大多数产品来说，由于不可避免 的 随 机失效，图２所示时间ｔ ０ 通常为０，这样就导致产品的 ＦＦＯＰ很短。然而对于具有高可靠性／安全性需求的系统，又 需 要 具 有 一 定 长 度 的 ＦＦＯＰ。这个要求既可以通过设计手段降低产品的故障率实现，对 于 可 修 复 产 品，又 可 以 通 过 固 定 周 期 的 维护，使产品始终工作在比较“ 新” 的状态，进而降低随机故障事件发生的概率来实现。对于可修复的产品，ＦＦＯＰ 与 ＭＦＯＰ 密切相关［ １０］。如果维护频繁，并且能够保证修复如新的话，ＦＦＯＰ会比维护不力的设备要长。建立 ＦＦＯＰ 预 计 模 型 是 预 计 ＦＦＯＰ 的 关 键步骤。若要使产品在整个工作周期［ ０，Ｌ］ 内无故障运行，则要求在每次故障发生前进行维护并恢复到完好状态。由于一个维修恢复期只能处理一次随机故障，所以要求维修次数要和随机故障的次数一致，并且在故障事件实际发生之前就已经得到维修并完全修复，即第ｉ次和第ｉ＋１次维修之间的间隔时间ｓ ｉ，ｉ＋１小于第ｉ次 和第ｉ＋１次实际故障间隔时间Ｓ ｉ，ｉ＋１。若在整个寿命周期［ ０，Ｌ］内出现ｋ 次故障，设定免维修工作期 ＭＦＯＰ ｉ，ｉ＋１＝ｓ ｉ，ｉ＋１，那么 存 在 长 度 为 Ｌ 的 ＦＦＯＰ 的 概 率 ＰＦＦＯＰ（故障发生前都能被完全修复以避免故障实际发生的概率）为［ １５］ＰＦＦＯＰ ＝Ｐ（ｓ ０，１ ≤Ｓ ０，１ ∩ｓ １，２ ≤Ｓ １，２ ∩ „ ∩·ｓ ｋ－１，ｋ ≤Ｓ ｋ－１，式中： ｋ 为故障次数。
２ ＦＦＯＰ的预计模型
研究对象 为 故 障 率 函 数 类 似 浴 盆 曲 线 的 产品，并且故障事件具有泊松过程特性。由于寿命分布不是指数分布，故障率随时间变化，寿命周期内随机故障事件必须用非齐次泊松过程描述。２．１ 泊松过程
泊松过程具有以下特性：
１）令 Ｎ（ｔ）为（０，ｔ］ 中随机事件出现的次数，则有 Ｐ（Ｎ（ｔ）＝ｍ）＝（）λ ｔ ｍｍ！ｅ － λ ｔ（４）式中： λ为故障率／故障强度函数。
２）随机事件之间的间隔时间 Ｔ 互相独立并且服从指数分布特征，即 Ｐ（Ｔ ＞ｔ）＝ｅ － λ ｔ（５）
假设随机事件是故障事件，在ｔ时刻，随机故障事件导致的系统不可靠度为 Ｆ（ｔ）＝Ｐ（Ｔ ＜ｔ）＝１－ｅ － λ ｔ（６）２．２ 浴盆曲线的故障率函数
已有的研究成果表明，基于浴盆曲线 的 故 障密度函数有如下形式［ ２０］： ｆ（ｔ）＝γ β（ｔ ／ α）β －１ｅｘ ｐ（（ｔ ／ α）β ＋ γα（１－ｅｘ ｐ（（ｔ ／ α）β）））（７）对应的可靠度函数为
Ｒ（ｔ）＝ｅｘ ｐ（γα（１－ｅｘ ｐ（（ｔ ／ α）β）））（８）故障率函数为
λ（ｔ）＝γ β（ｔ ／ α）β －１ｅｘ ｐ（（ｔ ／ α）β）（９）式中： α、β、γ 均 为 分 布 函 数 中 的 参 数。绘 制 故 障率函数曲线，如图３所示
从图３可以看出，产品的故障率明显 呈 浴 盆曲线特性，可以描述分布特征为浴盆曲线的产品故障率。２．３ ＦＦＯＰ的预计步骤
研究具有浴盆曲线故障率函数的产 品，与 指数分布不同，其故障率为非常值，且导致故障发生为非齐次泊松过程，对比文献［ １５］ 中ＰＦＦＯＰ的计算公式，可以得到
式中： ｒ为允许的维护次数。在进行 ＦＦＯＰ 预计之前，需要根据式（７）～式（９）确定产品的λ（ｔ）。ＦＦＯＰ的预计步骤如图４
首 先，设 置 ＦＦＯＰ 为 Ｌ 的 置 信 度 ＰＦＦＯＰ ＊ 和设置初始维护次数ｒ＝１。
按照图４所示的流程，对维护次数递增，得到满足式（１１）的最大维护次数ｒ。
［ ］ ｒｓ，（ｒ＋１）ｓ（１２）
对于 大 多 数 工 程 应 用，式（１２）所 描 述 的ＦＦＯＰ区间已经足够。更精确的预计结果可以通过在区间内多点取值，由式（１１）反复校验的方式获取。
基于浴盆 曲 线 故 障 率 函 数 的 ＦＦＯＰ 预 计 方法，能够预计失效过程为泊松过程，并且故障率函数服从浴 盆 曲 线 特 征 情 况 下 的 产 品 无 故 障 工 作期。将 ＦＦＯＰ作为设备耐久性参数之一，可以为产品的寿命评估和维护策略制定提供依据。
四、总结
综上所述，机械故障诊断中的统计分析工作，对延长机械设备的使用寿命、提高企业的经济效益具有十分重要的作用和意义，尤其是随着设备检修工作的日趋复杂化，我们只有重视机械设备日常运行过程中的数据收集和先进统计分析方法的运用，做好机械故障的统计分析工作，才能对机械设备采取有针对性的维护措施，延长机械设备的使用寿命，不断提高设备生产的经济效益。
在今天现代设备管理中设备的零件变得越来越多，有的时候机械的故障不再某个单一的轴承、齿轮或转子等，而是几个或者几组零件。机械系统的相互作用才是故障产生的本质原因。针对关键零件的故障诊断分析往往只能诊断出诱发性故障，不能从根本上解决问题。因此，我们应针对机械的故障的多样性整体分析，从多层面，多角度分析，深入研究系统内部各组成部分的动力特性、相互作用和依赖关系，得出零部件故障的初步结论，接着探索系统故障的根源，找出原发性故障，从而根除机械设备故障隐患。
在现代设备管理中，大多数故障的原因是人为的，对于这个我们应建立相关的管理规章制度，做好人员的培训，尽量避免，做好设备的日常维护。人人都养成维护企业或公司利益思想。
参考文献：
1、基于浴盆曲线故障率函数的FFOP预计方法_马纪明
2、机械故障管理中的统计分析探讨_吴文萍
3、机械故障诊断基础研究_何去何从_王国彪
4、数控车床故障分布规律及可靠性_张英芝