概率论与数理统计教学十篇

概率论与数理统计教学 篇1

数学的素质尤为重要, 它在实施素质教育中具有基础的意义.就如体质是从事一切体力劳动的基础一样, 数学素质是从事一切脑力劳动的基础.在科学技术成为第一生产力推动社会发展的今天, 在人类发展要向可持续方式转变的今天, 我们把数学作为文化, 作为所有科研工作者和社会工作者的基本素质, 是何等的重要.数学思想是数学文化的核心, 因为数学文化是数学的形态表现, 它可以包括:数学形式、数学历史、数学思想.其中思想是本质的, 没有思想就没有文化.

当今世界, 无论是国际间的竞争还是社会各行业各领域的竞争等, 核心是创新人才的竞争, 而创新人才的产生又与教育密不可分.诺贝尔奖获得者杨振宁和朱棣文在谈到中国教育现状时, 都认为中国的教育重基础知识的学习, 而轻创造能力的培养.那作为大学数学教师的我们, 怎样才能以合理有效的教学培养学生的创造能力呢?以数学公共课“概率论与数理统计”的教学为例, 有下面一些反思.

非数学专业的学生在学习“概率论与数理统计”之前基本上都是有微积分和线性代数的数学基础, 但大多数学生对这些数学知识的印象都是枯燥、繁琐的计算、记不住的公式和不知所以然的推理论证, 甚至有些学生对数学有种排斥的心理, 认为数学根本就没有用.学数学意味着什么?当然除非你能用它, 否则毫无益处.而“概率论与数理统计”是一门研究随机现象及其规律性的科学, 有着广泛的实际应用, 而且其中用到求导数、求积分等工具, 正好可以通过这门课的学习, 使学生感受到数学的力量, 从而对数学产生兴趣.

J.勒雷说过:“学习科学不是靠读, 而是靠理解.科学不是静止呆板的字母, 书籍不能保证它永恒的青春.科学是一种有生命的思想, 为了对它产生兴趣, 进而掌握它, 人们必须在精明的人的指导下, 用自己的头脑去重新发现它.”

我们教师就应该成为这样精明的人, 当然我们的教学不能只是宣读写好的课本或PPT, 也不能只是登上讲台发表高见, 而要通过对话使学生发现真理.这就要求我们在教学过程中不断渗透数学思想, 注重培养学生的自学能力和扩展、发展知识的能力, 为学生今后持续创造性的学习打好基础.

数学思想可以归纳为三种基本思想:抽象、推理和模型.下面举个课本[4]第一章中的一个例子:设盒子中有3个白球, 2个红球, 现从盒中任抽2个球, 求取到一红一白的概率.

通过这个简单的例子就可以渗透数学思想:首先通过抽象, 把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部, 即已知Ω为任取2个球, 求事件A:“取到一红一白”的概率;接下来通过推理, 得到数学的计算方法:P (A) =C35C13C12=53;并不是到这里就结束了, 我们可以进一步归纳出一个模型“超几何概型”[4], 通过模型, 创造出具有表现力的数学语言, 构建了数学与外部世界的桥梁.

为了培养学生的创造性, 在教学过程中还要培养学生的数学yawp (叫嚷或尖锐的叫声) , 就是发现一个数学思想或数学论证的美或解决一个问题时所表达的惊奇和愉快.这就要鼓励学生发现, 要恢复学生孩子般的好奇心和想象力, 教他们提出好问题.例如书本[4]第五章是讲大数定理与中心极限定理, 这章其实主要就是回答了四个问题:为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计?为何能以样本均值作为总体期望的估计?为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位?大样本统计推断的理论基础是什么?在教学过程中, 这四个问题不应该是讲到这一章由老师提出, 而应该在前面相应各章节的学习时就引导学习自己提出这些问题, 学生带着这些问题来学这一章的效果肯定会更好.

当然并不是说有了这些教学的思想和方法就能上好课, 还需要教师不断提高自己的专业素养, 下工夫对教材进行分析和研究, 在教学过程中不断地总结和反思教学经验.以上内容是作者在教学中的一些反思, 与同仁交流.

摘要：本文从数学是什么、数学素质的重要性和数学文化的核心着手, 反思数学公共课“概率论与数理统计”的教学思想和方法.

关键词：数学文化,数学思想,创新性,鼓励发现

参考文献

[1]杨叔子.文理交融打造“数学文化”特色课程[J].数学教育学报, 2011, 20 (4) :7.

[2]龚克.全国高校数学文化课程建设研讨会开幕致词[J].数学教育学报, 2011, 20 (4) :1.

[3]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].数学教育学报, 2011, 20 (4) :8.

概率论与数理统计教学 篇2

一、兴趣培养法

兴趣是最好的老师, 古人云:“知之者不如好之者, 好之者不如乐之者。”兴趣对学习有着神奇的内驱动作用, 能变无效为有效, 化低效为高效。它可以使人集中精力去获得知识, 并创造性地完成当前的活动。在教学中, 首先让学生对我所讲的内容感兴趣, 这样学生才会认真的学习。在概率论与数理统计的教学过程中, 始终注意培养学生学习的兴趣, 使学生在学到必要的知识的同时, 又享受到一定的学习乐趣, 达到提高教学质量的目的。在备课的过程中, 根据教材的内容和特点, 挖掘出有利于培养学生学习兴趣的积极因素。由于《概率论与数理统计》所研究的问题渗透到我们生活的很多方面, 每一个理论都有其背景, 因此, 在教学中要培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力, 激发学生的学习兴趣, 使学生们能在体会每个基本概念、定理和公式的产生过程中, 掌握概率论与数理统计解题的思想和方法。在课堂上, 多讲解一些和本门课程相关的实际问题, 根据所教授班级所学专业的不同, 结合学生的专业背景, 选择和他们的专业接近的案例, 讲解理论知识, 会收到事半功倍的效果。例如, 在讲解古典概率时, 列举生日问题, 让同学们课下调查一下本班同学有没有同一天出生的, 有几个同学是同一天出生, 这样, 学生在学习的过程中, 带着问题, 会很有兴致地进行调查。在讲解全概率公式和贝叶斯公式时, 讲解生产线上出现次品时的赔偿问题;在讲解数字特征时, 可以列举最优化, 投资理财以及保险行业的例子, 如何才能获利最大。这样, 学生既能学习知识, 又会把它应用到生活当中。在学习统计部分时, 让学生调查身边不同年龄的学生的身高, 体重情况, 给出一定置信度下的置信区间, 这样, 学生在学习这门课程的时候, 就会发现身边的例子, 激发学生学习这门课程的激情, 不仅提高了学生的学习兴趣, 也培养了学生对该门课程内容的理解和应用能力, 从直观背景中了解某些理论产生的过程。

二、数学史贯穿法

任何一门课程, 了解它的发展史对学习和掌握这门课程的思想方法都有深刻的影响和意义。在概率论与数理统计教学中, 适当的穿插一些数学史, 既可以调节课堂气氛, 又可以使学生了解概率统计的历史形成和发展过程。例如, 讲解概率时, 介绍合理分配赌注问题, 这个问题最早于1494年由意大利数学家帕乔和提出, 被认为是概率论的科学起源, 16世纪中叶, 卡尔达诺等人也讨论过此类问题, 17世纪中叶, 法国人梅雷向数学家帕斯卡重提这类问题, 引起了帕斯卡与另一位数学家费马在1654年7月至10月间的通信讨论, 数学史上称之为最早的概率论文献。学生会对这些书本上没有的问题的提出产生兴趣, 调动他们学习的积极性。1713年由雅各·贝努利著的《推测术》, 提出了“大数定律”。这一定理构成了从概率论通向更广泛的应用领域的桥梁。因此, 贝努利被认为是概率论的奠基人。当我给学生讲解大数定律时, 把这些内容贯穿进去后, 学生对大数定律的理解更加深刻, 对枯燥的定理产生了兴趣, 就会更加重视其理解和应用。数理统计的发展史相对较简单, 真正的萌芽是在欧洲, 创立于17世纪中叶至18世纪中叶, 代表人物有英国的统计学家威廉·配第及约翰·格朗等。18世纪末到19世纪末是其发展时期。到19世纪上半叶, 统计学在很多领域出现了新的应用, 成为“统计时代”。在讲解知识点时, 穿插上相应的数学史, 使学生能够开拓视野。

在概率论与数理统计教学中, 注意这些知识的补充介绍, 可以让学生了解前后知识的联系, 同时也在无形之中向他们传输了研究问题的思想方法。对其发展史的了解, 不仅丰富了学生的数学史知识, 更重要的是使他们能深刻的理解课程内容之间的内在联系, 不再孤立的看待知识点, 从而对其有一个整体的把握。

三、多媒体教学法

计算机技术与互联网的迅速发展和社会的信息化, 对人类传统的学习和教育方式产生了影响, 对高等学校的教学也提出了更高的要求。高等学校的人才培养, 教学的手段和方法必须适应信息技术发展的要求, 充分利用现代教育技术进行教学是教学方法改革的一个发展趋势。在概率论与数理统计的教学中, 利用对某些实验进行模拟、演示随机现象的统计规律性, 能有效地调动学生的听觉和视觉, 使题目中静止的内容运动起来, 使学生能充分地观察到运动的全貌、增强了学生的观察和分析能力、提高了教学质量。

在概率论与数理统计的教学中, 尝试用多媒体教学, 可以使学生对一些实验有身临其境的感觉, 比如, 在讲解假设检验的概念后, 再引入显著性检验的概念时, 如何在控制犯第一类错误概率的条件下, 使犯第二类错误的概率尽可能地小, 如果用板书在黑板上画时, 当有多条曲线出现时, 学生会产生混乱的感觉, 而且也会浪费掉很多的时间。但是, 如果这部分使用多媒体进行讲解, 可以很轻松的把他们之间的关系讲明白, 学生学起来也会很轻松。在教学过程中, 多媒体的制作至关重要, 不仅和所用的教材有关系, 而且和学生的专业也会有很大的关系, 这样就使我们在使用多媒体的过程中要注意很多的问题, 同时也要和传统的板书教学相结合使用。

以上是笔者对概率论与数理统计教学方法的一些体会, 作为高校教师, 时刻提醒自己做个有心的老师, 有准备的老师, 在对本门课程的内容非常熟悉的基础上, 仔细地查阅和学习与本课程相关的资料, 拓展自己的视野, 不断提高自己的教学技能, 大胆地改革教学方法, 突出本门课程的特点, 理论联系实际, 才能进一步完善课改目标, 更好地培养学生成人成才。

摘要：《概率论与数理统计》是高等院校绝大部分专业重要的基础课程, 是研究随机现象的统计规律及其应用的学科, 理论深刻, 内容丰富。学生在学习这门课程时, 总是感到概念难懂, 很抽象, 方法很难掌握。从多年教学的经验入手, 对课堂教学中采用的多种教学方法和教学手段及如何提高课堂效果给了一些建议。

关键词：概率论与数理统计,教学方法,兴趣

参考文献

[1]温广玉, 徐文科.概率论与数理统计[M].哈尔滨:东北林业大学出版社, 2009.

[2]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计 (三版) [M].北京:高等教育出版社, 2001.

[3]魏宗舒, 等.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社, 1983.

浅谈《概率论与数理统计》教学 篇3

关键词:概率统计 概念 引入 背景 趣味性

中图分类号:G424 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)03(c)-0181-01

引言:概率论与数理统计是高等院校理工类、经管类的重要课程之一也是数学的一个有特色且又十分活跃的分支。一方面,它有别开生面的研究课题,有自己独特的概念和方法,内容丰富,结果深刻;另一方面,它与其他学科又有紧密的联系,是近代数學的重要组成部分。概率论与数理统计的理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中,如预测和滤波应用于空间技术和自动控制,时间序列分析应用于石油勘测和经济管理,马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等,同时他又向基础学科、工科学科渗透,与其他学科相结合发展成为边缘学科。因此,概率论与数理统计的教学显得非常重要。但是学生在学习掌握这门知识的过程中普遍感到概念难懂,思维难于开展,问题难于入手,方法难于掌握。基于这一现象,在教学中,更新教学方法,注重教学思维,充分体现以人为本的教学理念成为提高教学质量的必然选择。

1 教学中应注重概念的引入和背景的讲解

概率论是研究随机现象的一门学科,随机现象就是不确定的现象这与学生以前所学的确定的值是不一样的。比如许多学生往往不理解什么是随机变量,为什么要引入随机变量,会感觉这些内容很抽象不好理解。那么我们在讲授的过程中就要注重对随机变量概念的引入及背景知识简单明了的介绍。随机变量我们可以举例为某一时段进入商场的人数,某一天的温度或者是保险公司某段时间的索赔额这些都是随机变量。这就像我们把小学学习得小明有2本书,小红有3本书,共有多少书转化2+3的计算一样。在我们引入的这些例子中就是一个个的随机试验,不同的随机试验我们可以用不同的随机变量X来表示。人数,温度,索赔额就是数字或函数就是学生熟悉的。原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率,不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。此外若对一切实数集合B,知道P(X∈B),那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了,所以我们只须求出随机变量X的分布P(X∈B),就对随机试验进行了全面的刻画。

2 教学中要注意概念的内涵和相互间的联系

许多学生由于对概念的内涵缺乏理解,对概念之间的内涵和相互联系理解得似是而非。因而在解题时常会出现许多共同的一些常规错误。在教学中,教师应当组织一些有典型意义的错误题解,从而学生在对比分析中正确理解概率统计中的概念,掌握正确的解题方法。比如有许多学生认为,随机变量互不相容就肯定独立,独立肯定也是互相容的:不同的随机变量,它们的分布函数一定不同;同分布的随机变量一定相等;两个一维正态变量合在一起就一定是一个一维正态随机变量;若ε与η不相互独立,则与就一定不相互独立等等,学生此时就是对概念缺乏正确而全面的理解。教师应该结合恰当的例子加以说明,比如独立与互不相容的概念内涵比较时,教师就可以举例两个人患感冒的人相距较远与较近时他们之间的关系就比较容易使学生纠正这些错误观念。

3 教学案例要“活”,注重学科实际

在教学中会有许多的概念,因为概率论与数理统计是与实际生活联系紧密的一门课,讲到相关内容时要注意挑选具有趣味性的例题,概率统计来源于实际生活,它本身是一门极具趣味性的科学,有着大量贴近生活,兴趣盎然的实例,但目前大部分教科书都未注意选择这样的例子如果教师照着教科书的例子讲,必然不能引起学生的兴趣;因此,教师必须注意积累,精心挑选要讲的例题,我们挑选的例题基本上都是实际问题,如生活中抓阄问题的合理性,顾客等候服务时间问题,需设多少个服务员能获得最大收益问题,可靠性问题等等.针对我们工科学校的学员,有机械,优选等贴近学生的实际问题。通过这些实例的阅读和讲解,将理论教学与实际案例有机结合起来,缩短了数学理论与实际应用的距离,使学生提高对概率论的兴趣。并且活的案例不仅将理论与实际结合起来,还使学生在课堂上九能接触到大量的时间问题,这对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。通过活的案例教学,可以促进学生全面看问题,从数量的角度分析事物的变化规律,使概率论与数理统计的思想和方法在现实生活中得到更好的应用,发挥其应有的作用。

法国数学家拉普拉斯曾说:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯也曾对概率论大加赞美:“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为。”那么作为教师的我们更应该把把概率论竭尽所能地传授给学生,使学生充分了解概率论的同时并且能够灵活运用于生活中,这才是我们教学的目的。

参考文献

[1] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计,浙江大学.

[2] 陈晓龙,施庆生,邓晓卫.概率论与数理统计[M].南京:东南大学出版社,2003.

[4] 李裕奇.概率论与数理统计[M].北京:国防工业出版社,2001.

[5] 吴群英.概率统计课程中采用兴趣与启发式教学,广西高教研究,2001,3.

概率论与数理统计教学浅谈 篇4

国内多数高校工科本科生都开设了概率论与数理统计这门课程[1-2]。该课程无论是在经济、管理、力学、军事科学等众多学科和实际生活中都有广泛的应用，而且是控制、计算机等一些专业课的基础课。但是作为一门数学专业课，学习有一定难度，如果不注意教学中的方式方法，容易让学生感到枯燥难懂，失去学习兴趣，影响教学效果。因此，当对工科学生讲授这门课程时，应尽可能丰富教学方式，让学生多了解这门课的实际意义，并更多地亲身参与到教学当中。本文就此问题，结合笔者的教学经验做几点探讨。

启发式教学

概率论与数理统计课程中有较多的公式推导，如果单纯采用板书或ppt推导的方式进行授课，学生很容易会感到枯燥乏味，教学效果不好。因此比较好的方式是逐步启发学生思考问题，让学生跟随老师的思路一步一步进行思考，由此体验在老师的帮助下自己解决问题的成就感。

以几何概型部分的布丰投针问题为例。公元1777年的一天，法国科学家布丰邀请很多朋友一起做了一个实验：纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。把这些小针一根一根往纸上扔，记录了所有人的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142，即π的近似值。这是古典概型的经典应用。在课堂上，在古典概型部分的最后讲解这个例子，让学生把所学知识应用到实际当中，体验数百年前科学家的思想。首先让学生考虑将这个实验抽象成数学问题，大致可以总结成为：设平面上画着一些有相等距离2a（a&0）的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（l

在教学中增加互动

除了采用启发式教学，让学生在老师的提示下独立思考外，在课堂中设置一些互动，让学生亲身参与其中也有利于让学生更深刻体会教学内容。

例如，曾在美国多次引起大范围讨论的三门问题[3]。该问题亦称为蒙提霍尔问题，出自美国一个电视节目。有三个门，其中两个门后面是羊，一个门后面是汽车，参赛者选中其中一个门后，主持人开启剩余两扇门中一个后面是羊的门，此时参赛者可以选择换另一个门。主持人是知道每个门后面的情况的，那么参赛者选择换门是否可以增加得到汽车的概率？答案是肯定的，如果参赛者不换门，得到汽车的概率是1/3，而换门后得到汽车的概率是2/3。大多数人直观的感受是换门与不换门的结果不应该有区别的，即各有一半的概率。因此本问题是数学上直观感受与理论分析明显不相符的一个有代表性的问题。而且本问题可以从概率论的多个角度去分析，如可以采用穷举法、古典概型的基本算法或条件概率等不同的角度验证。因此有利于学生展开大范围讨论并结合概率论中的多种知识去思考，让学生熟练运用以前学过的知识。

而且，在讨论结束后，本问题可以很容易地通过实验来验证。可以找学生进行模拟实验，比如选择两黑一红三张扑克牌，抽到红色牌算是中奖，模仿三门问题的抽奖过程，如此反复进行实验30-50次并统计结果，即可明显看出换牌与不换牌中奖概率的差别。在这方面类似的问题如三张卡牌的骗局等等不再赘述。如此让学生从多方面参与到教学当中，有利于学生集中注意力，并可以调动学生学习的主观能动性。

采用案例教学方法

概率论和数理统计的知识在生活的各个角落都可以找到应用，让学生了解这一点对引发学生的学习兴趣有很大帮助，而且有利于帮助学生将课堂学习的知识真正应用于实际的生产生活中。因此采用案例教学方法，在教学中采用与实际生产生活紧密联系的例子有助于提高教学效果。

例如，著名的美国橄榄球运动员辛普森杀妻案的庭审中，就在很多处与概率论和数理统计的知识有重要关联[4]。例如，在庭审最初阶段，控方反复强调辛普森曾有家暴现象，因此有杀妻的动机。而辩方的律师引用数据显示，有家暴的男性中，最终杀妻的比例不足1/2500。但是，如果仔细思考这个问题就会发现，辩方的论据与实际问题是不相符的。辩方所说的是丈夫有家暴前提下杀妻的概率，而实际的问题应该是：在丈夫有家暴且妻子死于谋杀的前提下，妻子是被丈夫所杀的概率。通过当时的数据统计显示，有43位被家暴且被谋杀的女性，其中40人是被丈夫所杀，即丈夫有家暴且妻子死于谋杀的前提下，妻子是被丈夫所杀的概率高达93%！这就是一个标准的条件概率问题，尽管算法并不复杂，但是认清条件和事件是问题的关键。

另外，尽管众多证据显示辛普森是凶手的可能性很大，但是由于本案仍有一些疑点显示辛普森也存在被人陷害的可能，根据美国法律疑罪从无的思想，辛普森最终被判无罪释放。这是本案最终受到大量争议的关键之一。而这种疑罪从无的思想，与数理统计中假设检验中降低受伪错误的思想是类似的。既然在已有条件固定情况下，受伪错误（将无罪的人判为有罪）和去真错误（将有罪的人无罪释放）不可以同时降低，那么如果为了保护人权想尽可能降低受伪错误，那么有较高的去真错误也就无法避免了，美国法律即是如此。假设检验的理论是比较难以理解的，因此在理论讲解中引入类似的实际案例进行类比，有助于学生较快的理解。

结语

概率论与数理统计教学 篇5

关键词：《概率论与数理统计》,案例教学,实验教学,网络教学平台

《概率论与数理统计》是继《高等数学》、《线性代数》之后, 理工、经管等专业必修的公共基础课程, 对培养学生处理“随机”的数学基础知识、基本能力和综合素质具有其他课程不可替代的作用。本文考虑到笔者所在学校学生的实际水平以及在教学过程中存在的一些问题, 结合笔者多年的教学经验, 对《概率论与数理统计》课程从案例教学、实验教学、网络教学平台几方面进行探讨, 仅供各位同仁参考。

一、目前教学现状

笔者根据多年的《概率论与数理统计》教学经验对目前教学中普遍存在的一些问题进行总结, 主要有四个方面: (1) 教学内容一成不变, 一本教材多专业通用, 例题与练习不能很好地结合学生专业特点, 致使学生不了解《概率论与数理统计》对后续课程以及专业课的影响和作用, 学习时缺乏热情和主动性。 (2) 教学手段单一, 大多采用板书+多媒体课件的形式。一些教师过度依赖多媒体课件, 虽然缓解了教师书写的压力, 但由于形式过于呆板, 课件内容固定, 教师不能灵活地调整教学内容, 学生处于被动的听课状态。 (3) 现有相关教材多注重概率统计的理论, 而对如何操作软件来解决实际问题介绍得很少。由于学时有限, 教师也将精力主要放在理论内容的讲解和计算上, 使得学生对课程的理解停留在理论层面上, 造成课程理论与实践相脱节。 (4) 理工科的《概率论与数理统计》多以45学时为主, 课程安排一般为两周三次课, 时间安排不够紧凑。学生在课后对课上的内容只能凭记忆进行总结和消化吸收, 如果不能及时复习内容, 就会造成知识的积压, 影响后面的学习。面对以上教学中存在的问题, 如何有效地提高课堂的教学效果, 激发学生的学习主动性, 是教师面临的亟待解决的问题。

二、改善教学效果的几点建议

1. 将案例教学融入课堂, 激发学生的学习兴趣。

由于概率论与数理统计的实用性强, 生活中的许多现象均可运用概率统计的知识和方法来解释。教师在讲授某个知识点时, 不妨将相关的生活实例融进教学中, 激发学生学习的兴趣, 使得抽象的定义、公式更为直接易懂, 有助于学生对知识点的理解和掌握。比如在介绍贝叶斯公式时, 可借用一个大家耳熟能详的“狼来了”的故事来理解和体会贝叶斯公式。故事讲的是一个放羊的小孩, 在两次欺骗村民说“狼来了”后, 第三次狼真来了, 而没人相信的事。接下来利用贝叶斯公式进行分析。设事件A表示小孩说谎话, 事件B表示狼来了。先做一些假设:村民对小孩的信任程度一般, 即, 而说谎的小孩喊狼来了的概率P (B|A) =0.2, 说真话的小孩喊狼来了的概率。那么当小孩第一次说谎喊狼来了的时候, 村民对小孩说谎的印象由贝叶斯公式计算得:。这时注意到村民对小孩的说谎的概率由0.5上升到0.667, 可记P (A) =2/3, 。小孩第二次说谎喊狼来了的时候再次利用贝叶斯公式得。通过以上的计算表明, 在村民上过两次当后, 对小孩说谎话的概率已经由0.5修正到0.8, 面对如此高的说谎概率, 试问村民听到第三次小孩喊狼来了, 怎么还会去上山呢?可见人与人之间的信任禁不起谎言的消磨。对生活中一个大家都熟识的寓言, 通过全概率公式的分析, 将结论量化, 更容易理解。再比如讲解数学期望这个重要的概念时, 可以将期望概念的起源故事即“赌资分配问题”介绍给学生。所谓的“赌资分配问题”是17世纪中期一位赌徒向数学家帕斯卡提出了一个困扰他很久的问题:甲乙两赌徒相约, 利用掷硬币的方式进行赌博, 各出50法郎, 谁先赢三局即可得全部赌本100法郎。当甲赢了两次, 而乙只赢一次时, 因事需终止赌博, 那么赌金如何分配呢?当这个问题在课堂上提出时, 不少学生产生了兴趣, 并给出了自己认为合理的答案, 这时教师进而引出正确的解法。1654年帕斯加提出最多只需再玩两次就可结束此次赌博, 这两次可能出现的结果分别为:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。对于甲来说只要出现四种可能结果的前三种, 甲都胜出, 故甲得100法郎的概率是3/4, 得到0法郎的概率为1/4, 从而甲应期望得到100×3/4+0×1/4=75法郎。其意指, 若再继续此种赌博多次, 甲每次平均可得75法郎。从这个解法中引出数学期望的概念即E (X) =x1p1+x2p2。除引用有趣的案例外, 教师还可以尽可能地让学生参与到教学环节中, 以激发学生学习的积极性和主动性。

2. 让实验教学走入课堂, 提高学生实际动手操作的能力。

《概率论与数理统计》是一门应用性、实践性很强的学科, 其在各方面的应用性可以通过例题呈现给学生, 而实践性在现有的教学环节中并没有得到充分的体现, 学生不能利用所学的知识解决一些简单的概率统计问题。教师在课堂上可以选择一些题目进行简单的操作, 向学生展示概率计算和统计分析的基本步骤。课后提供相应的练习, 促使学生在学习中较自然地掌握计算机的实现过程, 较好地解决了实践与教学相脱节的问题。

3. 充分利用现代化教学手段, 提高课堂教学效果。

课堂教学多采用板书+多媒体课件的形式, 在以教学效果为主的前提下, 二者可以相互补充, 扬长避短。无论是板书还是多媒体课件的使用, 都要有个度, 比如定理的推导和例题的计算, 适合用板书来讲解, 达到师生互动的良好效果。而定义、定理的陈述、图形的演示可以利用多媒体, 一方面省去教师书写的压力, 另一方面借助多媒体展示图形能更好地理解问题。此外也可以考虑将一些现代化的教学手段和成果穿插在教学中, 一定程度上可以提高教学效果。比如在介绍独立同分布的中心极限定理时, 不妨先借助著名的高尔顿钉板试验, 通过不断地调整试验次数和演示次数, 将小球堆积的效果图与正态分布曲线相比较, 从而分析引出中心极限定理内容, 可以帮助学生更形象、直观地理解中心极限定理的思想。

4. 结合专业特点, 精选例题。

为了更好地将《概率论与数理统计》课程与学生专业相结合, 教师可以根据所教学生专业的特点, 选择和专业贴合较近的例题, 这样学生在学习时, 能较好地了解该课程对后续专业课的影响和作用。比如给金融、经济专业的学生上课时, 关于数学期望和方差的概念, 不妨可以通过一个关于风险投资的问题来理解。例题:某人有一笔资金, 可投入两个项目:房地产和开商店。其收益都与市场状态有关。若把未来市场划分为好、中、差三个等级, 其发生的概率分别为0.2、0.7、0.1。通过调查, 该人认为购置房地产的收益X和开商店的收益Y的分布如下表, 问该人资金应该流向何方?

先计算数学期望 (即平均收益) E (X) =4 (万元) , E (Y) =3.9 (万元) 。从平均收益看, 购置房地产利益比开商店多0.1万元。再计算两者的方差, D (X) =15.4, D (Y) =3.29。方差越大, 收益的波动越大, 从而风险就越大, 显然购置房地产的风险要比开商店大得多。综合考虑, 该投资者还是选择开商店。

5. 建立网络教学平台, 引导学生自主学习。

网上资源丰富, 但学生想找到合适的内容就不太简单, 而且还要花费大量的时间。所以笔者依托学校提供的平台建设适合各阶段学生的网络教学平台。网络教学平台包含教师精心选取的内容, 既可以节省学生的时间, 又可以有针对性地引导学生自主学习。网络教学平台主要包括概率统计的各章课件、校级教改成果-概率论与数理统计习题课视频、各章节知识点总结、各章习题答案、历年期末试题、考研辅导材料以及国内一些大学历年期末试题几个模块。其中概率论与数理统计习题课的视频可供学生随时观看, 作为课堂教学的补充, 而且该形式不受时间、地点的限制, 从而将学生由被动的课上学习转化为课下的主动学习, 解决了课下每周仅有一次答疑时间的局限性, 学生可以根据针对个人情况有选择地学习。《概率论与数理统计》网络教学平台的建立, 较全面、完整地将《概率论与数理统计》课程组织在一起, 使学生在利用平台学习时, 根据自身学习情况, 有针对性地选择, 并辅以习题来巩固和提高理论知识, 通过试卷检验自己的学习效果。

三、结论

本文对《概率论与数理统计》课程的教学现状进行分析, 从案例教学、实验教学、网络实验平台等几个方面进行相应的改善, 教学效果在一定程度上得到了提高, 同时了也激发了学生的学习积极性。当然, 教学改革是无止境的, 要根据学生层次、教学内容等不断地进行调整, 以达到较好的教学效果。

参考文献

[1]茆诗松, 程依明, 濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]朱淑芹, 班朝磊.《概率论与数理统计》教学改革探讨[J].教育教学论坛, 2014, (45) .

概率论与数理统计教学 篇6

1 在教学过程中, 注重培养学生的学习兴趣

目前, 课堂讲授法仍是许多高等农业院校讲授概率与数理统计的主要教学方法。这一教学方法, 固然有其优势, 但也存在着弊端。从教学手段来看, 过于单一, 从书本到书本, 所采用的是教师讲、学生记的“填鸭型”教学模式, 偏重于对概念与理论知识的讲解而脱离实际应用;从学生的学习情况看, 不少学生仍习惯于中学时代的思维与学习方法, 死记硬背, 生搬硬套公式, 为应付考试而学, 结果是考完就忘了。更谈不上运用所学知识去分析和解决实际问题, 养成了依赖老师的心理和惰性, 这样的学生很难有创新能力。这样, 如何使学生由被动的接收者转变为主动的参与者和积极的研究者显得尤为重要。

结合概率论与数理统计这门课程的特点, 教师要深入钻研教材, 根据教材的内容和特点, 挖掘出潜在的兴趣因素, 同时加以充分利用, 使学生有继续学下去的兴趣, 真正解决学生不爱学的问题。

2 采用疑问式教学法与讨论式教学法相结合

讨论课是由师生共同完成教学任务的一种教学形式, 是在课堂教学的平等讨论中进行的, 它打破了老师满堂灌的传统教学模式。师生互相讨论与问答, 甚至可以提供机会让学生走上讲台自己讲述。

例如在对概率统计定义的讲授时, 学生会感到很模糊, 有的会将“频率稳定于概率”误解为“频率的极限时概率”, 有的误认为“频率决定于所进行的试验” , 这时, 教师可以引导学生各抒己见, 鼓励学生大胆的发表意见, 提出质疑, 进行自由辩论。通过问答与辩驳, 使学生开动脑筋, 积极思考, 激发了学生学习热情及科研兴趣, 培养了学生综合分析能力与口头表达能力, 增强了学生主动参与课堂教学的意识。学生的创新研究能力得到了充分的体现。这种教学模式是教与学两方面的双向互动过程, 教师与学生的经常性的交流促使教师不断学习, 更新知识, 提高讲课技能, 同时也调动了学生学习的积极性, 增进师生之间的思想与情感的沟通, 提高了教学效果。教学相长, 相得益彰。

3 运用示例教学法

示例教学法是通过具体的例题来实现新知识的传授及能力的培养的一种有效的教学方法, 具体的做法是:有关的概念、理论和解题方法都要求结合一个实例进行讲解。注意, 举例要有代表性, 要尽可能涉及多方面知识, 要有深度和广度, 如:袋中有a只白球, b只红球, k个人依次在袋中取一只球, (1) 作放回抽样; (2) 作不放回抽样, 分别求第i个人取到白球的概率。通过该例的讲解, 同学们会搞清楚在不同的取球方式下, 在不同的取球顺序下求某个事件发生的概率。

从这里可以看出, 示例教学法是把学生引导到实际问题中去, 通过分析与互相讨论, 调动学生的主动性和积极性, 并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法。它是连接理论与实践的桥梁。结合概率与数理统计应用性较强的特点, 在课堂教学中, 注意收集经济生活中的实例, 并根据各章节的内容 选择适当的案例服务于教学, 利用多媒设备及真实材料再现实际经济活动, 将理论教学与实际案例有机的结合起来, 使得课堂讲解生动清晰, 收到了良好的教学效 果。该教学法不仅可以将理论与实际紧密联系起来, 使学生在课堂上就能接触到大量的实际问题, 而且对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。

4 开展数学实验课, 如Matlab实验

以往在概率与数理统计教学中, 有习题课, 而没有实验课, 习题课对于巩固课堂教学起着重要的作用, 但习题课不能解决理论与实际应用相结合的问题, 也难以培养好学生运用概率与数理统计思想和方法解决实际问题的能力。Matlab是一种广泛应用与工程计算和数值分析领域的新型高级语言。它以矩阵为数据操作的基本单位, 使得矩阵运算变得非常简捷、方便、高效。同时, Matlab提供了十分丰富的数值计算函数, 而且Matlab的绘图功能也很强大, 它可以绘制各种二维、三维图形, 还可以对图形进行修饰和控制, 以增强图形的表现效果。

例如:设随机变量, 求概率, 可以直接利用Matlab提供的数值计算函数cdf计算。Matlab程序如下:

>> cdf ('norm', 0.6, 0, 1)

ans =0.7257

通过动手能帮助学生理解该课程中一些抽象概念和理论, 同时利用所学的方法和技巧, 让学生独立完成小课题, 提高了学生分析问题和解决问题的能力。

参考文献

[1]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2001.

概率论与数理统计教学 篇7

一、实例

若随机变量X2的数学期望存在, 那么关于a (a∈R) 的函数f (a) =E (X-a) 2也存在, 且有a=E (X) 时, 函数f (a) 取得最小值, 其最小值就是随机变量X的方差Var (X) [3].

笔者在实际课堂教学中提出如果令f (a) =E|X-a|, 那么当a取何值时, 函数f (a) 取最小值? 是否仍然有a=E (X) ?

二、分组讨论

将班级同学分成两个组, 一个组考虑随机变量X是离散型的, 另一个组主要考虑随机变量X是连续性的, 两个组各指定一名成绩较好的同学担任组长. 由组长在两个小组内部继续分组, 其中有负责具体随机变量的代入实验的, 有负责理论推导的.经过小组讨论后由组长写出讨论的结论.结果连续性随机变量小组得到的结果非常完整, 离散型小组没有得到完整的结论, 只得到一个猜想的结果.下文对两个小组的讨论答案作简单陈述.

1.连续型小组总结

定理1:设连续型随机变量X的分布函数为F (x) , 概率密度函数为p (x) , 且X的数学期望存在, 则有不等式

2.离散型小组总结

设离散型随机变量X的分布列为

例1.设离散型随机变量X的分布列为

其函数图像如下:P

由图可以看出, 当a=3时, 函数f取得最小值.

例2:设离散型随机变量X的分布列为

其函数图像如下:P1 / 51 / 53 / 5

由图像可以看出, 当a=-1时, 函数f取得最小值.

通过以上两个例子可以看出, 我们把随机变量X的值xi (i=1, 2, …n…) 按升序排列 , 并把他们对应的概率值按次序累加起来, 当其累加和等于12, 即p1+p2+…+pi=12时, 函数f (a) =E|x-a|取得最小值, 最小值点xi.P p1p2…pn…X 1 3 4P 1 / 4 1 / 4 1 / 2

这是概率值按次序累加恰好等于12的情形, 假设有出现情形:p1+p2+…+pi-1<12, 而p1+p2+…+pi>12, 即不能正好等于12, 结果会怎样呢? 让我们再看下面的两个例子.X - 1 2 4P 1 / 2 1 / 4 1 / 4

例3.设离散型随机变量X的分布列为

分析函数表达式易知, 函数f在 (-∞, 2) 上单调递减, 在[2, +∞) 上单调递增, 故当a=2时, 函数f取得最小值.P 2 / 5 1 / 5 2 / 5

例4.设离散型随机变量X的分布列为

注2:离散型小组没有完整的得出结果, 但通过简单例子给出了一个猜想. 由于无穷级数的极值问题是平时接触比较少的知识点, 本猜想的进一步证明有待考虑.

三、教学效果

这一研究型教学实例表明: 学生学习的积极性和主动性得到了很大提高, 激发了学习愿望.学生一致认为, 这次课堂学习重难点突出, 学生经过分组研讨, 得出结论, 最后到解决问题终结.这种让学生在教学环节中体验科学研究的全过程的全新教学方式, 使学生的分析问题能力、综合归纳能力、科学创新能力和团队协作能力得到了很好的锻炼和发展.

摘要：作者在讲授《概率论与数理统计》课程时, 对如何开展研究型教学进行了尝试, 并就《概率论与数理统计》课程教学中的一个实例, 谈谈关于研究型教学的认识与思考.

关键词：研究型教学,《概率论与数理统计》,实例剖析

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见[Z].教高[2005]1号.

[2]华东师范大学数学系.数学分析上册 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2001.

概率论与数理统计教学 篇8

关键词：网络环境 概率论与数理统计 教学思考

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）03（b）-0143-02

1 《概率论与数理统计》网络教学是时代的需要

《概率论与数理统计》是经管类、理工类等专业的一门重要基础课，是学好后续专业课的必要准备，同时也是一门应用性和实践性很强的课程。目前现行的中学课本里也安排了一定的概率统计知识，其难度也在一点点的加大。在新的形式下，探索并实践出有突破性的对《概率论与数理统计》改革策略是高等教育的重要研究课题。而当前，以多媒体计算机技术和网络通讯技术为主要标志的信息技术，对当代社会产生着重大的影响，改变着我们的工作方式、学习方式和生活方式。在飞速发展的网络时代，网络日益成为社会各领域中最活跃、最具有决定意义的因素。网络时代给《概率论与数理统计》教学注入了新的生机和活力，对《概率论与数理统计》教学产生了更高的要求。知识经济的来临，呼唤着《概率论与数理统计》教学必须进行创新和深刻的变革。同时也表明，《概率论与数理统计》教学的深刻变革，以信息技术和网络技术为核心的现代教育技术是突破口，勇立教育潮头的是现代教育技术。为此教育信息化是时代的需要。开展《概率论与数理统计》网络教学、培养学习者的网络意识和网络能力成为当前教育改革的必然趋势。

2 网络上《概率论与数理统计》的丰富信息能激发学生的学习兴趣和创新能力

网络是指具有独立功能的计算机、终端和网络通信设备，用通信线路链接起来，按一定的方式进行通信，并实现资源共享的系统。它是在计算机技术和通信技术高度发展的基础上，两者相结合的产物。由于现代信息技术在教育领域的广泛应用，各个大学、中学、小学都建起了自己的校园网及网络教室。这样，学校不但能把校内的计算机资源综合起来，还通过Internet网对外建立广泛的信息获取和知识交流渠道，极大地带动了学校的教学和科研工作，为网络环境下《概率论与数理统计》教学奠定了物质和技术基础。

在网络《概率论与数理统计》教学中，由于网络具有资源丰富与共享性、教学交互性、教学过程的超时空性以及实行个别化学习和研究性学习等特点，《概率论与数理统计》教师根据学生现有的心理和智力水平，利用网络技术从相关网站中搜索编写电子教案、制作课件所需要的资料，将传统教学思想与现代教育技术整合应用，把教学过程设计成充分利用网络资源和多媒体技术手段创设问题情景，不断地引导学生发现、提出问题→分析问题→解决问题的过程。教学内容在问题情境的依次呈现中层层设疑，步步推进，充分地调动学生思维空间。这样使《概率论与数理统计》教师的授课与学生的学习环境趋于多维化。而网络上有取之不尽、用之不竭的信息，新奇好看的《概率论与数理统计》教学内容将激发学生的好奇心、求知欲，对学生学习《概率论与数理统计》有极大的吸引力。它拓展了学生的视野，激励探索和发现，培养学生独立自主的学习《概率论与数理统计》习惯。网络方便了各种交流，更多的交流将产生更多的思考，更多的思考将带来更多的创新。而且网络的开放性有助于培养学生学习《概率论与数理统计》的现代观念和意识的形成。网络为学生的个性发展提供了广阔的学习《概率论与数理统计》空间，效率。学习《概率论与数理统计》的现代意识和观念得到了全方位的提升。网络能够拓宽学生的视野。网络的快速发展需要人们以更快的速度处理日益增加的数据和信息，有利于学生学习《概率论与数理统计》效率观念的培养。

3 网络环境下《概率论与数理统计》教学能因材施教、发展个性

网络环境下《概率论与数理统计》教学能真正达到因材施教、发展个性的目的。因为学生是按照自己的认知水平来学习和提高《概率论与数理统计》知识的，学习《概率论与数理统计》是学生主动参与完成的，这种学习使学生能真正地获得了智慧而不仅仅只是《概率论与数理统计》知识，这正是传统《概率论与数理统计》教学所不能比拟的；网络环境下《概率论与数理统计》教学能够整合各个学科内在知识体系，学生使用计算机进行《概率论与数理统计》学习，首先要具有计算机知识（最起码是基础知识），其次必须要有跨学科的知识与能力，才能驾驭各种计算机软件，同时调动了学生纵向与横向学科学习的兴趣，它使学生形成了长久的自主学习《概率论与数理统计》的习惯，这对于开发人力资源很有益处，这也是传统《概率论与数理统计》教学所不能比拟的；网络环境下《概率论与数理统计》教学能够使学生开阔了眼界，扩大了《概率论与数理统计》知识面，互联网比特量以月成倍增长，传统教师念经式的《概率论与数理统计》上课模式，其信息量充其量是九牛一毛。在学生进行自主学习过程的同时，教师可根据情况对个别学生进行学习指引，运用网络、课件和书本收集、学习与课题有关的知识，并进行整理、归纳得出结论。通过讨论、交流，最终解决问题。

4 弊端明显，不容忽视

任何事物都是一分为二的。网络《概率论与数理统计》教学将计算机网络技术引进了课堂。网络《概率论与数理统计》教学属于开放性的教育，能实现资源共享、国际交互，为学生学习和研究《概率论与数理统计》提供了方便，所起的积极作用是不可估量的。网络《概率论与数理统计》教学这一新生事物是随着现代网络社会的出现而产生的，它在充分显示自身对传统《概率论与数理统计》教学优势的同时，也暴露了其某些不足之处。（1）网络信息良莠不齐，特别是色情问题尤为突出。缺乏自制力和分辨力的学生很容易受到误导，甚至走上犯罪道路。

（2）由于现代教育媒体传送的内容不但有文本信息，还有图象、声音等多种信息，这些通过视听手段展现的信息内容，可能在制作过程中，利用剪辑、编辑、组接等手段把不真实的“事实”结合在一起，以其特殊的感染力、可信性欺骗学生，甚至有些基础知识技术等方面也可能出现错误，造成大量信息失真。

（3）网络环境下课堂教学组织起来，带有松散性、不确定性、难控制性。

因此教师在网络学习《概率论与数理统计》辅导时，注重学生的引导，采用任务式的教学方式，克服网络教学中的不利因素，对于起负面作用的信息要严格控制，及时纠正，并对其正确引导。充分发挥网络在《概率论与数理统计》教学过程中的积极因素，把《概率论与数理统计》教学工作做得更好。

5 网络环境下《概率论与数理统计》教学实践所带来的思考

多媒体计算机和网络通讯技术的发展，为基于认知学习《概率论与数理统计》理论的教学设计提供了环境。处于信息时代的教师和学生，面临着一个全新的以多媒体计算机和网络通讯技术为主要的教学手段和认知工具的学习环境，这种教学环境为教育的实践提供了《概率论与数理统计》的教学条件。在这种环境中，《概率论与数理统计》教师的角色发生了转变，《概率论与数理统计》教师的职业技能和应具备的能力结构也随之转变了。《概率论与数理统计》教师要紧跟科学技术发展的步伐，努力掌握和应用现代教育技术，以提高自身素质，适应现代教育的要求。为了顺应这种转变，信息时代的《概率论与数理统计》教师必须掌握以计算机为基础的现代教育技术，尤其是关于多媒体计算机和网络通讯方面的基本知识和技能，具体来讲主要是掌握WINDOWS、文字处理、演示文稿制作、收发电子邮件、网页编写、课件的编制、动画制作、学科教学专门软件Matlab、Mathematics、SPSS 及Lingo软件等。同时，还必须掌握现代化的、先进的《概率论与数理统计》教学设计理论、思想和方法，用现代化的设计思想和方法指导现代化的《概率论与数理统计》教学技术手段的运用，才能优化《概率论与数理统计》教学过程，以？最有效地解决《概率论与数理统计》教学问题。相

参考文献

[1]段勇，傅英定，黄廷祝.浅谈数学建模思想在大学数学教学中的应用[J].中国大学教学，2007（10）：32-34.

[2]杨叔子.文理交融打造“数学文化”特色课程[J].数学教育学报，2011，20（4）：7.

[3]龚克.全国高校数学文化课程建设研讨会开幕致词[J].数学教育学报，2011，20（4）：1.

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[5] 刘蓉.“概率论与数理统计”教学改革之探索[J].长春理工大学学报，2010，5（7）：132-133.

[6]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006，1：9-11.

概率与数理统计课程教学改革探讨 篇9

摘 要：长期以来，在财经类专业概率与数理统计课程建设中，一直存在着教学方法及考试模式等方面的问题。通过结合教学实践与理论思考，阐述了概率与数理统计教学改革的几点看法。

关键词：课堂教学;概率论与数理统计;应用能力;教学模式 

概率与数理统计是实际应用性很强的一门数学学科，它在经济管理、金融投资、保险精算、企业管理、投入产出分析、经济预测等众多经济领域都有广泛的应用。概率与数理统计是高等院校财经类专业的公共基础课，它既有理论又有实践，既讲方法又讲动手能力。然而，在该课程的具体教学过程中，由于其思维方式与以往数学课程不同、概念难以理解、习题比较难做、方法不宜掌握且涉及数学基础知识广等特点，许多学生难以掌握其内容与方法，面对实际问题时更是无所适从，尤其是财经类专业学生，高等数学的底子相对薄弱，且不同生源的学生数理基础有较大的差异，因此，概率统计成为一部分学生的学习障碍。如何根据学生的数学基础调整教学方法，以适应学生基础，培养其能力，并与其后续课程及专业应用结合，便成为任课教师面临的首要任务。作为我校教学改革的一个重点课题，在近几年的教学实践中，我们结合该课程的特点及培养目标，对课程教学进行了改革和探讨，做了一些尝试性的工作，取得了较好的成效。 与实际结合，激发学生对概率统计课程的兴趣

概率论与数理统计从内容到方法与以往的数学课程都有本质的不同，因此其基本概念的引入就显得更为重要。为了激发学生的兴趣，在教学中，可结合教材插入一些概率论与数理统计发展史的内容或背景资料。如概率论的直观背景是充满机遇性的赌博，其最初用到的数学工具也仅是排列组合，它提供了一个比较简单而非常典型（等可能性、有限性）的随机模型，即古典概型；在介绍大数定律与中心极限定理时可插入贝努里的《推测术》以及拉普拉斯将概率论应用于天文学的研究，既拓广了学生的视野，又激发了学生的兴趣，缓解了学生对于一个全新的概念与理论的恐惧，有助于学生对基本概念和理论的理解。此外，还可以适当地作一些小试验，以使概念形象化，如在引入条件概率前，首先计算著名的“生日问题”，从中可以看到：每四十人中至少有两人生日相同的概率为 0.882，然后在各班学生中当场调查学生的生日，查找与前述结论不吻合的原因，引入条件概率的概念，有了前面的感性认识后学生就比较主动地去接受这个概念了。

在概率统计中，众多的概率模型让学生望而生威，学生常常记不住公式，更不会应用。而概率统计又是数学中与现实世界联系最紧密、应用最广泛的学科之一。不少概念和模型都是实际问题的抽象，因此，在课堂教学中，必须坚持理论联系实际的原则来开展，将概念和模型再回归到实际背景。例如：二项分布的直观背景为 n重贝努里试验，由此直观再利用概率与频率的关系，我们易知二项分布的最可能值及数学期望等，这样易于学生理解，更重要的是让其看到如何从实际问题抽象出概念和模型，引导学生领悟事物内部联系的直觉思维。同时在介绍各种分布模型时可以有针对性地引入一些实际问题，向学生展示本课程在工农业、经济管理、医药、教育等领域中的应用，突出概率统计与社会的紧密联系。如将二项分布与新药的有效率、射击命中、机器故障等问题结合起来讲；将正态分布与学生考试成绩、产品寿命、测量误差等问题结合起来讲；将指数分布与元件寿命、放射性粒子等问题结合起来讲，使学生能在讨论实际问题的解决过程中提高兴趣，理解各数学模型，并初步了解利用概率论解决实际问题的一些方法。 运用案例教学法，培养学生分析问题和解决问题的能力

案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与互相讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法。它是连接理论与实践的桥梁。我们结合概率与数理统计应用性较强的特点，在课堂教学中，注意收集经济生活中的实例，并根据各章节的内容选择适当的案例服务于教学，利用多媒设备及真实材料再现实际经济活动，将理论教学与实际案例有机的结合起来，使得课堂讲解生动清晰，收到了良好的教学效果。案例教学法不仅可以将理论与实际紧密联系起来，使学生在课堂上就能接触到大量的实际问题，而且对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。通过案例教学可以促进学生全面看问题，从数量的角度分析事物的变化规律，使概率与数理统计的思想和方法在现实经济生活中得到更好的应用，发挥其应有的作用。

在介绍分布函数的概念时,我们首先给出一组成年女子的身高数据,要学生找出规律,学生很快就由前面所学的离散型随机变量的分布知识得到分组资料,然后引导他们计算累积频率,描出图形,并及时抽象出分布函数的概念。紧接着仍以此为例,进一步分析:身高本是连续型随机变量,可是当我们把它们分组后,统计每组的频数和频率时却是用离散型随机变量的研究方法,如果在每一组中取一个代表值后,它其实就是离散型的,所以在研究连续型随机变量的概率分布时,我们可以用离散化的方法,反过来离散型随机变量的分布在一定的条件下又以连续型分布为极限,服装的型号、鞋子的尺码等问题就成为我们理解“离散”和“连续”两个对立概念关系的范例,其中体现了对立统一的哲学内涵,而分布函数正是这种哲学统一的数学表现形式。尽管在这里花费了一些时间,但是当学生理解了这些概念及其关系之后,随后的许多概念和内容都可以很轻松地掌握,而且使学生能够对数学概念有更深层次上的理解和感悟,同时也调动了学生的学习积极性和主动性,培养了他们再学习的能力。 运用讨论式教学法，增强学生积极向上的参与和竞争意识

讨论课是由师生共同完成教学任务的一种教学形式，是在课堂教学的平等讨论中进行的，它打破了老师满堂灌的传统教学模式。师生互相讨论与问答，甚至可以提供机会让学生走上讲台自己讲述。如，在讲授区间估计方法时，就单双边估计问题我们安排了一次讨论课，引导学生各抒己见，鼓励学生大胆的发表意见，提出质疑，进行自由辩论。通过问答与辩驳，使学生开动脑筋，积极思考，激发了学生学习热情及科研兴趣，培养了学生综合分析能力与口头表达能力，增强了学生主动参与课堂教学的意识。学生的创新研究能力得到了充分的体现。这种教学模式是教与学两方面的双向互动过程，教师与学生的经常性的交流促使教师不断学习，更新知识，提高讲课技能，同时也调动了学生学习的积极性，增进师生之间的思想与情感的沟通，提高了教学效果。教学相长，相得益彰。

保险是最早运用概率论的学科之一,也是我们日常谈论的一个热门话题。因此,在介绍二项分布时,例如一家保险公司有1000人参保,每人、每年12元保险费,一年内一人死亡的概率为0.006。死亡时,其家属可向保险公司领得1000元,问:①保险公司亏本的概率为多大?②保险公司一年利润不少于40000元、60000元、80000元的概率各为多少? 保险这一类型题目的引入,通过讨论课使学生对概率在经济中的应用有了初步的了解。 运用多媒体教学手段，提高课堂教学效率

传统上一本教材、一支粉笔、一块黑板从事数学教学的情景在信息社会里应有所改变，计算机对数学教育的渗透与联系日益紧密，特别是概率论与数理统计课，它是研究随机现象统计规律性的一门学科，而要想获得随机现象的统计规律性，就必须进行大量重复试验，这在有限的课堂时间内是难以实现的，传统教学内容的深度与广度都无法满足实际应用的需要。在教学中我们可以采用了多媒体辅助手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，形成了一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，从而大大增加了教学信息量，以提高学习效率，并有效地刺激学生的形象思维。另外，利用多媒体对随机试验的动态过程进行了演示和模拟，如:全概率公式应用演示、正态分布、随机变量函数的分布、数学期望的统计意义、二维正态分布、中心极限定理的直观演示实验等，再现抽象理论的研究过程，能加深学生对理论的理解及方法的运用。让学生在获得理论知识的过程中还能体会到现代信息技术的魅力，达到了传统教学无法实现的教学效果。 改革考试方式和内容，合理评定学生成绩

应试教育向素质教育的转变，是我国教育改革的基本目标。财经类专业的概率与数理统计教学，除了在教学方法上应深入改革外，在考试环节上也需要进行改革。

考试是教学过程中的一个重要环节，是检验学生学习情况，评估教学质量的手段。对于数学基础课程概率与数理统计的考试，多年以来一直沿用闭卷笔试的方式。这种考试方式对于保证教学质量，维持正常的教学秩序起到了一定的作用，但也存在着缺陷，离考试内容和方式应更加适应素质教育，特别是应有利于学生的创造能力的培养之目的相差甚远。在过去的概率与数理统计教学中，基本运算能力被认为是首要的培养目标，教科书中的各种例题主要是向学生展示如何运用公式进行计算，各类辅导书中充斥着五花八门的计算技巧。从而导致了学生在学习概率与数理统计课程的过程中，为应付考试搞题海战术，把精力过多的花在了概念、公式的死记硬背上。这与财经类培养跨世纪高素质的经济管理人才是格格不入的。为此，我们对概率与数理统计课程考试进行了改革，主要包括两个方面：一是考试内容与要求不仅体现出概率与数理统计课程的基本知识和基本运算以及推理能力，还注重了学生各种能力的考查，尤其是创新能力。二是考试模式不具一格，除了普遍采用的闭卷考试外，还在教学中用互动方式进行考核，采取灵活多样的考核形式。学生成绩的测评根据学生参与教学活动的程度、学习过程中掌握程度和卷面考试成绩等综合评定。这样，可以引导学生在学好基础知识的基础上，注重技能训练与能力培养。

实践表明,运用教改实践创新的教学模式,可以使原本抽象、枯燥难懂的数学理论变得有血有肉、有滋有味,可以激发学生的求知欲望,提高学生对课程的学习兴趣。在概率统计的教学模式上,我们尽管做了一些探讨,但这仍是一个需要继续付出努力的研究课题,也希望与更多的同行进行交流,以提高教学水平。

参考文献

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［4］蔺云.哲学与文化视角下概率统计课的育人功能［J］.数学教育学报,2002,11(2):24-26.

概率论与数理统计教学 篇10

1 概率论与数理统计和反例教学法

在概率论与数理统计的教学中会碰到许多用逆向思维求解的内容, 例如, 显著性假设检验的原理是小概率事件实际不可能原理, 在一次实验中小概率事件是不会发生的, 但是在一次显著性假设检验过程中小概率事件居然发生了, 说明原命题是假的。统计中大量的反例教学是教学中的难点, 也是学生理解概率统计问题的难点。我们知道, 要断定一个命题正确, 必须经过严密的推理论证, 而要否定一个命题, 只要能举出一个与结论矛盾的例子就可以了, 这种与命题相矛盾的例子称为反例。反例教学法是从原问题的相反方向着手的一种思维教学法, 对于某些特定的问题, 从结论倒过来思考, 会使得问题清晰简单。它是数学思维的一个重要方面, 是创造性思维的一个组成部分, 也是进行思维训练的载体。在概率论与数理统计教学中始终贯穿反例教学法, 是培养学生逆向思维的过程也是培养学生思维敏捷性的过程。

本文以大学数学公共课概率论与数理统计课程教学中的事件与概率一章为例, 归纳总结反例教学法在此章节的应用与研究。

2 三个典型性结论及其反例

在教学过程中, 随机事件及其概率这一章节中的可以归纳出很多个理论公式和结论, 本文中只是举三个典型性结论, 然后举出反例加以推理验证, 刺激学生的好奇心和兴趣, 从而使得学生更加透彻的理解数理统计概念, 更加好学, 更加具有专研精神, 更有助于学生数学思维的培养。

符号:

A, B, C:随机事件

Ω:必然事件;样本空b间;

覫:不可能事件

定理1用事件的运算关系表示事件的方法不一定唯一

例如, 用A, B, C的运算关系表示事件D={A, B, C中不多于一个事件发生}, 根据事件的和、差、积及其逆事件的概念, 可以写出下面四种不同的表示法:

定理2样本点不一定是事件

按照概率的公理化体系可知, 样本点是样本空间Ω的元素, 而事件是事件域中F中的元素, 它是样本点的某些子集.在古典概型中, 样本空间Ω只含有穷个点, 所以Ω也是有穷的.此时常常把Ω的一切子集都视为事件.但却不能由此认为样本点一定是事件.实际上, 并不把Ω的一切子集都当作事件来研究。

例如, 现从标有数字1~10的十个球, 任取一球, 样本空间

令

A={所取球的号码为偶数}={2, 4, 6, 8, 10}

={所取球的号码为偶数}={1, 3, 5, 7, 9}

我们只考虑事件Ø, A, , Ω时, 容易验证F={Ø, A, , Ω}为一事件域, 于是Ω中的样本点B={所取球的号码为4}就不是事件域F中的元素, 即B={4}不是F中的事件。

定理3对“等可能性”的理解不同, 得到的概率不一定相同

在概率论发展的早期, 大部分的人都相信, 只要找到适当的等可能性描述, 就可以给概率问题唯一的解答, 但事实上确并非如此, 这是个经典的著名反例, 贝特朗 (Bertrand) 奇论 (贝特朗在1887年出版的《概率论教程》一书中构造了这个例子) :

在半径为1的园内随意画一条弦, 问它的长度超过其内接正三角形的边长的概率等于多少?

从不同的方向的理解, 贝特朗对这个问题给出了三种不同的解法。

解法一:

如图1, 我们在圆中任意画一条弦AB, 又以A为定点作圆的内接正ΔACD, 要AB比AC (容易计算出) 长, 由已知, 必须端点B落在弧CD上, 点B落在圆周上任何一点是等可能的, 于是, AB超过的概率为

解法二:如图2, 在圆中任意画出一条弦AB, 再作与AB垂直的直径CF, 并以C为顶点作圆的内接正ΔCDE, 由图可见, 要AB>DF, 必须AB和直径CF的交点M落在GH内, 这里G是CF与DE的交点, H是G关于圆心O的对称点, 由平面几何可以求出OG=OH=1/2, M点落在CF上各点是等可能的, 故AB超过的概率为:

解法三:如图3, 在圆中任意画出一条弦AB, 再作圆内接正ΔCDE, 使得DE//AB。接着作出ΔCDE的内切圆, 计算出内切圆的半径为21, 设AB的中点为Q, 很明显Q点必须落在这个内切圆 (阴影部分) 内, AB的长才不会超过姨3, Q落在大圆内任何一点都是等可能的, 故所求的概率为:

三种解法推理看起来都无懈可击, 不同的理解得到了三种完全不同的答案, 从而使得问题得到了奇论的美称, 也就是数学上的贝特朗悖论。同一个问题得到不同的结论的原因是什么呢?原因在于每种解法对于“等可能性”作出了不同的理解和假设:解法一假定了弦的端点落在圆周上各点是等可能的;解法二假定了弦的中点落在直径上各点是等可能的;解法三假定了弦的中点落在圆内各点上是等可能的。对于各自不同的假设, 上面三种解法和结果都是正确的, 这个例子提醒学生, 在解答概率问题时, 一定要弄清楚等可能性的条件, 以免发生混淆。

3 结束语

在概率论与数理统计的教学过程中的引人各种反例教学, 会使得上课更加生动有趣, 不同于常规的思维推理一定会引起学生的好奇心和好胜心, 从而激发学生对概率统计的极大兴趣, 然后可以引导学生专研问题, 思考结论。在教学中插入恰当的反例, 即是简明有力的否定方法, 又是加深学生对概念和定理的理解的重要手段, 它有助于发现问题, 活跃思维、避免常犯易犯的错误。从而达到教学上的最高水平, 取得令人满意的教学效果。

摘要：在概率论与数理统计教学中, 以随机事件与概率一章为教学案例, 举出3个典型性反例案例, 在教学中加以应用, 培养学生的逆向思维和敏捷性思维。

关键词：逆向思维,反例教学法,随机事件,概率

参考文献

[1]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].4版.高等教育出版社, 2008:1-14.

[2]沈恒范.概率论与数理统计[M].5版.高等教育出版社, 2011:1-7.