统计与概率复习指导 篇1
一、考点精讲
考点一:
1.为某一特定目的而对所有考察对象所作的全面调查叫做普查。
2.为某一特定目的而对部分考察对象所作的调查叫做抽样调查。
考点二:
1.总体、个体及样本。
在统计中,我们把所要考察对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个体。当总体中个体数目较多时,一般从总体中抽取一部分个体,这一部分个体叫做总体的样本,样本中个体的数目叫做样本容量。
2.平均数。
如果有n个数x1、x2、x3、…、xn,那么(x1+x2+x3+…+xn)称为这n个数的平均数。
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数。样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。通常用样本平均数去估计总体平均数,用样本估计总体时,样本容量越大,样本对总体的估计也就越精确。
3.众数与中位数。
(1)在一组数据中,出现次数最多的数称做这组数据的众数(一组数据的众数有时有几个)。
(2)将一组数据按大小依次排列,把处在最中间的一个数据(或最中间两个数据的平均数)称做这组数据的中位数。
(3)众数、中位数与平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势。
4.方差、标准差与极差。
(1)在一组数据x1、x2、x3、x4、…、xn中,各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差,即S2=.
(2)一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,即S=.
(3)极差=最大值-最小值。
(4)极差、方差和标准差都是用来衡量一组数据的波动大小,方差(或标准差)越大,说明这组数据波动越大。
考点三:
统计图是表示统计数据的图形,是数据及其之间关系的直观反映。
1.条形统计图。
用长方形的高来表示数据的图形。
它的特点是:(1)能够显示每组中的具体数据;(2)易于比较数据之间的差别。
2.折线统计图。
用几条线段连成的折线来表示数据的图形。
它的特点是:易于显示数据的变化趋势。
3.扇形统计图。
(1)用一个圆代表总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小,这样的统计图叫扇形统计图。
(2)百分比的意义:在扇形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形的圆心角的度数与360°的比。
(3)扇形的圆心角=360°×百分比。
4.频数分布直方图。
(1)把每个对象出现的次数称为频数。
(2)每个对象出现的次数与总次数的比(或者百分比)叫频率,频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度。
(3)频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况。
(4)频数分布直方图的绘制步骤是:①计算最大值与最小值的差;②决定组距与组数;③确定分点,常使分点比数据多一位小数,并且把第一组的起点稍微减小一点;④列频数分布表;⑤用横轴表示各分段数据,纵轴反映各分段数据的频数,小长方形的高表示频数,绘制频数分布直方图。
二、典例精析
例1 (1)(2010·贵州贵阳)下列调查,适合用普查方式的是()。
A.了解贵阳市居民的年人均消费;
B.了解某一天离开贵阳市的人口流量;
C.了解贵州电视台《百姓关注》栏目的收视率;
D.了解某班学生对“创建全国卫生城市”的知晓率。
(2)(2010·浙江绍兴)甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表:
则这四人中成绩发挥最稳定的是()。
A.甲;B.乙;
C.丙;D.丁。
(3)(2010·兰州)某射击小组有20人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图1所示的统计图,则这组数据的众数和中位数分别是()。
A.7,7;B.8,7.5;
C.7,7.5;D.8,6.
点拨:理解普查及抽样调查的意义,普查即对考查对象进行全面调查,抽样调查必须注意抽样的样本具有代表性和广泛性;准确把握平均数、众数、中位数、方差的概念是做相关题目的关键。
答案:(1)D,(2)B,(3)C.
例2 (2009·潍坊)新星公司到某大学从应届毕业生中招聘公司职员,对应聘者的专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项进行测试或成果认定,三项的得分满分都为100分,三项的分数分别按5:3:2的比例记入每人的最后总分,有4位应聘者的得分如下表所示:
(1)写出4位应聘者的总分;
(2)就表中专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项的得分,分别求出三项中4人所得分数的方差;
(3)由(1)和(2)所得结论,你对应聘者有何建议?
点拨:本题重点考查同学们读图、识图的能力,解答此类问题要把条件和统计图结合起来考虑分析,而且对于相关概念要在理解的基础上记牢、记准确。
解:(1)应聘者A总分为86分;应聘者B总分为82分;应聘者C总分为81分;应聘者D总分为82分.
(2)专业知识测试的平均分数:=85,
方差为:[(85-85)2+(85-85)2+(80-85)2+(90-85)2]=12.5.
英语水平测试的平均分数:=87.5,
方差为:×2.52×4=6.25.
参加社会实践与社团活动等的平均分数为:=70.
方差为:[(90-70)2+(70-70)2+(70-70)2+(50-70)2]=200.
(3)对于应聘者的专业知识、英语水平的差距不大,但参加社会实践与社团活动等方面的差距较大。应聘考不仅要注重自己的文化知识的学习,更应注重社会实践与社团活动的开展,从而促进其综合素质的提升。
例3 (2010·贵州贵阳)《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准为:86分及以上为优秀;76分～85分为良好;60分～75分为及格;59分及以下为不及格。某校抽取八年级学生人数的10%进行体质测试,测试结果如图2所示。
(1)在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是_;(3分)
(2)小明按以下方法计算出所抽取学生测试结果的平均分是:(90+82+65+40)÷4=69.25.根据所学的统计知识判断小明的计算是否正确,若不正确,请写出正确的算式并计算出结果。(3分)
(3)若抽取的学生中不及格学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数,请估算出该校八年级学生中优秀等级的人数。(4分)
点拨:本题考查从条形统计图和扇形统计图中获取正确的信息,并能依据信息求相关量。
解:(1)4%……………3分
(2)不正确………4分
正确的算法:90×20%+82×32%+65×44%+40×4%=74.44……………6分
(3)设不及格的人数为x人,
则76≤40x≤85,1.9≤x≤2.125,
∴x=2………………7分
∴抽取学生人数为:2÷4%=50(人)………………8分
八年级学生中优秀人数约为:
50×20%÷10%=100(人)………………10分
专题二:概率
一、考点精讲
考点一:
1.必然事件:一定会发生的事件叫做必然事件。
2.不可能事件:一定不会发生的事件叫做不可能事件。
3.确定事件:必然事件和不可能事件统称为确定事件。
4.不确定事件:可能发生,也可能不发生的事件叫做不确定事件,也叫做随机事件或偶然事件。
5.分类:
考点二:
1.概率:一个事件发生的可能性的大小,可以用一个数来表示,我们把这个数叫做这个事件发生的概率;
2.在进行实验的时候,当实验的次数很大时,某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。我们可以通过多次实验用一个事件的频率来估计这一事件的概率;
3.概率的计算方法及公式:
公式:P(E)=。
方法:①画树状图法;②列表法。
4.概率的范围。
一般地,当事件E为必然事件时,P(E)=1;
当事件E为不可能事件时,P(E)=0;
当事件E为不确定事件时,P(E)在0与1之间.
总之,任何事件E发生的概率P(E)都是0和1之间(包括0和1)的数,即0≤P(E)≤1.
考点三:
1.用替代物进行模拟试验;如果在试验中没有相应的实物,或者用实物进行试验时困难很大,这时我们可用替代物进行模拟试验。
2.用计算器模拟:当我们很难找到实物模拟试验或者用实物替代比较麻烦,这时我们可用计算器模拟。
利用计算器进行模拟试验的关键是产生随机数,在产生随机数时,要注意所需数的范围,还要注意不同的计算器有不同的用法,具体可参考说明书。
二、典例精析
例1 (1)(2010·福建晋江)下列事件中,是确定事件的是()。
A.打雷后会下雨;B.明天是晴天;
C.1小时等于60分钟;D.下雨后有彩虹。
(2)(2010·广东广州)从图3所示的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张,取出印有汽车品牌标志的图案是中心对称图形的卡片的概率是()。
A.;B.;C.;D.1.
(3)(2010·南通)某纺织厂从10万件同类产品中随机抽取了100件进行质检,发现其中有5件不合格,那么估计该厂这10万件产品中合格品约为()。
A.9.5万件;B.9万件;C.9 500件;D.5 000件。
(4)(2010·福州)有人预测2010年南非世界杯足球赛巴西国家队夺冠的概率是70%,对这种说法理解正确的是()。
A.巴西国家队一定会夺冠;
B.巴西国家队一定不会夺冠;
C.巴西国家队夺冠的可能性比较大;
D.巴西国家队夺冠的可能性比较小。
点拨:判断一事件的可能性,要明确它是一定发生的,一定不发生的,还是可能发生也可能不发生的;求概率时,明确所有机会均等的结果共有几种,其中满足事件发生的结果有几种,然后利用概率的计算公式求解。
答案:1.C;2.A;3.A;4.C.
例2 (2010·武汉)小伟和小欣玩一种抽卡片游戏:将背面完全相同,正面分别写有1、2、3、4的四张卡片混合后,小伟从中随机抽取一张。记下数字后放回,混合后小欣再随机抽取一张,记下数字。如果所记的两数字之和大于4,则小伟胜;如果所记的两数字之和不大于4,则小欣胜。
(1)请用列表或画树形图的方法分别求出小伟、小欣获胜的概率;
(2)若小伟抽取的卡片数字是1,问两人谁获胜的可能性大?为什么?
点拨:求概率的计算方法是:列表法或画树状图法.
求概率的计算公式是:
P(E)=。
解;(1)①方法一:列表如下:
可能出现的结果有16种,其中数字和大于4的有10种,数字和不大于4的有6种。
∴P(小伟胜)=,P(小欣胜)=.
或根据题意,可画出如下的树状图。
(2)若小伟抽取的卡片数是1,则小欣所抽取的结果数为4种,P(小伟胜)=,P(小欣胜)=,
∴小欣获胜的可能性大。
例3 (2010·广东)分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域,并在每一小区域内标上数字(如图所示)。欢欢、乐乐两人玩转盘游戏,游戏规则是:同时转动两个转盘,当转盘停止时,若指针所指两区域的数字之积为奇数,则欢欢胜;若指针所指两区域的数字之积为偶数,则乐乐胜;若指针落在分割线上,则无效,需重新转动转盘。
(1)试用列表或画树状图的方法,求欢欢获胜的概率;
(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗?试说明理由。
点拨:判断一个游戏是否公平,关键是计算各自的概率。如果概率相等,游戏公平。否则不公平。若涉及到分数,则比较概率与分数的积是否相等,判断游戏是否公平。
解:(1)根据题意可列表如下:
或画树状图如下：
统计与概率复习指导 篇2
1.能根据具体的实际问题或者提供的资料, 运用统计的思想收集、整理和处理一些数据, 并从中发现有价值的信息, 在中考中多以图表阅读题的形式出现.
2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念, 并能进行有效的解答或计算.
3.能够对扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用, 并会根据实际情况对统计图表进行取舍.
4.在具体情境中了解概率的意义, 能够运用列举法 (包括列表、画树状图) 求简单事件发生的概率, 能够准确区分确定事件与不确定事件.
5.加强统计与概率之间的联系, 这方面的题型以综合题为主, 将逐渐成为新课标下中考的热点问题.
下面举例对本部分内容所涉及的概念进行辨析:
一、总体、个体、样本和样本容量的概念辨析
例1为了了解某地区初一年级7 000名学生的体重情况, 从中抽取了500名学生的体重, 就这个问题来说, 下面说法中正确的是 () .
A.7 000名学生是总体B.每个学生是个体
C.500名学生是所抽取的一个样本D.样本容量是500
【辨析】总体是考察的对象的全体, 个体是组成总体的每一个考察对象, 样本是从总体中抽取的一部分个体, 样本容量是样本中个体的数目, 主要关注“考察对象”, 本题应该选D.
二、平均数、中位数、众数的概念辨析
例2某班第二组男生参加体育测试, 引体向上成绩 (单位:个) 如下:4, 6, 9, 11, 13, 11, 7, 9, 8, 12, 这组男生成绩的平均数是_______, 中位数是_______, 众数是_______.
【辨析】相同点:都是为了描述一组数据的集中趋势.不同点:所有数的总和除以总个数是平均数 (所有数都参与计算) , 一组数据先按大小顺序排列, 中间位置上的那个数据 (如果中间有两个则求它们的平均数) 是中位数 (可能是原数据中的数, 也可能不是原数据中的数) , 众数是出现的次数最多的数据 (一组数据可以有不止一个众数, 也可以没有众数, 如果有众数, 一定是原数据中的数) .本题答案分别为9, 9, 9和11.
三、极差、方差、标准差的概念辨析
例3甲、乙两人各射靶5次, 已知甲所中环数是8、7、9、7、9, 乙所中的环数的平均数为8, 方差s乙2=0.4, 那么, 对甲、乙的射击成绩的正确判断是 () .
A.甲的射击成绩较稳定B.乙的射击成绩较稳定
“统计与概率”综合复习 篇3
一、 对统计中基本概念理解不深刻导致错误
例1 为了解某校2 000名师生对我市创卫生城市工作知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本容量是（ ）.
A. 2 000名师生对创卫生城市工作的知晓情况
B. 100名师生
C. 100
D. 抽取的100名师生对创卫生城市工作知晓情况
【错解】样本容量是指从总体中抽取的样本数量，所以是100名师生.
【正解】从总体中抽取的样本个体的数目叫样本容量，指所要考察对象的数目，不带任何单位，故选C.
二、 对事件的概念把握不准造成分类错误
例2 下列事件中，属于不确定事件的有（ ）.
①太阳从西边升起；②从一副扑克牌中任抽一张是红桃；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下；④三角形内角和为180°
A. ②③ B. ①③④
C. ① D. ①②④
【错解】不确定事件是指事件一定不能发生，故选C.
【正解】不确定事件是指事件在发生前，事件的结果不能事先确定，也就是随机事件，不可能事件是一定不能发生的事件，事件在发生前就能确定结果，它是确定事件.解题中不能把不确定事件与不可能事件混淆，故选A.
三、 对统计图分析不仔细造成数据看错
例3 在一次捐款活动中，某班级有50名学生，将所捐款情况统计并制成统计图，根据图1提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）.
A. 20，20 B. 30，20
C. 30，30 D. 20，30
【错解】这组数据中，出现次数最多的是20人，故这组数据的众数为20.中位数是一组数据从小到大排列后，最中间的那个数.这组数据有50个，中位数是第25和26名职工捐款金额的平均数，（30+30）÷2=30，选D.
【正解】众数和中位数是指调查对象所记录的数据，不能把数据的个数当作调查的数据.本题是统计捐款钱数，30元出现次数最多，故本题答案是C.
四、 对统计图意义把握不准造成错误
例4 图2是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图.根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ）.
A. 甲户比乙户多
B. 乙户比甲户多
C. 甲、乙两户一样多
D. 无法确定哪一户多
【错解】一年中乙支出的百分比大于甲支出的百分比，故选B.
【正解】扇形统计图是为了反映各个部分占总体的百分比，计算各部分的量需用总体与该部分百分比相乘.本题没有明确甲乙两家全年的具体收入，所以无法算出食品支出的具体费用，无法比较，故本题正确答案是D
五、 对机会的等可能性理解不够导致树状图画错
例5 在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个，若从中摸出一个球，放回搅匀，再摸另一个球，求两球颜色相同的概率.
【错解】画树状图如下：
可得两球颜色相同的概率.
【正解】箱中三种颜色的球数目不相同，所以在摸球过程中被摸到的机会是不均等的，本题红球被摸到的机会大于黄球、蓝球，所以在画树状图时应该把它们转化为均等机会.正确的树状图如下：
由树状图可得两球颜色相同的概率为.
六、 对等可能性事件发生的机会和事件最终结果混淆造成错解
例6 掷一枚硬币，连掷三次，求有两次正面向上的概率（ ）.
A. B. C. D.
【错解】三次抛出的结果分别是：正正正，正正反，正反反，反反反四种情况，其中出现两次正面向上的情况只有一次，故概率为，选B.
【正解】随机事件的概率，是把事件在发生过程中所有可能发生的均等机会，与满足一定条件的机会相比较，不能把事件的最终结果当作机会.正确的解答要通过画如下树状图：
由树状图可求得两次正面向上的概率为.
七、 对模拟实验的条件选择不合理造成错误
例7 端午节，妈妈为洋洋准备了4只粽子：一只香肠馅，一只红枣馅，两只什锦馅，4只粽子除内部馅料不同外，其他都相同.洋洋喜欢吃什锦馅的粽子.
在吃粽子之前，洋洋准备用如图3所示的转盘进行吃粽子的模拟试验（此转盘被等分成四个扇形区域），规定：连续转动两次转盘表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是什锦馅的概率.转盘是一个放回的实验，故第一次转到什锦（或香肠、或红枣）后第二次还能转到.
【错解】画模拟试验的树状图为：
所以有16种情况，其中两次都是什锦馅的有4种情况，所以概率为.
【正解】设计模拟实验计算随机事件的概率，要分清事件的条件，事件发生的方式，事件结果.在设计模拟实验工具时必须与原事件相关事项保持一致.本题从4只粽子中吃两只粽子是一个不放回问题，而转盘是一个放回问题，所以不能以转盘代替.正确的树状图应该为：
∴P（吃到两只粽子都是什锦馅）==.
诸如以上常见错误，都是同学们在学习过程中不注意把握好基本概念的本质，解题中不注意应用基本方法，解题时分析问题不仔细等一些原因造成的，只要同学们在学习过程中把握好知识的本质要点，解题中分清问题的条件，再加上细心，就可以避免出错了.
复习教案统计与概率 篇4
教材内容
1．本节课复习的是教材114页6题及相关习题。
2．6题以我国城市空气质量为素材，让学生根据扇形统计图所提供的信息解决实际问题，在这里，“273个城市空气质量达到二级标准”是一个多余信息，要求学生在解决问题时学会选择有效的信息。在此基础上，让学生通过调查、记录、查询等手段了解所在城市的空气质量状况，提出改善空气质量的建议。教材117页17题主要复习根据统计图中部分量与总量之间的关系，灵活选用乘法或除法解决问题。
3．教材通过复习，帮助学生进一步体会扇形统计图能清楚地反映各部分数量同总量之间关系的特点，并能根据给出的信息解决一些问题，提高分析信息、解决问题的能力。教学目标 知识与技能
1．进一步认识扇形统计图，能对统计图提供的信息进行分析解读。2．灵活运用统计知识进行相关的计算或解决问题，加深对所学知识的理解。过程与方法
1．经历整理和复习知识的过程，培养学生观察、思考、总结的能力，渗透比较思想。
2．通过复习，提高学生收集信息、处理信息、解决问题的能力。情感、态度与价值观
1．引导学生将数学知识与现实生活相结合，解决一些实际问题，感受数学的实用价值，激发学生的学习兴趣。
2．通过小组合作学习，鼓励学生乐于合作、善于交流、敢于表达。重点难点
重点：巩固所学的统计知识，提高解决问题的能力。难点：根据统计图准确分析数据。
课前准备
教师准备 PPT课件
教学过程
⊙谈话导入
1．我们一共学过哪几种统计图？
（条形统计图、折线统计图、扇形统计图）这几种统计图分别具有什么特点？（1）小组内交流。（2）学生汇报。
生1：条形统计图的特点是很容易比较各种数量的多少。
生2：折线统计图的特点是不但可以表示数量的多少，还可以清楚地看出数量的增减变化情况。
生3：扇形统计图的特点是能清楚地表示各部分数量与总数之间的关系。2．什么是扇形统计图？
（扇形统计图用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比）
设计意图：在复习扇形统计图意义的基础上，复习学过的统计图的种类及特点，在对比中进一步加深对扇形统计图的了解。
⊙复习用扇形统计图知识解决问题 1．根据扇形统计图解决问题。（课件出示教材114页6题）
我国城市空气质量正逐步提高，在2010年监测的330个城市中，有273个城市空气质量达到二级标准。监测城市的空气质量情况如下图所示。
（1）空气质量达到三级标准的城市有多少个？
（2）了解你所在城市的空气质量，讨论一下如何提高空气质量。2．解决问题。（1）解决问题（1）。
①思考：题中的有效信息有哪些？无用信息有哪些？ ②汇报。
生1：题中“有273个城市空气质量达到二级标准”是无用信息。生2：对于问题（1）而言，题中“330个城市”和“16.1%”是有效信息。③根据统计图算出空气质量达到三级标准的城市有多少个。330×16.1%≈53（个）（2）解决问题（2）。
①组内交流：说一说你所在城市的空气质量问题。②全班交流：如何提高空气质量？ 生1：要改善取暖工程。生2：加强环保意识。
生3：严禁开私家车，统一乘坐公交车，这样避免二氧化碳大量排放。生4：减少工厂废气排放。
设计意图：根据从扇形统计图中获取的信息进行相关的计算，进一步培养学生获取信息、解决问题的能力。
⊙巩固练习
1．小红收集的各种邮票统计如上图。
（1）小红收集的风景邮票、人物邮票和建筑邮票数量的比是（）。（2）小红收集的（）邮票数量最多。
（3）小红共收集了200张邮票，其中风景邮票有（）张。2．完成教材117页17题。⊙课堂总结
通过这节课的复习，你有什么收获？ ⊙布置作业
“统计与概率”易错剖析 篇5
(1) 写出k为负数的概率;
(2) 求一次函数y=kx+b的图象不经过第一象限的概率. (用树状图或列表法求解)
【错解】有的同学在做第二问时错误地认为k和b是不一样的数字, 所以树状图画错了, 最后的概率也算成了1/33
【分析】 (1) 根据概率的计算方法, 用负数的情况数除以总情况数, 计算即可得解;
(2) 画出树状图, 然后根据一次函数的性质求出不经过第一象限的k、b的值的情况, 再根据概率的求解方法计算即可得解.
【正解】解: (1) 共有3个数, 负数有2个, 那么k为负数的概率为:2/33
(2) 画树状图如下:
共有6种情况, k<0, b≤0的共有4种情况, 也就是不经过第一象限的共有4种情况,
∴一次函数y=kx+b的图象不经过第一象限的概率是2/33
例2 (2012·北京) 在不透明的箱子里放有4个乒乓球.每个乒乓球上分别写有数字1、2、3、4, 从箱子中摸出一个球记下数字后放回箱中, 摇匀后再摸出一个球记下数字.若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标, 第二次摸出的球上的数字记为点的纵坐标.
(1) 请用列表法或树状图法写出两次摸球后所有可能的结果;
(2) 求这样的点落在如图1所示的圆中的概率 (注:图中圆心在直角坐标系中的第一象限内, 并且分别与x轴、y轴切于点 (2, 0) 和 (0, 2) 两点) .
【错解】有的同学在做这道题目时, 因为对圆和坐标系图形的模糊印象, 而对点的判断有失误, 最后导致第二问中的概率出现错误.
【分析】 (1) 首先根据题意列出表格, 然后由表格即可求得所有等可能的结果;
(2) 根据 (1) 中的表格求得这样的点落在如图1所示的圆内的情况, 然后利用概率公式求解即可求得答案.
【正解】解: (1) 列表得:
∴共有16种等可能的结果.
概率统计解题思维与学生能力培养 篇6
概率论与数理统计中一些分析问题的角度、解决问题的思想方法对提高学生的分析、解决问题能力有着重要的作用. 本文分别从一题多解和对立事件概率公式的应用、积事件概率的求法及其统计软件的介绍和应用这三方面介绍如何在教学过程中培养和提高学生分析和解决问题的能力.
一、一题多解和对立事件概率公式的应用
例1设A, B, C为三个事件, 用A, B, C的运算关系表示A, B, C中至少有一个发生.
解:由和事件的含义知, 事件A∪B∪C表示A, B, C中至少有一个发生;也可以这样考虑:事件“A, B, C中至少有一个发生”是事件“A, B, C都不发生”的对立事件, 因此也可以表示成;还可以这样考虑:事件“A, B, C中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生, 因此还可以表示成.
这道例题的表示方法是多种的, 如同现实中遇到的问题可以从多个不同的角度来描述一样, 通过不同角度的分析, 可以找到求解问题的不同方法, 所以在讲这道习题时, 更侧重教授学生的是分析问题的角度的多样性, 而非一道习题的答案.
有一些事件的概率问题, 如果直接从事件包含的情况入手分析, 可能会因为包含的情况多而变的复杂, 此时可以求这个事件的对立事件的概率, 再利用逆事件的概率公式求解, 会更为简单些. 在现实生活中, 用反向思维来分析、解决问题也是很重要的方式, 通过一些例题习题的讲解, 可以培养学生反向思维, 提高他们解决问题的能力.
二、积事件的概率求法
例2天气预报说某日某省甲乙两地至少有一地下雨的概率是0.9, 甲地下雨的概率为0.7, 乙地下雨的概率为0.8, 问甲乙两地同时下雨的概率是多少?
解:设事件A为“甲地下雨”, 事件B为“乙地下雨”.由题意,
这道例题求的是P (AB) , 根据已有条件, 可以用到加法公式的等价变形来求解.值得注意的是, 题目的描述中并无甲地下雨与乙地下雨两个事件是否独立, 不能就此认为这两个事件是相互独立的.
例3某人忘记了会员卡卡号的最后一个数字, 因而他随意地选号, 求他选号不超过三次而找会自己会员卡号的概率.
解:以Ai表示事件“第i次选号找回自己的会员卡号”, i=1, 2, 3.以A表示事件“选号不超过3次找回自己的会员卡号”, 知
这道例题从正面分析, 会含有多种情况而显得复杂了些.如果反向考虑, 只会包含一种情况.问题的对立事件是三个事件的积事件, 仔细分析, 会发现三个事件间存在的先后依次发生这样一个顺序.乘法定理的含义:两个随机事件A、B的积事件的概率, 等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率的乘积, 即:P (AB) =P (B |A) P (A) .这样就可以用乘法定理来求解此积事件的概率问题了.
例4某人抛甲、乙两枚硬币, 观察正反面出现的情况, 求甲币、乙币都出现正面的概率.
解:设事件A为“甲币出现正面”, 事件B为“乙币出现正面”.由题意, 显然甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的, 故
题目描述中含有两个事件相互独立的意思, 可以按照事件独立性的定义求解.
上面3道例题, 都是求解积事件的概率问题, 但因给出的条件不同, 选择了3种不同的公式来计算.在现实中, 也会遇到有多种方法看似可以解决同一问题, 但是所需要的条件却是不同的, 这要根据问题中已有的条件来选择方法, 这要求对方法在什么条件下可以使用要清楚明白.这三个知识点分处不同的小节, 但是可以在做练习时放在一起讲解, 让学生体会到方法和条件匹配的重要性, 这也有助于培养他们解决问题时要关注方法的条件.
三、统计软件的介绍和应用
现在高校开设的很多课程都是实践性很强的课程, 但由于教学时间有限, 教育侧重知识的传授而非动手能力的培养, 因此造成了学生对课程应用的陌生和迷茫, 从而不能利用所学知识提高自己的应用能力, 不能满足社会对大学生的要求, 进一步造成了就业难的局面.
《概率论与数理统计》就是一门应用性、实践性很强的课程.但是目前在高校, 主要是侧重基本方法的介绍, 忽视了统计软件的介绍和应用.这样既不利于学生将所学知识有效地进行实践和应用, 不能培养学生的应用、实践能力, 也使得这门课程的教学显得枯燥无味, 不利于改变填鸭式教学现状.为此, 高校教师应在正常的教学环节中适当地介绍一些常用的统计软件, 以使学生对功能强大的统计软件有初步的认识, 并通过布置一些小型的调查分析作业, 让学生通过统计软件的应用和分析, 更好地理解相关方法的应用, 为以后应用统计方法解决实际问题奠定初步的基础.
常用的统计软件如SAS, 它是目前国际上最为流行的一种大型统计分析系统.SAS系统提供的主要分析功能包括统计分析、时间序列分析、经济计量分析、财务分析、决策分析和全面质量管理工具等, 被誉为统计分析的标准软件;SPSS, 作为仅次于SAS的统计软件工具包, 它在社会科学领域有着广泛的应用;S-plus, 这是统计学家喜欢用的软件.不仅由于它的功能齐全, 而且它还具有强大的编程功能, 使得研究人员可以自己编制程序来实现自己的理论和方法.
教师可以向学生介绍这些统计软件各自的操作特点和它们的差别之处, 还可以通过一些简单的例子教授学生某些统计软件的使用方法. 教师还可以根据学生的专业, 选择一些具有实际背景的题来作为练习题.因为教学课时有限, 教师还可以向学生推荐一些有关统计软件应用的参考书籍, 方便学生的自学和操作中遇到困难的解决.
在真实的环境中更有利于学生对知识点的理解和应用、实践能力的培养和提高.教师可以利用校园或社会中的一些小问题, 采用设计调查问卷, 制定调查方案, 进行调查活动, 录入和整理数据, 进行估计和分析, 编写调查报告, 给出合理的解释和结果.这些环节全部由学生们自己来完成, 教师在各个环节要给予适当的提示和参考意见, 如根据问题怎样设计调查问卷, 怎样选定调查对象, 样本的抽取及抽取方法的选择等等.统计调查、统计整理和统计分析的整个过程, 学生都亲身参与和处理, 这也为在今后工作中如何科学地分析、解决实际问题奠定了良好的基础.常用的统计软件多为英文版本, 这要求学生应对课本中出现的专用统计术语的英文词汇提前做个预习, 教师在教学中也可以在演示讲稿中对统计软件出现的对话框做个相应的中文解释.
大学数学教师不仅仅是教给学生课本上的知识, 更重要的是训练他们的理性思维, 教会他们学习的方法, 以及如何利用所学的知识去分析、解决实际问题.目前很多课程的学习是“教”与“学”分开的, 老师注重教, 学生被动听, 这种“填鸭式”教学方法很难适应素质教育的要求.概率论与数理统计这门课程, 一方面要教授学生相关的知识和方法, 要加强数学课程对学生思维训练的作用, 另一方面, 要紧跟社会发展的脚步, 在教学的过程中, 穿插介绍常用的统计软件, 在教学中适当地提出一些实际问题, 让学生们自己参与到解决问题的每个环节, 发现自己在解决问题过程中的不足, 增加处理实际问题的经验, 这样才能真正地有助于提高学生分析、解决问题的能力, 才能真正地适应社会的需要.
参考文献
[1]王仲春, 李元中, 等.数学思维与数学方法论[M].北京:高等教育出版社, 1989.
[2]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].第四版.北京:高等教育出版社, 2011.
[3]高等教育司.高等教育心理学[M].北京:高等教育出版社, 2006.
[4]David R.Anderson.商务与经济统计[M].北京:机械工业出版社, 2006.
统计与概率教学中的问题探究 篇7
过程性教学目标的教学需要教师根据内容设置有效的教学活动,重点在于“活动化”“情境化”,也就是弗赖登塔尔提倡的“现实”“数学化”.“活动化”“情境化”要求教师精心设计特定的教学活动,在课堂上引导学生参与到这个特定的教学活动中,并通过这样的活动,让学生在具体的、特定的活动中获得一些体验,以达到我们需要完成的教学目标.
但是在具体的实施过程中存在这样的一些问题:
( 1) 如何设置特定的教学活动
数学来源于现实,存在于现实,并且应用于现实,而且每名学生有各自不同的“数学现实”. 要如何从现实生活中抽象出学生能够理解并且符合该阶段学生认知规律和心理特征的数学问题( 直观的、容易引起学生想象的问题,而且数学情境的载体应是学生熟悉的具体的情景和事物; 对于统计的教学,可以利用文具店采购商品、推测运动会比赛结果等常见的情境; 对于概率的教学,可以利用“抛硬币”“掷骰子”“玩扑克牌”等学生熟悉的活动来营造一种“随机”的氛围) ,这就需要教师对学生有足够的了解和精心的安排和设计. 在设计活动的过程中需要事先考虑活动的每一步,还要分析学生在活动过程中容易出现的问题以及突发状况. 这个“特定的活动”是开展教学的前提和重心,如果没有准备充分,一切将功亏一篑.
( 2) 教学条件是否允许
有关统计部分的活动大多会涉及数据的收集,这就要求教师带领学生走出教室进行社会实地考察,教师需要考虑学生的管理、学生的安全以及数据的真实性等问题,这又给教学活动的进行增加了一定的难度. 出于这方面的考虑, 更多的教师会选择放弃活动.
( 3) 教师如何掌控好整个活动过程
设计好教学活动之后,接下来就是在课堂上完成教学活动,这需要教师有目的地引导和学生的积极地配合. 教师要用自己扎实的专业技能和灵机应变来从容地处理各种突发事件,并让学生的活动始终围绕着教学目标展开.
在大多数学生的世界,活动课中教师的“精心设计”并不那么重要,重要的是动手实践. 而且义务教育阶段学生的注意力不能够完全集中,容易受到外界事物的干扰,稍有不慎,活动课的目的就难以实现. 由于义务教育阶段学生主要是经验型为主的抽象逻辑思维,他们的抽象逻辑思维水平虽然有很大提高,但还需要具体形象或经验的直接支撑. 也就是需要教师的适时指导,才能使该节课的教学目标最大限度地达到.
当然,教师的指导也要适度,如果教师的指导过多,会使得课堂上留给学生的自主空间较小,学生的主动性也就得不到发挥,接受性教学会使学生一直处于被动接受的状态,学生的积极性得不到发展,那么就达不到有意义地学习,更达不到创造性地学习,学习的效果就会受到很大的影响,通常也达不到我们预期的结果. 如果教师的指导偏少, 那么学生就会像无头苍蝇一样,找不到方向,长此以往,学生就会丧失学习的兴趣.
( 4) 如何评价教学效果
过程性目标的教学效果不像知识与技能目标的教学效果那样可以通过具体的数学测试来评估,类似于数学思想, 会解题并不意味着数学思想的掌握. 又由于每名学生生活的环境不同( 文化环境、家庭背景、学习方式以及思维方式的不同) ,他们在经历同样的活动的过程中得到的体验和感受也会不同,即使是同一名学生在不同的时间经历相同的活动也会有不同的体验和感触,因此一节活动课下来,学生所获得的感受可能会千差万别. 在课堂小结时,学生反馈给教师的信息通常是“懂了”“明白了”“学会了”等简单的词语,而这种词语根本反映不出学生对知识的实际掌握情况. 这就使得整堂课下来,教师很难把握学生的学习情况.
概率与统计易错题剖析 篇8
易错剖析一：抽样方法含义理解不清致误
例1学校附近的一家小型超市为了了解一年的客流量情况，决定用系统抽样从一年中抽出52天作为样本实施调查（即从每周抽取1天，一年恰好有52个星期），你觉得这样的选择合适吗？为什么？
错解：在这种情况下适合采取系统抽样.
错因分析：这家超市位于学校附近，其顾客很多为学生，客流受到学生作息时间的影响，如周末时，客流量会明显减少，如果用系统抽样来抽取样本，起始点抽到星期天的话，样本代表的客流量会明显偏低，另外，寒暑假也会直接影响超市的客流量.
正解：利用简单随机抽样和分层抽样，可以把一周分为7天，一年分52层，每层用简单随机抽样的方法，抽取适当的样本进行调查.
易错剖析二：概率与频率的关系不清致误
例2下列说法：
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；
③频率是不能脱离n次试验的试验结果，而概率是具有确定性的，不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确命题的序号为.
错解：①④.
错因分析：对概率和频率的关系认识不清，导致误判.如对于说法②，认为事件发生的频率就是事件发生的概率，再如对事件发生的概率的确定性认识不清，就可能认为说法③不正确等.
正解：①③④.
易错剖析三：误解基本事件的等可能性致误
例3任意投掷两枚骰子，求出现点数和为奇数的概率.
错解：点数和为奇数，可取3，5，7，9，11共5种可能，点数和为偶数可取2，4，6，8，10，12共6种可能，于是出现点数和为奇数的概率为55+6=511.
错因分析：上述解法是利用等可能性事件的概率模型，此时必须保证每一个基本事件出现的可能性均等，而上述解法点数为奇数、偶数出现的机会显然不均等，则不能用等可能性事件的概率模型来解答.
正解1：出现点数和为奇数，由数组（奇、偶）、（偶，奇）组成共有3×3+3×3=18个不同的结果，这些结果的出现是等可能的，故所求的概率为1836=12.
正解2：若把随机事件的全部等可能结果取为：（奇、奇）、（奇、偶）、（偶，奇）（偶、偶）.点数和为奇数的结果为（奇、偶）、（偶，奇）两种，故所求概率为24=12.
易错剖析四：几何概型概念的不清致误
例4在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM
错解：在AB上取AC′=AC，在∠ACB内作射线CM看作在线段AC′上任取一点M，过C，M作射线CM，则概率为AC′AB=ACAB=22.
错因分析：上述作法好像很有道理，为什么错误呢？值得深思.考查此解法是否满足几何概型的要求，虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，在确立基本事件时，一定要选择好观察角度，注意判断基本事件的等可能性.
正解：在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任意位置都是等可能的，在AB上取AC′=AC，则∠ACC′=67.5°，故满足条件的概率为67.5°90°=34.
易错剖析五：互斥与对立事件相混淆致误
例5把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：.（填写“对立事件”、“不可能事件”、“互斥但不对立事件”）
错解：对立事件.
错因分析：本题的错误在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别：两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；互斥的概念适合多个事件，但对立概念只适合于两个事件；两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；两事件对立则表示他们有且只有一个发生.
正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰好有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选“互斥但不对立事件”.
易错剖析六：混淆互斥事件与相互独立事件致误例6一个通讯小组有A、B两套通讯设备，只要有一套设备正常工作，就能进行通讯，A、B设备各有2个、3个部件组成，只要其中有1个部件出现故障，这套设备就不能正常工作，如果在某段时间内每个部件不出现故障的概率都为p，试计算在这段时间内能进行通讯的概率.
错解：由题意知：在某段时间内A、B两套通讯设备能正常工作的概率分别为P（A）=p2，P（B）=p3，则在这段时间内能进行通讯即A、B至少有一个能正常工作，故在这段时间内能进行通讯的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=p2+p3.
错因分析：题中A、B两套通讯设备能正常工作这两个事件是相互独立的，上面所用的公式是两个互斥事件有一个发生的概率，互斥与独立是不同的两种关系，一般没有必然联系，不能混淆，把互斥结果套用在独立事件中是错误的，只有当A、B中一个是必然事件，另一个是不可能事件时，A、B既是互斥事件，又是独立事件.
正解1（逆向思考）：A、B至少有一个能正常工作的对立事件为：A、B都不能正常工作，A不能正常工作的概率为1-p2，B不能正常工作的概率为1-p3，则在这段时间内能正常进行通讯的概率为1-（1-p2）（1-p3）=p2+p3-p5.
正解2（正向思考）：A、B两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且这三个事件彼此互斥.故在这段时间内能正常进行通讯的概率为p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2·p3=p2+p3-p5.
易错剖析七：忽视公式成立的条件致误
例710张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰好有1人中奖的概率为（）
（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3
（C） 310（D） 3A27A13A310
错解：因题中有“恰好有1人中奖”，根据n次独立重复试验恰好出现k次的概率计算公式Pn（k）=Ckn·pk·（1-p）n-k，马上得到答案（B）.
错因分析：用独立重复试验的概率公式进行计算时，它有三个前提条件：
（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；
（2）每一次试验都彼此独立；
（3）每一次试验出现的结果只有两个.
只有这三个条件均满足才可使用，而此题中3个购买者去购买奖券时，由于是不放回抽样，所以彼此之间不独立的，则不能用上述公式解答.
正解：3个人从10张奖券中各购买1张奖券出现的结果数为A310个，且出现的可能性均等，恰好有1人中奖出现的结果为3A27A13，故恰好有1人中奖的概率为3A27A13A310，选（D）.
易错剖析八：求概率过程中把有序还是无序混为一谈致误例8一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从口袋中取球两次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次从剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.
错解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只红球，故取到的2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14，依据等可能性事件的概率的求法，则取到的2只球中至少有1只白球的概率为A24+A12A14A26=23.
错因分析：这是古典概率常见的模型——摸球模型，有“有序”与“无序”之分，不能混淆.从上述解法中可知：取球的过程是有顺序的，那么取到1只白球1只红球这种情况中有第一次取到白球、第二次取到红球与第一次取到红球、第二次取到白球两种不同的情况.
正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14+A14A12，故所求概率为A24+2A12A14A26=1415.
正解2（逆向思考）：所求事件的对立事件是：取到的2只球都是红球，故所求概率为1-A22A26=1415.
概率与统计部分的定义、公式较多，学习时由于抽样方法混淆、概型错用、互斥事件与独立事件混淆等经常出错，这都是由于基础知识掌握不牢造成的.因此，应更加注重基本概念、基本公式与基本方法的强化训练，总结相应题型的通性通法并不断反思，定能取得理想的成绩.
（作者：朱振华，江苏省海门中学）endprint
正解2（正向思考）：A、B两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且这三个事件彼此互斥.故在这段时间内能正常进行通讯的概率为p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2·p3=p2+p3-p5.
易错剖析七：忽视公式成立的条件致误
例710张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰好有1人中奖的概率为（）
（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3
（C） 310（D） 3A27A13A310
错解：因题中有“恰好有1人中奖”，根据n次独立重复试验恰好出现k次的概率计算公式Pn（k）=Ckn·pk·（1-p）n-k，马上得到答案（B）.
错因分析：用独立重复试验的概率公式进行计算时，它有三个前提条件：
（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；
（2）每一次试验都彼此独立；
（3）每一次试验出现的结果只有两个.
只有这三个条件均满足才可使用，而此题中3个购买者去购买奖券时，由于是不放回抽样，所以彼此之间不独立的，则不能用上述公式解答.
正解：3个人从10张奖券中各购买1张奖券出现的结果数为A310个，且出现的可能性均等，恰好有1人中奖出现的结果为3A27A13，故恰好有1人中奖的概率为3A27A13A310，选（D）.
易错剖析八：求概率过程中把有序还是无序混为一谈致误例8一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从口袋中取球两次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次从剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.
错解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只红球，故取到的2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14，依据等可能性事件的概率的求法，则取到的2只球中至少有1只白球的概率为A24+A12A14A26=23.
错因分析：这是古典概率常见的模型——摸球模型，有“有序”与“无序”之分，不能混淆.从上述解法中可知：取球的过程是有顺序的，那么取到1只白球1只红球这种情况中有第一次取到白球、第二次取到红球与第一次取到红球、第二次取到白球两种不同的情况.
正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14+A14A12，故所求概率为A24+2A12A14A26=1415.
正解2（逆向思考）：所求事件的对立事件是：取到的2只球都是红球，故所求概率为1-A22A26=1415.
概率与统计部分的定义、公式较多，学习时由于抽样方法混淆、概型错用、互斥事件与独立事件混淆等经常出错，这都是由于基础知识掌握不牢造成的.因此，应更加注重基本概念、基本公式与基本方法的强化训练，总结相应题型的通性通法并不断反思，定能取得理想的成绩.
（作者：朱振华，江苏省海门中学）endprint
正解2（正向思考）：A、B两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且这三个事件彼此互斥.故在这段时间内能正常进行通讯的概率为p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2·p3=p2+p3-p5.
易错剖析七：忽视公式成立的条件致误
例710张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰好有1人中奖的概率为（）
（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3
（C） 310（D） 3A27A13A310
错解：因题中有“恰好有1人中奖”，根据n次独立重复试验恰好出现k次的概率计算公式Pn（k）=Ckn·pk·（1-p）n-k，马上得到答案（B）.
错因分析：用独立重复试验的概率公式进行计算时，它有三个前提条件：
（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；
（2）每一次试验都彼此独立；
（3）每一次试验出现的结果只有两个.
只有这三个条件均满足才可使用，而此题中3个购买者去购买奖券时，由于是不放回抽样，所以彼此之间不独立的，则不能用上述公式解答.
正解：3个人从10张奖券中各购买1张奖券出现的结果数为A310个，且出现的可能性均等，恰好有1人中奖出现的结果为3A27A13，故恰好有1人中奖的概率为3A27A13A310，选（D）.
易错剖析八：求概率过程中把有序还是无序混为一谈致误例8一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从口袋中取球两次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次从剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.
错解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只红球，故取到的2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14，依据等可能性事件的概率的求法，则取到的2只球中至少有1只白球的概率为A24+A12A14A26=23.
错因分析：这是古典概率常见的模型——摸球模型，有“有序”与“无序”之分，不能混淆.从上述解法中可知：取球的过程是有顺序的，那么取到1只白球1只红球这种情况中有第一次取到白球、第二次取到红球与第一次取到红球、第二次取到白球两种不同的情况.
正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14+A14A12，故所求概率为A24+2A12A14A26=1415.
正解2（逆向思考）：所求事件的对立事件是：取到的2只球都是红球，故所求概率为1-A22A26=1415.
概率与统计部分的定义、公式较多，学习时由于抽样方法混淆、概型错用、互斥事件与独立事件混淆等经常出错，这都是由于基础知识掌握不牢造成的.因此，应更加注重基本概念、基本公式与基本方法的强化训练，总结相应题型的通性通法并不断反思，定能取得理想的成绩.
概率论与数理统计考研复习题5 篇9
大数定理与中心极限定理
1． 设随机变量X的数学期望E（X）=, 方差D（X）=，则由切比雪夫不等式PX3_____________.2．设X1,X2,,Xn是n个相互独立同分布的随机变量，E(Xi),D(Xi)8（i=1，2，．．．，n）.对于X2Xi 写出所满足的切比雪夫不等式____________，并估计ni1n
P{|X|62____________.n
3．设随机变量X，Y的数学期望分别为2，2，方差分别为1，4，而相关系数为0.5,根据切比雪夫不等式，P{|XY|6}____________.4．甲、乙两个戏院竞争1000名观众，假定每一个观众随意地选择一个戏院，且观众之间的选择是相互独立的，问每个戏院应设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%.5．在n次独立试验中，设事件A在第i次试验中发生的概率为pi(i1,2,,n)，试证明A发生的概率稳定于概率的平均值.6．假设一条自动生产线生产的产品合格率是0.8，要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，稳这批产品至少要生产多少件？
7．某餐厅每天接待400个顾客，设每位顾客消费额（元）服从[20，100]上的均匀分布，顾客的消费是相互独立的，试求：
（1）该餐厅的日平均营业额；
（2）日营业额在平均营业额上下不超过760元的概率.8．一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费。已知一年内投保人死亡率为0.006，如死亡，公司付给家属1000元，求：
（1）保险公司年利润为0的概率；
（2）保险公司年利润不少于60000元的概率.9．设Xn表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则P{aXnb}__________.10．投掷一枚骰子，为了至少有95%的把握使点向上的频率之差在（-0.01, 0.01）的范围内，问需要掷多少次？
统计与概率复习指导 篇10
大学数学教育的一个重要目标就是培养学生应用数学的能力, 即具有建模、解模的能力.美国有一本杂志名为《Workforce》, 其中列出了未来20年里人的各项能力中按重要性排名的前10位, 排在第一位的是Communica-tion (交流、沟通) , 紧随其后的就是Mathematics (数学) .由此可见, 数学的重要性已经被广泛认可.当然, 这里列出的数学的能力并非验算几道数学题, 而是利用数学知识解决实际问题的能力, 即数学建模的能力.概率统计与高等数学在教学上有着很大的不同.高等数学注重的是培养学生的数学基础、计算能力, 而概率统计的教学不仅培养学生基本的数学素养, 更重要的是使学生理解其哲学背景, 即统计思想.统计思想是概率统计的灵魂.我国著名统计学家、中科院院士陈希孺先生曾在其著作及报告中多次指出统计思想的重要性.离开了统计思想的讲授, 概率统计的教学就会成为无本之木、无源之水, 概率统计这一课程就会变成高等数学的简单应用.
二、教师在教学过程中的注意事项
通过建模练习可以促进学生全面看问题, 从数量的角度分析事物的变化规律, 使概率论与数理统计的思想和方法在现实经济生活中得到更好的应用, 发挥其应有的作用.但在教学过程中教师应注意:
首先是精选实例.在讲授几何概型的概率计算公式时, 可以让学生讨论这样一个问题:即两人约会, 什么时候永远也不会相见?学生自然会有疑问, 从而可以展开讨论.实际上这是概率统计中著名的会面问题.我们把几何概型的一般模型讲述一下, 然后就开始的问题可以这样建立模型:指定同学甲和乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者等候后到者20 min.过时即离去, 求两人能会面的概率.我们以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间, 找出力和y的取值范围, 设A=“两人能会面”相当于|x-y|≤20, 可以得到P (A) =0.5556.这样就得到两人永不见面的概率为0.4444.从而使问题得到解决, 还让大家对几何概型有更深刻的理解.
其次是科学设计讨论问题.讨论题的确定既要结合案例的内容, 又要体现授课的主题, 同时还要有一定的理论深度, 通过本案例学习达到深入理解理论的目的.
最后是认真组织讨论和总结.讨论前将有关案例材料和讨论提纲发给学生进行准备, 讨论中要鼓励学生积极发言, 容许各种不同的意见, 讨论结束时, 要对学生发言进行讲评和归纳总结, 对合理的发言要给予肯定, 对有创见的要表扬, 对明显不合理的发言要予以引导, 让学生自己去领悟, 从而达到帮助理解、培养创新能力的目的.
三、探索新的教学模式和教学方法
大学数学教育的一个重要的目标就是培养学生应用数学的能力, 即建模、解模的能力, 而传统的概率统计教学较多地注重数学公式的推导、计算能力的训练, 忽略了知识的实际应用, 以至于许多学生的实际应用能力得不到发展.如何在教学中提高学生应用概率与统计的实际能力呢?那就要在教学内容中吸收和融入与实际问题有关的应用性题目.比如我们在讲授“概率的加法公式”时, 为了加深学生对知识的理解, 我们可以用一个“三个臭皮匠问题”为实例, 讲授加法公式的应用实例, 同时引起学生学习的兴趣.“三个臭皮匠合成一个诸葛亮”, 这是对人多办法多、人多智慧高的一种赞誉, 其实这个问题是可以从概率的计算得到证实的.首先建立数学模型.三个臭皮匠能否合成一个诸葛亮, 是要找到他们解决问题的能力是否相当, 因此归结为他们解决问题的概率谁大谁小的问题.不妨用Ai表示“第i个臭皮匠独立解决某问题”, i=1, 2, 3, 用C表示“诸葛亮解决某问题”, 并设每个臭皮匠解决问题的概率分别为P (A1) =0.45, P (A2) =0.55, P (A3) =0.60, 诸葛亮解决问题的概率为P (C) =0.90, 则某事件B——“问题被解决”, 对诸葛亮方面表示P (B) =P (C) =0.90, 对三个臭皮匠方面可表示为B=A1+A2+A3, 依概率的加法公式:P (B) =P (A1+A2+A3) =P (A1) +P (A2) +P (A3) -P (A1A2) -P (A2A3) -P (A1A3) +P (A1A2A3) , 三个事件的加法公式从正面计算比较复杂, 利用对立事件的计算公式P (A) =1-P (A) 会简化计算:
undefined
其中, undefined为事件A的对立事件, 且undefined, 由此得出三个并不聪明的臭皮匠解决问题的概率居然在90%以上, 聪明的诸葛亮也不过如此.此问题的解决, 不仅让学生尝到了数学建模的乐趣, 更是轻松地学习了概率知识, 增加了学生学习概率的积极性和主动性, 可谓是一箭双雕.这种把贴近日常生活的应用型案例用到自己教学的各环节中去, 不但可以更新教师自身素质教育的理念, 而且提高了学生应用数学的能力.
四、更新教学手段体现建模思想
在概率与统计教学内容的处理上建立更为灵活、开放的学习方式至关重要, 而数学建模无固定的模式可循, 它需要利用各种技能、技巧进行分析和综合.因而教师在传授知识时, 不要以哪一版本的课本为标准, 要积极引导学生, 让学生自主地去了解问题的背景、查阅相关资料, 以此提高学生的自学能力, 从而达到以教为导, 以学为主, 自主解决的教学目的.再适当地补充前沿的数学知识把本学科的新观念、新思想、新方法补充进来以开阔学生的视野和思维.经常开展专题讨论课, 分组进行讨论, 鼓励学生敢于提出问题和见解, 加强学生相互交流、相互学习的能力.
参考文献
[1]郑长波.生活中的概率问题举例[J].沈阳师范大学学报 (自然科学版) , 2007, 25 (4) .