材料的极限十篇

材料的极限 篇1

航空、航天领域对材料的结构和质量有特殊的要求, 在保证结构可靠性的同时, 希望其质量越小越好。C/E (碳纤维/环氧树脂) 复合材料网格结构是一种先进的结构形式, 与传统的金属结构相比, 网格结构的质量可以大幅度减小, 制造费用可减少20%～30%。采用网格结构的探空火箭有效载荷整流罩与目前应用的铝质整流罩相比, 质量减小了60%[1]。复合材料网格结构通常用于薄壁圆柱或圆锥壳体上, 一般由与壳体轴线成一定夹角的纵向筋和环向筋组成[2,3]。

影响网格结构承载效率的设计参数主要包括纵筋的数目、环筋的数目、缠绕角度以及筋截面的高宽比等。在复合材料网格结构的设计过程中, 由于设计参数众多, 无法通过经验预测网格结构的承载能力, 这就需要在设计方法上寻找突破点, 通过合理选择设计方法提前预知复合材料网格结构的承载效率。目前, 国内外通用的设计方法主要有解析法、有限元法和等效刚度法。本文通过解析法和等效刚度法对复合材料网格结构极限轴压进行了预测, 并与实验结果进行了对比。结果表明:采用整体屈曲法和局部屈曲法能够较好地预测复合材料网格结构的极限轴压及其失稳模式。

1 整体屈曲法

1.1等效工程弹性常数

对于具有周期性微结构的材料和系统, 可以采用代表体元法或者均匀化方法[4]将其等效为具有等效性质的均匀材料和系统[5]。这种方法已广泛用于含夹杂材料、纤维增强复合材料的等效刚度的研究[6]。对于网格结构复合材料, 当所研究结构尺寸远大于网格尺寸时, 我们也可以采用这种方法。从网格结构中, 选择一代表性体元;以代表性体元为研究对象, 建立微结构参数 (如缠绕角、筋截面性质等) 与其等效性质的关系。代表性体元的提取以及均匀化过程如图1所示。

依据复合材料力学, 二维平面状态下结构的应力-应变关系为

式中, σ1、σ2为正应力;τ12为面内剪切应力;ε1、ε2为正应变;γ12为面内剪切应变;E1、E2为弹性模量;G12为面内剪切模量;μ12、μ21为材料面内耦合系数;Qij为退缩刚度系数, i, j=1, 2, 6。

为了建立网格结构与等壁厚平板等效刚度矩阵的关系, 可以分别令ε1、ε2和γ12中的一个量非零, 另外两个量为零;在网格结构的边界节点上, 施加与此对应的位移边界条件, 然后求解杆件上的力;把所得到边界杆件上的力对边界长度进行平均, 从而可以得到等效工程弹性常数。

考虑三种变形模式:

(1) 固定上下两边沿y方向的位移及在平面内的转动, 并对左端施加固定端约束, 给右端一个沿x方向的单位位移 (图2) 。

(2) 对下边两端的端点施加固定端约束, 下边中间的两点固定y向位移以及平面内的转动, 固定上边两端的端点沿x方向的位移以及平面内的转动, 给上边一个沿y方向的单位位移 (图3) 。

(3) 对下边施加固定端约束, 给上边的右端一个沿x方向的单位位移 (图4) 。

采用MATLAB语言编写用户程序, 来计算网格结构的等效刚度矩阵。将模型的几何长度以及与x轴夹角的正弦和余弦代入编写的计算程序得到单元刚度矩阵、整体刚度矩阵及节点力矢量, 并最终计算得到等效工程弹性常数 (E1、E2、G12) 。

1.2极限轴压载荷计算

将计算得到的等效工程弹性常数以及结构尺寸代入正交各向异性圆柱临界轴压 (即极限轴压) 公式[7]:

${\rm N}{}_{\text{c}\text{r}}=2\text{π}k{}_{\text{e}\text{o}}h{}^2\sqrt{\frac{E{}_{x}E{}_{\theta }}{3(1-\nu {}_x\nu {}_{\theta })}}$ (3)

式中, Ncr为临界轴压;keo为实验修正系数, 一般为0.3～0.5;h为圆筒壁厚;Ex为圆筒轴向弹性模量;Eθ为圆筒环向弹性模量;νx、νθ为圆筒泊松比。

式 (3) 中的实验修正系数实际上模拟了真实结构所存在的某些缺陷。在计算网格结构极限轴压时, 实验修正系数keo应该取最小值, 即取keo=0.3。

2 局部屈曲法

网格结构在轴向压缩载荷作用下将发生局部筋的屈曲。内部纵向筋的端部约束既不是铰支座也不是固定支座, 它与其他的纵环向筋相互交叉连接着, 允许纵向筋端部做有限的转动或平动。这种支撑是一种介于固定支座和铰支座之间的一种约束形式, 称为弹性约束支撑[8]。对于网格结构, 它内部纵向筋可能存在的典型交叉形式有8种, 见图5。

2.1纵向筋的初始弯曲形状

研究纵向筋的面外屈曲时, 纵向筋具有初始弯曲, 其在横截面内的投影见图6, 根据图6可以得到纵向筋初始弯曲形状曲线方程:

式中, α为缠绕角度;l为所取纵向筋的长度;x为纵向筋上相应点的x坐标;y0为初始弯曲形状曲线函数, y0是x的函数;R为网格结构的半径。

2.2纵向筋的屈曲控制方程

对纵向筋的约束形式进行抽象简化, 下端承受固定铰支座和转动弹簧约束, 上端受垂直于筋横截面方向的可动铰支座和转动弹簧约束。纵向筋在沿x向压缩载荷N作用下的屈曲情形见图7。图7中, γ1、γ2、γ3表示杆端的弹性固定程度, 称为弹簧的约束系数, D1、D2为杆端的转角, D3为杆端的位移。根据纵向筋屈曲模型建立对坐标原点的弯矩平衡方程:

γ1D1+γ3lD3-ND3-γ2D2=0 (6)

任一截面上的弯矩平衡方程为

$\begin{array}{l}{\rm M}-{\rm N}(y+y{}_0+\frac{x}{l}D{}_3-D{}_3)+\gamma {}_{2}D{}_2-\\ \gamma {}_{3}D{}_3(l-x)=0(7)\end{array}$

屈曲控制方程为

$\begin{array}{l}-E{\rm I}{y}^{″}={\rm N}y+{\rm N}y{}_0+(\frac{x}{l}-1){\rm N}D{}_3-\\ \gamma {}_{2}D{}_2+\gamma {}_{3}D{}_3(l-x)(8)\end{array}$

式中, E为筋的压缩模量;I为筋的惯性矩;y为纵向筋上坐标为x的点的挠度;M为横截面上的弯矩。

2.3面内屈曲时极限轴压

面内屈曲时, 实际网格结构的筋本身不可能完全在一个平面内, 因此, 可以假定网格筋本身存在一定的缺陷, 假设缺陷函数为

$y{}_0=A{}_1\sin \frac{\text{π}x}{l}$ (9)

式中, A1为缺陷系数, 根据模具本身的公差带值来确定, 本文中取A1=0.01。

令$k{}^2=\frac{{\rm N}}{E{\rm I}}$, 由该缺陷函数产生式 (8) 的特解为

$y{}_1=-A{}_{1}l{}^2\sin \frac{\text{π}x}{l}/(-k{}^{2}l{}^2+\text{π}{}^2)$ (10)

由$(1-\frac{x}{l})\frac{{\rm N}}{E{\rm I}}D{}_3+\frac{\gamma {}_2}{E{\rm I}}D{}_2-\frac{\gamma {}_{3}D{}_3}{E{\rm I}}l+\frac{\gamma {}_{3}D{}_3}{E{\rm I}}x$项产生的特解为

$y{}_2=\frac{1}{k{}^{2}E{\rm I}}[(1-\frac{x}{l}){\rm N}D{}_3+\gamma {}_{2}D{}_2-\gamma {}_{3}D{}_{3}l+\gamma {}_{3}D{}_{3}x]$ (11)

故式 (8) 的解为

y=Asinkx+Bcoskx+y1+y2 (12)

根据图7得到边界条件:①当x=0时, $y=0,y^{\prime }=D{}_1=\frac{({\rm N}-\gamma {}_{3}l)D{}_3+\gamma {}_{2}D{}_2}{\gamma {}_1}$;②当x=l时, y=D3, y′=-D2。

将边界条件代入式 (12) , 可得到一组非齐次方程:

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1-\frac{\gamma {}_{3}l}{{\rm N}}& \frac{\gamma {}_2}{{\rm N}}\\ \cos kl& \sin kl& -1& \frac{\gamma {}_2}{{\rm N}}\\ 0& k& \frac{\gamma {}_3}{{\rm N}}+\frac{\gamma {}_3}{\gamma {}_1}l-\frac{{\rm N}}{\gamma {}_1}-\frac{1}{l}& -\frac{\gamma {}_2}{\gamma {}_1}\\ -k\text{s}\text{i}\text{n}kl& k\text{c}\text{o}\text{s}kl& \frac{\gamma {}_3}{{\rm N}}-\frac{1}{l}& 1\end{array}\right]\cdot \\ \left[\begin{array}{c}\begin{array}{l}\\ B\end{array}\\ A\\ D{}_3\\ D{}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{l}\\ -y{}_1(0)\end{array}\\ -y{}_1(l)\\ -y{}_1^{´}(0)\\ -y{}_l^{´}(l)\end{array}\right](13)\end{array}$

由式 (13) 可以求得系数B、A、D3和D2, 则总挠度为

$\delta =y{}_0+y-D{}_3+\frac{x}{l}D{}_3$ (14)

当杆件上挠度最大点的边缘纤维压应力达到材料的压缩强度时结构破坏, 这时的载荷值即为杆件所能承受的最大载荷。挠度最大点可以通过循环计算程序计算得到, 取受单位载荷作用时的杆件, 多点取值判断以获得结构的最大挠度点。杆件破坏时的临界公式为

$\frac{{\rm N}{}_{\max }}{S}+\frac{{\rm N}{}_{\max }\delta }{W}=\sigma {}_{\text{Τ}}$ (15)

式中, Nmax为最大压缩载荷;S为杆件截面积;W为抗弯截面系数;σT为材料的压缩强度。

编写相应的循环计算程序可以计算得到最大压缩载荷Nmax, 进而可以得到网格结构所能承受的极限轴压为

Ncr=2kenNmaxcos α (16)

式中, ke为经验修正系数, 一般取0.6～0.8;n为纵向筋的对数。

2.4面外弯曲时的极限轴压

面外弯曲时结构存在初始弯曲, 即y0≠0, 令$t=\frac{l\text{s}\text{i}\text{n}\alpha -2x\text{s}\text{i}\text{n}\alpha }{2R}$, 这时由齐次方程产生的通解为

$y=A\sin (R\frac{k}{\sin \alpha }t)+B\cos (R\frac{k}{\sin \alpha }t)$ (17)

此时由$-\frac{{\rm N}}{E{\rm I}}y{}_0$项产生式 (8) 的特解为

$\begin{array}{l}y{}_1=\frac{1}{8}\{24\cos {}^4\alpha +[-48+(12t{}^2+8)k{}^{2}R{}^2]\cos {}^2\alpha +\\ 8R{}^4\cos \theta k{}^4+24+k{}^4(-8+4t{}^2+t{}^4)R{}^4+\\ (-12t{}^2-8)k{}^{2}R{}^2\}\frac{{\rm N}}{k{}^{6}R{}^{3}E{\rm I}}(18)\end{array}$

由$(1-\frac{x}{l})\frac{{\rm N}}{E{\rm I}}D{}_3+\frac{\gamma {}_2}{E{\rm I}}D{}_2-\frac{\gamma {}_{3}D{}_3}{E{\rm I}}l+\frac{\gamma {}_{3}D{}_3}{E{\rm I}}x$项产生的特解的公式与式 (11) 相同。

故式 (8) 的解为

$y=A\sin (R\frac{k}{\sin \alpha }t)+B\cos (R\frac{k}{\sin \alpha }t)+y{}_1+y{}_2$ (19)

根据图7得到边界条件

(1) 当x=0时, $y=0,y^{\prime }=D{}_1=\frac{({\rm N}-\gamma {}_{3}l)D{}_3+\gamma {}_{2}D{}_2}{\gamma {}_1};$

(2) 当x=l时, y=D3, y′=-D2。

将边界条件代入式 (19) , 可得到一组非齐次方程:

由式 (20) 可以求得系数B、A、D3和D2, 则总挠度计算公式与式 (14) 相同。当杆件上挠度最大点的边缘纤维压应力达到材料的压缩强度时结构破坏, 这时的载荷值即为杆件所能承受的最大载荷。挠度最大点可以通过循环计算程序计算得到, 取受单位载荷作用时的杆件, 多点取值判断以获得结构的最大挠度点。又由杆件破坏时的临界公式 (式 (15) ) , 编写相应的循环计算程序计算得到最大压缩载荷Nmax。由此可以进一步由式 (16) 计算得到网格结构所能承受的最大极限载荷。

3 实验研究

为了验证理论分析方法的有效性, 设计了一定结构尺寸的网格结构进行实验验证, 网格结构尺寸见表1。

实验用网格结构由T700-12K碳纤维与环氧树脂固化而成。理论计算中使用的材料性能参照T700-12K/环氧单向板材料性能, 见表2。

采用INSTRON1346材料疲劳强度试验机对制造的复合材料网格结构进行轴压实验。首先将复合材料网格结构水平放置在特制的标准实验平台上, 接着将材料疲劳强度试验机上端面与复合材料网格结构上端面紧密贴合, 然后利用试验机缓慢加载 (图8) , 直至复合材料网格结构发生破坏 (图9) , 记录实验结果。载荷—位移曲线见图10, 实验及理论计算的结果见表3。

从表3可以看出:整体屈曲法的计算结果要大于局部屈曲法的计算结果, 而本算例中整体屈曲系数选择的是经验系数的最小值, 因此可以说明此时网格结构发生的是局部筋的屈曲而不是整体结构的屈曲, 从图9中也可以看到, 复合材料网格结构确实发生了局部筋的屈曲。当ke=0.6时, 局部屈曲法的计算结果小于两次实验的结果, 这就说明采用该值进行网格结构设计时, 结构是安全的。从表3中数据还可以得到:局部屈曲法的计算结果与实验测试值的相对误差仅为3.1%。因此, 利用整体屈曲法和局部屈曲法可以进行网格结构的设计, 并可以预测失稳模式。

4 结论

(1) 整体屈曲法和局部屈曲法可以用于复合材料网格结构的设计, 并且可以预测网格结构的失稳模式。

(2) 基于网格结构安全设计的考虑, 建议实验修正系数keo取0.3, 经验修正系数ke取0.6, 此时设计的网格结构偏于安全。

(3) 由于复合材料网格结构的设计参数众多, 而整体屈曲法和局部屈曲法本身可以用于复合材料网格结构的设计, 因此, 可以以整体屈曲法和局部屈曲法为理论基础对复合材料网格结构进行优化设计, 以达到降低设计和实验成本的目的。

参考文献

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[6]李华祥, 刘应华, 冯西桥, 等.确定复合材料宏观屈服准则的细观力学方法[J].固体力学学报, 2002, 23 (2) :133-140.

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材料的极限 篇2

极限的原始思想可追溯到古代.在中国, 公元前4世纪的公孙龙有“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”的提法, 古希腊欧多克斯提出“穷竭法”, 后来欧几里得、阿基米德等对面积、体积的研究, 都导向极限思想.

极限思想贯穿整个高等数学课程之中, 给定函数的极限的求法是极限思想的基础, 现总结其求法如下.

一、利用极限的四则运算性质求极限

对和、差、积、商形式的函数求极限, 自然会想到极限四则运算法 则 , 法则本身 很简单 , 但为了能 够使用这 些法则往往需要先对函数做某些恒等变形或化简, 而要采用怎样的变形和化简, 要根据具体的算式确定.常用的变 形或化简有 分式的约 分或通分 、分式的分 解、分子或 分母的有 理化三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式及适当的变量替换.

为叙述方便, 我们把自变量的某个变化过程略去不写, 用记号limf (x) 表示f (x) 在某个极限过程中的极限.

二、利用两个重要极限公式求极限

两个重要极限为e.使用它们求极限时 , 最重要的是对所给的函数或数列做适当变形, 使之具有相应的形式, 有时也可通过变量替换使问题简化.

三、利用夹逼准则求极限

夹逼准则:若一正整数N, 当n>N时, 有xn≤yn≤zn且

利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中, 通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{yn}和{zn}, 使得yn≤xn≤zn.

四、利用单调有界准则求极限

单调有界准则:单调有界数列必有极限, 而且极限唯一.

利用单调有界准则求极限, 关键是先证明数列的存在, 然后根据数列的通项递推公式求极限.

五、利用函数的连续性求极限

这种方法适用于求复合函数的极限.如果u=g (x) 在点x0连续g (x0) =u0, 而y=f (u) 在点x0连续, 那么复合函数y=f (g (x) ) 在点x0连续.即

六、利用无穷小量的性质求极限

无穷小量的性质: 无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量.如果, g (x) 在某区间 (x0-δ, x0) , (x0, x0+δ) 有界 , 那么

七、利用等价无穷小量代换求极限

等价无穷小量:当y/z→1时, 称y, z是等价无穷小量:记为y~z.在求极限过程中 , 往往可以对其中的无穷小量或它的主要部分做代换.但是, 不是乘除的情况不一定能这样做.

八、利用导数的定义求极限

导数的定义:函数f (x) 在x0附近有定义, 存在, 则此极限值就称函数f (x) 在点x0的导数 , 记为f′ (x0) . 即.在这种方法的运用过程中 , 首先要选好f (x) 然后把所求极限表示成f (x) 在定点x0的导数.

九、利用洛必达法则求极限

洛必达法则对不定式的极限而言, 是一种简便而又有效的方法, 但洛必达法则只能对0/0或∞/∞型才可直接使用, 其他待定型必须先化成这两种类型之一, 然后应用洛必达法则.洛必达法则只说明当limf′ (x) /g′ (x) 等于A时, 那么limf (x) /g (x) 也存在且等于A. 如果limf′ (x) /g′ (x) 不存在时, 并不能断定limf (x) /g (x) 也不存在, 只是这时不能用洛必达法则, 而必须用其他方法讨论limf (x) /g (x) .

使用时, 注意适当地化简、换元, 并与前面的其他方法结合使用, 可极大地简化运算.

十、利用麦克劳林展式或泰勒展式求极限

设函数f (x) 在x=0的某个邻域内有定义, 且f (n) (0) 存在 , 则对该邻域内任意点x有如下表示式成立

此式称为f (x) 的具有皮亚诺余项的n阶麦克劳林展式, 对某些较复杂的求极限问题, 可利用麦克劳林展式加以解决, 必须熟悉一些常用展式.

十一、利用定积分定义及性质求极限

若遇到某些求和式极限问题, 能够将其表示为某个可积函数的积分和, 就能用定积分求极限, 关键在于根据所给和式确定被积函数及积分区间.

十二、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是:若级数收敛, 则, 故对某些极限, 可将函数f (n) 作为级数的一般项, 只需证明此级数收敛, 便有

十三、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时, 求该数列的极限就成了求相应级数的和. 此时常可以辅助性地构造一个函数项级数 (通常为幂级数, 有时为Fourier级数) , 使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值.

十四、利用换元法求极限

当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时, 可采用换元的方法加以变形, 使之简化易求.

极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念, 是从近似认识精确, 从有限认识无限, 从量变认识质变的一种数学方法.同时, 极限是微分的理论基础, 研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限, 如连续、导数、定积分等, 由此可见极限的重要性.因而如何求极限, 怎样使求极限变得更容易显得尤为重要.

参考文献

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[2]彭舟主编.高等教育出版社分析同步辅导 (上下册) (第三版) .2005-8-1.

[3]张国昌主编.数学辅导与练习.中央广播电视大学出版社, 2003:88.

[4]蔡子华主编.2005年数学复习大全 (经济类) .现代出版社.

探索材料的极限 篇3

现在提到极简主义美学，通常人们会联想到斯堪的纳维亚半岛和日本的设计作品，而这种理念，已经成为了世界各地设计师广泛采用的设计语言。对于设计师安妮·波尼茨（ANNE BOENISCH）来说，实现美丽而朴素的设计，更像是在天然地继承着她的同胞，迪特尔·拉姆斯的衣钵，事实上她并没有刻意追求某种设计形体，在造型之外，她更热衷于材料的运用。安妮·波尼茨（ANNE BOENISCH）是一名年轻的德国的产品设计师，1980年生于柏林，毕业于波茨坦大学设计系，而在此之前，她曾经是一名木匠。她的大部分作品都含有强烈几何感的美丽形状和线条。在波茨坦大学学习期间，安妮与合伙人共同创立了“ERSTERERSTER”（德语意为“第一”）工作室，并且开始参加在米兰和柏林举行的各类展览。她的设计也曾在东京、首尔、台北等亚洲城市进行过展览。她的大部分作品是高品质、充满活力的日常用品和室内设计，同时具有实用性和造型魅力。安妮的作品曾获得多个奖项，并在2010年获得德国设计奖的提名。现在她居住在柏林，以一名独立设计师的身份进行工作。现在安妮已经可以把她自己的想法转换成产品，例如灯具、厨具、立柜和衣柜等。而她的想法往往来自于自己的日常生活中，比如她发现自己缺少一个淋浴房，那么就会马上动手来设计一个。对于安妮来说，设计很简单，就是计划、测试、动手制作然后不断改进。

或许是曾从事过木匠工作的原因，安妮很喜欢自己动手制作工艺品和设计产品，例如在给朋友录制磁带作为生日礼物时，她往往会自己手绘磁带的封面，并进行加工和包装。在波茨坦大学学习设计期间，她不仅学到了更多关于木材的用法和知识，同时也学到了如何运用其他材料，例如金属和塑料等。使用新的材料进行创作，已经逐渐成为了她最大的设计动力。在波茨坦大学时，有一门名为“金属”的设计课程，其中关于材料移动、重构的知识吸引了安妮，从此她开始了对设计中材料结构和运动进行的探索。利用发泡塑料自然产生的气泡、利用铝板和亚克力材质的结合、利用纺织材料的纹理……她不断探寻着在材料使用中的极限。

DESIGN：你作品的设计灵感通常来源于哪里？你想要通过自己的设计给用户带来怎样的体验？

ANNE BOENISCH：在我的作品中，每个产品都有它自己不同的故事和背景，而运动、旅行、好奇心、朋友、家庭、梦境这些都可能是我的灵感来源。例如折叠座椅这个项目，是我对运动元素进行研究的结果。而可移动、灵活性和多功能家具有着悠久的设计历史，它们打破传统、突破固定流程，带来新的表达方式，让环境从静态变成动态。这是一种非常有趣而且具有实验性的探索，能够产生很多新的设计思路。而这款座椅的功能性和触感能给用户带来探索的欲望，是一种富有乐趣的体验。

DESIGN：当你在进行设计时，考虑的首要因素或关键原则是什么？

ANNE BOENISCH：对于我来说，设计的结构、制造工艺、材料、所处位置等，都是我要考虑的因素，但归根结底，一个新的设计怎样改变人们的日常生活才是最关键的，从这个角度来说，设计是否具有情感、功能是否良好、是否有用是我最关心的原则。

DESIGN：在设计时，你是如何选择和使用材料的？

ANNE BOENISCH：我通常习惯使用各种金属、木材、纺织物进行设计。这些材料虽然都很常见，但是通过不同的制造工艺和表面处理，能够给产品带来完全不同的感觉。我喜欢用一些产品设计中不常见的材料，开发出它们新的用途，就象我的普利斯立柜和弗雷克发泡灯。我也喜欢运用不同材料的对比来体现设计的特质。

DESIGN：你在设计中遇到的最大挑战是什么？

ANNE BOENISCH：我在设计中遇到的最大挑战是如何维持设计最原初的概念和想法。在设计一个新产品之初，我往往很兴奋、很不安，但在设计结束时看到的产品，往往已经不是开始之初脑海里的模样。

DESIGN：你认为怎样才能做到设计与环境的和谐与友好？

ANNE BOENISCH：在我看来，设计具备功能性和实用性的产品是首要的，因为只有做到这一点，才能保证产品使用的持久性，也就同时实现了设计之于环境的可持续性。

DESIGN：在你看来什么是“好设计”？

ANNE BOENISCH：简洁清晰、聪明有趣、富有情感并且可持续的设计。

/布雷斯（BRACE）托盘/

这个设计是由两组不同型号的篮子和托盘组成的，用来盛装各种食品，例如面包、水果、蔬菜等。由不锈钢组成的几何结构像手镯一样，围绕在托盘的边缘，与底座结合起来形成富有张力的形态。产品有大、中、小三种规格，采用中密度纤维板和喷漆或抛光的不锈钢作为材料。

/弗雷克（FLAKE）发泡灯/

这是一款多面体泡沫灯，它是用EPS泡沫做成，这是一种热塑性材料，经过加热发泡以后，每立方米体积含有300至600万个独立密闭气泡。当开启灯光后，不规则体泡沫的气泡清晰可见，同时也勾勒出了多面体锋利的边缘线条。通常的发泡材料一般都应用在包装行业，而这款灯则为这种材料的使用开启了一个新的方向。

/卡拉特（KARAT）台灯/

这款台灯借鉴了结晶体的形状，采用不同几何形状的铝板进行拼接和折叠，按照模数数理逻辑进行设计，用透明亚克力材料作为铝板之间的连接过渡，台灯内部的光线可以通过亚克力缝线透出来，从而进一步强调了结晶体的造型。在铝板的内部一侧，采用了阳极镀金的技术，让台灯的光线变得温暖，与冷冰冰的外部金属漆面形成对比。整个台灯通过支柱安放在一个圆形基座之上。

/运动（MOTION）折叠桌椅/

这一系列设计包括一套可折叠的座椅和桌子，用不锈钢螺栓链接框架并承受重量。桌子和座椅都可以在垂直角度进行拉伸和压缩，在不用时可以挂在墙上，也能起到装饰作用。由于其便于储存和灵活性，它可以用在餐馆和酒吧中备用，在临时需要添加座椅时使用。产品采用不锈钢作为材料。

/普利斯（PLISSEE）立柜/

材料的极限 篇4

铁路常用材料Goodman疲劳极限线图的绘制与应用

介绍修正Goodman疲劳极限线图的.绘制和使用方法;给出指定存活率和置信度时,确定材料对称循环疲劳极限的5个步骤;说明我国铁路常用材料Goodman疲劳极限线图是通过先确定材料具有存活率、置信度双95%的对称循环疲劳极限后,借助修正Goodman疲劳极限线图的绘制方法,通过简单几何作图而得;针对我国铁路常用材料疲劳极限线图的试验绘制特点,提出了使用中应注意的问题和修正办法.

作 者：项彬 史建平郭灵彦 刘学文 刘淑华 林吉忠  作者单位：铁道科学研究院,金属及化学研究所,北京,100081 刊 名：中国铁道科学  ISTIC EI PKU英文刊名：CHINA RAILWAY SCIENCE 年，卷(期)： 23(4) 分类号：O346.2 关键词：疲劳   极限线图   绘制   应用  

函数极限的运算方法 篇5

1 通过变化整理直接运用定义法则求函数的极限

例1:

例2:

方法总结:a.消去“0”因子。

b.将“无穷大”变成“无穷小”

2 利用公式求函数的极限

例3:

例4:

方法总结:两个重要极限:

a.

b.

3 利用等价无穷小可互相代替的方法求极限

例5:

解:因为当x→0时, tan2x~2x, sin5x~5x,

所以

方法总结:求极限时, 分子分母的无穷小因子可用等价无穷小代替

4 利用洛必达法则求函数的极限

例6:

例7:

方法总结:将各种类型不定式化成或型未定式, 再用洛必达法则求值。

摘要：函数极限的运算在高等数学的基础中占据较重要的位置, 正确而熟练地掌握求极限的方法, 也是学好高等数学的重要因素之一。

关键词：极限运算法则、公式,两个重要极限,等价无穷小的互相替代,洛必达法则

参考文献

[1]张嘉林.高等数学[M].北京:中国农业出版社, 2002.

[2]惠淑荣.李喜霞.高等数学[M].北京:中国农业出版社, 2006.

探究极限概念教学的要点 篇6

1 要选取恰当的引例, 导入极限概念

极限思想在我国古代的文献中也有记载:庄周“一尺之椎, 日取其半, 万世不竭”, 就反映了一个无限、运动的过程。三国时期的数学家刘徽, 基于《庄子》的无限分割思想创立了“割圆术”, 他先做圆的内接正六边形, 并很容易地求得其面积, 再继续做正12边形、正24边形……, 并指出“割之弥细, 所失弥少。割之又割, 以至于不可割, 则与圆合体, 而无所失矣”。这就是极限的思想方法—─为了确定一个不能直接计算的量, 可先计算它的近似值, 而且是一连串越来越精确的近似值, 然后对这一连串近似值加以考查, 分析这一连串近似值的变化趋势, 以便把这个量确定下来。这也是一个从量变到质变的飞跃过程。

2 要深入剖析概念本质, 阐明极限思想

2.1 数列极限的概念

教师可以让学生通过理解庄子《天下篇》中的“一尺之棰, 日取其半, 万事不竭”的含义, 得到数列 (其中表示第n次“取”后的剩余) 。然后在数轴上作出相应的点, 让学生观察该无穷数列的随项数n的变化 (n∞→) 其相应点 (数列) 的变化, 即。进而透彻理解“无穷”、“无限接近”、“趋近于”等的含义及极限定义中“动”和“变”的思想。教学中应由具体到抽象, 举出典型的数列, 如:

引导学生观察以上数列{a n}, 随项数n的逐渐增大时, 对应项的值an的变化趋势, 不难看出两个数列随着项数n的无限增大, 数列中对应项项的值an分别接近常数0, 1, 即它们有一共同特征:当n无限地增大时, 数列的项an无限地趋近于某个常数A。由此概括出“数列极限”的定性描述:当n无限增大时, an无限接近一个实数A, 则称数列{an}以A为极限, 记作 (或n→∞时, an→A) 。

极限的定性描述虽然语言形象、直观, 容易理解, 但在教学中无法进行严谨的论证, 为此必须把定性描述上升为精确的定量描述。为了上升到精确定义, 还需要层层深入, 循序渐进, 逼近量化本质。首先对以上两个数列必须解决怎样刻化an与A的接近程度, 显然可用越小, an与A就越接近, 若可以任意小, 则an与A就无限接近, 当然这个接近不是孤立的, 是由项数n的无限增大来实现的。为此进一步抽象, 用任意给定的无论怎样小的正数ε代替具体的数, 得出一系列足够小的ε, 通过解等式:, 就会发现, 如果任意给定足够小的ε, 就能找到足够大的项数N。进而得出n>N时, 恒成立, 并且ε越小, 相应的N也就越大。也就是说, n越大, an与A的差距越小。n大于足够大的N时, 的值就小于足够小的ε。给出数列极限的定量描述, 并讲明数列的极限是数列本身所固有的特性。

满足对任意正数ε, 总能找到正整数N, 使n>N时, 恒成立, 就说A是{a n}的极限。

2.2 自变量趋近于无穷大时函数的极限

有一部分学生对数列极限定义和函数极限定义完全分开理解, 实际上, 应让学生明白, 为了讲函数极限的定义才给出了数列极限的定义, 而数列也是函数, 是函数的一种特例, 即数列中的项数n相当于函数中的自变量x, 只不过项数n只能取正整数, 而函数中的自变量x是“连续”变化的。这样就能使学生在正确理解数列极限定义的基础上, 加深对函数极限定义的理解。

当x→∞时, 函数f (x) 的极限, 此种情况与数列类似, 不同处在于n→∞, 是整序变量 (n只取等离散的正整数点变到+∞) , 而x, 1→∞, L时, 函数f (x) 的极限, 自变量x可以沿自变量轴的正方向或负方向连续地无限增大, 正因为如此, 此处的X不一定要求必是正整数, 仅要求X是个正数。

可以考查函数当自变量x的绝对值无限增大, 即趋向于无穷大 (记为x∞→) 时, 对应的函数值xf) (的变化趋势。结合图像引导学生分析得出结论:当自变量x的绝对值无限增大时, 对应的函值y无限接近于一个确定的常数0, 从而引出函数极限的描述性定义。

(1) 描述性定义:如果当x的绝对值无限增大 (即x→∞) 时, 函数f (x) 无限接近于一个确定的常数A, 那么A就叫做函数f (x) 当x→∞时的极限, 记为或当x→∞时, 函数f (x) →A。

(2) 精确化定义:如果对任意给定的正数ε (不论它多么小) , 总存在正数X, 使得对于适合不等式的一切x, 所对应的函数值f (x) 都满足不等式, 那么就称常数A为函数f (x) 当x→∞时的极限, 记为或当x→∞时, 函数f (x) →A。

在讲解精确化定义时, 结合函数, 给定ε的值, 比如令ε=0.0001, 取X=10000, 适合不等式的一切x, 所对应的函数值f (x) 都满足不等式;再令ε=.0000001, 取X=11000000000000, L, 说明不论ε多么小, 总是可以找到X满足不等式。

2.3 自变量x趋近于有限值时函数的极限

至于对于当x→xo时函数的极限, 可通过曲线上某点的切线的定义即由割线经过运动后两交点重合在一起时的直线来引入。这种从具体的例子开始的方式, 可以吸引学生的注意力, 容易使学生形成直观表象, 并引发想象, 同时为用“ε语言”叙述精确极限定义作好必要的准备。若再配上这几例课件的动画效果, 不但增加学生学习的趣味性, 还能突出极限的本质, 从而强化对极限概念的理解。“ε-Χ”和“ε-δ”语言的区别在于自变量Χ的变化趋势不同。前者适用于x→∞时的函数极限情形, 后者适用于x→xo时的函数极限情形。

要定量的刻画这一概念, 应首先借助数轴的直观, 明确x→xo指数轴上的动点x在运动过程中可以无限地接近于数轴上的定点x0, 也就是动点x在运动过程中与定点x0之间的距离可以任意的小, 用不等式就可以刻画为, 其中δ是任意正数。其次强调x所对应的函数值f (x) 也是数轴上的动点, 所谓f (x) →A就指动点f (x) 与定点A的距离可以任意小, 用不等式就刻画为, 其中ε是任意正数。随着差距无限变小, 差距可以要多小有多小, 一般说来正数δ表示x无限接近x0的一个数, δ与ε相对应, 不同的ε对应不同的δ。ε越小, 要求x与越接近, 因而δ也就越小, 所以可以把δ看成ε的函数。由于δ对应的ε可以无限变小, 故就表示x与x0无限接近。这时精确定义也就自然而然出来了, 即:对于任意给定的的正数ε (不论它多么小) , 总存在正数δ, 使得对于适合不等式的一切x对应的函数值f (x) 都满足不等式, 那么就称常数A是函数f (x) 当x→xo的极限, 记作

3 建立实践运用平台, 加深对定义的理解

对于繁难的概念, “先会后懂”是一条重要的规律, 在初步理解“ε语言”的基础上, 通过若干精选的例题的演练, 不仅能学会运用定义证明极限的技能技巧, 而且会加深对ε语言结构和ε, N, X, δ等量的理解, 在演练中既要让学生看到推理的全貌, 又要对定义中各量很难说清的关系通过实例加以领悟。如:

例1:用定义证明

例2:用极限定义证明

反思一下, 对于任意给定的ε>0, 要使, 这里很多学生就要问为什么不能由这是因为δ只能与ε有关, 而与变量x没有关系。

本例中找δ是将放大, 而很多例子并不一定全是放f大 (x, ) -要A视具体情况而定, 在教学过程中可以多找几个不同证明思路的例子让学生练习, 启发他们的思考, 更加深刻地理解极限定义。

极限概念是微积分学中的一个重要概念, 是学习微积分学的基础, 要掌握微积分, 就必须通过极限概念的“ε语言”这一难关。在教学中如何处理这一难点, 方法较多。本文提出的方法既有直观性, 学生易懂易学, 又有严密性。总而言之, 对于这个晦涩的概念, 教师在教学中本着深入浅出的原则, 尽量使用通俗易懂的语言, 用一些例子进行说明, 这样学生接受起来就容易多了。

摘要：函数极限的概念是学习高等数学首先遇到的第一个较难理解的概念, 要掌握微积分, 就必须通过极限概念的“ε语言”这一难关。对于这个晦涩的概念, 教学中应尽量使用通俗易懂的语言, 用一些例子进行说明, 这样学生接受起来就容易多了。

关键词：极限概念,数列极限,函数极限,ε语言

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (第3版) 上册[M].北京高等教育出版社, 2006.

[2]刘玉琏.数学分析讲义 (第3版) 上册[M].北京高等教育出版社, 2003.

浅谈极限运算的教学 篇7

一、利用极限四则运算法则求极限时必须强调是在极限存在的前提下进行的

由以往的教学实践来看, 学生在解题时往往不注意运算法则的前提, 以致发生错误. 例如求时, 学生往往错误地解成: 原式, 这里既产生了运算法则上的错误, 又产生了不定型运算上的错误, 因为当x→1 时, 的极限都不存在, 不符合极限运算法则的成立条件, 这里第一步发生了运算法则上的错误, 而第二步又发生了∞ - ∞ 不定型理解上的错误.

二、在求函数极限时既要注意函数的结构, 又要注意自变量的变化趋势, 对容易混淆的问题应注意加以比较

例如, 在讲二个重要极限时, 对于

对其极限过程和字母表示的意义要加以比较, 才能正确运用公式. 又如对于型问题, 学生往往不注意自变量的变化趋势而发生运算上的错误, 事实上由于自变量的变化趋势不同, 求极限的方法、结果也是不一样的. 所以在教学中应正确引导学生加以比较.

三、利用等价无穷小求极限必须注意的问题

利用等价无穷小求极限是一种很有效的方法, 在解题过程中它常常能起到化难为易、简化计算的作用. 这种方法的主要依据是等价无穷小代换原理, 即当x→x0时, α, β 为无穷小, 又 α' ~ α, β' ~ β, 且. 在应用该原理时要特别注意 α 与 α'、β 与 β'的等价性, 否则在计算过程中很容易出现错误.

例如在求时, 学生往往出现如下的错误解法:

解因当x→0时, tanx~x, sinx~x,

上述的错误原因在于学生没用考虑 α = tanx - sinx与α' = x - x≡0 的等价性. 事实上, 因为“0”是比任何其他无穷小都更高阶的无穷小, 因此这里的 α 与 α'并不是等价的, 所以在上述解题中作出的代换是不正确的. 上题的正确解法为:

那么在什么情况下才能对和、差进行等价代换呢? 或者如何保证和、差代换的正确性呢? 在此必须提醒同学正确的和、差等价无穷小代换有如下定理:

有了上述定理后, 教师就可以根据学生的具体情况给出下列习题作出讲解或练习的范例:

四、在求含有绝对值的极限时, 一定要学生重视以往学过的数学基本概念, 否则在解题时很容易出错

例如在求时, 学生常常错误地写成, 这里产生错误的原因就是忽视了绝对值的存在, 或者对绝对值的概念缺乏正确地理解, 对此在教学时老师一定要解释清楚, 以免学生在解题时发生类似的错误, 对于上题, 事实上

另外对于利用洛必塔法则求极限的教学, 则需要专门讨论, 这里就不叙述了.

摘要：在高等数学中, 极限运算的教学是最重要的教学内容之一, 笔者在教学实践中经常发现, 由于初学者对极限缺乏正确的认识, 因此在进行极限运算中常常出现错误, 为了帮助初学者正确掌握极限运算.本文根据电大的教学要求, 谈谈极限运算的教学.

关键词：高等数学,极限运算,极限教学

参考文献

[1]李林曙, 黎诣远.微积分[M].北京:高等教育出版社, 2005.7.

垂直极限的梦想 篇8

九国联合登山队

2012年7月，由尼泊尔一家探险公司发起并组织，来自中国、西班牙、法国、塞尔维亚、韩国、新加坡、伊朗、土耳其和尼泊尔共九个国家的登山者参加了此次攀登，其中中国队员三名，另有14名夏尔巴高山协作。八名外国登山者中，除了新加坡登山者邱瑞昭外，其余七人都曾和杨春风攀登过至少两座8000米以上的高峰。

途中除了一名队员和一名协作放弃登顶外，队伍中的23人全部登顶，并安全下撤到大本营，这也是近年来南坡集体登顶人数最多的一次。巴基斯坦登山管理机构给所有登顶队员颁发了荣誉证书。在这个登山季里，共有30人成功登顶，且无人员伤亡。

这支由九个国家组成的国际登山联队，实际上是一个松散的团队，并没有专门的登山领队。已经登顶过多座14座8000级山峰的杨春风，成了这个队伍实际的领导者和决策者。其他国际登山队队员听说了杨春风的行动计划后，也紧急出发，跨营地追赶他的队伍。而这种景象，在以往是颠倒的。也说明，杨春风在历经10年的攀登实践后，已经成长为受国内外登山者信赖和尊敬的一位经验丰富的登山领队。

而在登山大本营等待时机的时候，先后有三支来自国内的徒步探险队跟他们相遇，这让老杨和队友们都非常地开心和自豪。

凶险山峰乔戈里

乔戈里峰顶部是一个由北向南微微升起的冰坡，面积较大。北侧如同刀削斧劈，平均坡度达45°以上。从北侧大本营到顶峰，垂直高差竞达4700米，是世界上8000 米以上高峰垂直高差最大的山峰。北侧的冰川叫乔戈里冰川，地形复杂多变。冰川表面破碎，明暗冰裂缝纵横交错。冰川西侧山谷为陡峭岩壁，滚石、冰崩、雪崩频繁。这片地区不仅地形险恶，而且气候也十分恶劣，适于攀登的时段非常有限。

K2暴戾无常的脾气，与它的高度一样闻名于世。很多登山家认为，K2的几次著名的山难，多半因多变的恶劣天气造成的。有时往往是好几个优秀登山家的集体死亡。1986年K2登顶27人，死亡高达13人，其中绝大多数都是世界声名显赫的一流登山家，包括三个女性。但也正因如此，K2几乎成为世界范围内登山家们的终极目标。到现在，已有一千多人忍不住去攀登了它。登顶珠峰的登山者死亡率为1/29，而攀登K2的登山者死亡率则为1/7！K2无可争议地成为世界上死亡率最高的山峰之一。

杨春风说，K2的攀登难度是所有山峰中最大的。就像运动员都有参加奥运会、世界杯赛的梦想一样，攀登K2就是登山者心中的崇高梦想。早在2002年的时候，老杨就作为当时波兰K2探险队的联络官试攀过K2。当时波兰队在中国一侧反季节攀登，杨春风跟波兰队在山里待了近100天的时间。波兰队领队问他是否想尝试一下攀登，于是他欣然答应。

杨春风回忆说，当时国内还没有太像样儿的攀登装备，他自己的登山装备是不少山友给凑的，“最好的也不过就是双塑料高山靴而已”。而且当时他也没有8000米的攀登经验，所以连C1营地都没到就下来了，不过当时学到了很多整个攀登运作上的知识。“通过那次的学习，2003年，我组织的慕士塔格商业队获得了成功，13名队员全部登顶。”

2009年7月，杨春风从巴基斯坦一侧东南山脊开始攀登，他在巴基斯坦请了一名当地的高山协作。由于资金、天气等条件的限制，整个攀登周期三次上高营（C1以上），其中一次向C1运输物资，两次正式攀登，两次攀登都上到了C3营地（7400米），但也都因为天气原因最终被迫下撤。

杨春风说，他见过不少国外的登山牛人，都攀登过好几座8000米以上的高峰，但他们对于攀登K2都很谨慎，一般不会一支队伍独自行动，他们会在合适的时机邀请几支队伍一起攀登。因为K2的综合性难度太大了。

首先是天气。喀喇昆仑山脉的天气和喜马拉雅山脉不同，天气很不稳定，变化频繁，好天气周期很短，经常只有一天。所以在一次攀登周期中要尽可能地赶时间。“我的两次攀登都是直接从BC（5000米）上C2（6700米），一天1700米的海拔跨度，这让我的体力有些吃不消。”

然后是路线的难度。杨春风第一次攀登选择的是东南山脊的Abruzzi Spur（阿布鲁齐山脊）路线，大本营在海拔5000米左右，换冰爪的地方在海拔5350米。然后是C1（6100米）开始到C3（7400米）。这一段岩石路段很多，而且坡度大多在40度以上，很多地方需要借助金属梯，“在穿着冰爪的前提下过金属梯攀登起来很不舒服”。而且线路上的滚石特别多，攀登中常有石头带着呼啸声从你身边经过。

还有就是K2的高空风了。在大本营通过云团可以看到，晴天的时候K2的上空却很可能有很强劲的高空风。在K2的攀登上，几次著名的山难都因为那魔鬼般的高空风。

1902年，英国登山队首次攀登乔戈里以失败告终。以后的五十多年里，人类多次尝试也未成功。直到1954年7月31日，意大利登山队的日勒·拉切捷利和闷·康比奥氏两人，从巴基斯坦一侧沿东南山脊才开创首次登顶的纪录，费时近l00天。

1976年和1977年，中国登山协会曾两次组队进入乔戈里峰北侧进行路线侦察。

1982年8月4日,日本山岳协会乔戈里峰登山队首次从北坡沿北山脊登顶。之后，又有意大利、日本横滨山岳协会登山队、美国登山队等，先后从中国一侧成功登顶了乔戈里峰。

2004年春夏之际，共有来自世界各地的15支队伍集结到K2脚下，这些登山队分别从南北两侧攀登乔戈里峰，西藏登山队是最后冲顶时间最短、一次登顶人数最多而且没有出现任何伤亡的队伍，创造了世界上惟一一支以团体组织形式登上14座8000米以上高峰的新纪录。

到目前，已有逾千人攀登了它，只有约300人登顶，66人死亡，死亡率非常高。著名的登山电影《垂直极限》也正是以攀登K2作为故事的背景。

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滑坠，生死一瞬间

队员张京川登顶后，与三个夏尔巴协作结组下撤，登顶后的喜悦挂在每一个人的脸上。张京川和队友轻松地边走边聊。谁也没有意识到，一场危险的生死决斗即将上演。

也许是连日修路、运输和开道耗尽了体力，走在最前面一位夏尔巴突然脚下一滑人滑了出去，和张京川在同一结组绳上的四个人瞬间向下滑坠，一眨眼就滑出去了400米。

张京川脑子一片空白，心想“这次肯定玩完了”。因为打着结绳，而且每个人滑坠的速度都不一样，杨春风形容当时的状况“一片混乱”，“根本无法实施紧急制动”。

滑坠中，坠落的夏尔巴向导反复地砸到张京川的身上，他整个人在急速的坠落中无规则翻着跟头，“足足翻了二三十个跟头”。队员们随身携带的氧气瓶、头灯、墨镜、冰镐等在空中天女散花般撒了下去，“落满了整个山坡”。最恐怖的是，滑坠的队员当时都穿着冰爪。在翻落过程中，脚上的冰爪很容易砸在其他队员的身上，队员之间互相碰撞和伤害着。张京川的身上被冰镐砸中了好几个地方。所幸，并不是致命伤。

另一名中国队员饶剑锋回忆，他正和张京川招呼说话呢，几秒钟工夫，就不见了队友。张京川和夏尔巴协作，“像一团影子一样从我面前瞬间晃没了”，当时，没有人认为结组的四名队员集体滑坠后能活着回来。

也在向顶峰冲击的法国队员阿布里斯，亲眼目睹了四人滑坠的过程，脸色顿时阴郁，“心情简直糟透了”，登顶成功后他毫无心思庆祝，直到返回到C4。

滑坠中的张京川多次用右手用力向冰面打冰镐想紧急制动，但都没能成功。有一次，他差点把冰镐打到旁边的夏尔巴协作身上，幸亏这名夏尔巴急速地转到了旁边。自救无望的张京川，只能等待最后的结果。

然而，接踵而至的两道冰裂缝，带来了生的转机。前面的两名夏尔巴协作掉进了第一道冰裂缝。后面坠落下来的两个人，凭借着巨大的惯性，将冰裂缝里的两人又拽了出来。在这过程中，滑坠的速度被缓冲了。第二道冰裂缝也有效减缓了滑坠的速度，他们终于停在了一处距离顶峰500米的坡面上。滑坠下来的四个人中，只有张京川一人留住了 冰镐。靠这把冰镐，四个人花了近一个小时，从冰雪坡上横切了二百多米，才回到了正常的下撤线路上。在这过程中，今年1月份杨春风带领张京川在四姑娘山专门训练的一系列自救技术，可真是派上了用场，包括在没有绳索的情况下如何倒攀。而“死而复生”后的夏尔巴协作，惊吓之余全都掩面哭了起来。

整个过程中，张京川几乎全凭求生的本能发挥作用。而高度的惊吓甚至压倒了丢了氧气瓶后缺氧的不适感。

穿越瓶颈 触摸巅峰

夏尔巴人素来享有“大山之子”的美誉，他们终年伴着高山生活。因而体貌特征十分独特：夏尔巴人的肺活量大得惊人，被西方人评价为长着专门用于登山的第三片肺叶；他们的血压很低，保证了大脑供血充足；他们的躯干偏长，肌肉伸缩有力。这些特征，成就了夏尔巴人以登山向导为职业的明显优势。夏尔巴人冒着生命危险，开山修路，运送物资，架设全长达7000米至8000米的路绳，一定程度上保障了登山队员的安全。

这次的14名夏尔巴高山协作中，只有两人攀登过K2。全世界范围内，至今只有不到10位夏尔巴人攀登过K2。这座有着“招魂”之名的险峰，令许多夏尔巴人望而生畏。在杨春风的印象中，夏尔巴人对一些难度较小的山峰，服务是非常到位的，开拓线路轻车熟路，经常是全部把路修好了等着登山者上来。但面对K2，夏尔巴人显然不够强大。

根据专业气象信息，杨春风判断7月底8月初将有一个冲顶的好天气周期，于是在7月26日晚召集夏尔巴协作开会，明确提出要利用7月30日至8月1日的好天气冲顶。之前老杨曾要求夏尔巴人用三周时间修通到C3营地的路，并把所有登山物资运送到那里。夏尔巴人当时表示没有问题。

然而，预定的三周过去了，夏尔巴人并没有很好地完成任务，路只修到了C2至C3之间。一方面，天气情况不好，连续下了两三次大雪，雪一停又是连续的大风天气。雪齐腰深，风很大，行动困难，种种因素导致夏尔巴修路的进度缓慢。国际联队走走停停，一边爬一边等待修路进展，常常一等一个多小时。没有按期打通道路，很可能要错过这个难得的天气窗口，杨春风为此十分焦虑，甚至冲协作们发了火。

7月30日晚，国际联队的所有成员终于全部赶到了突击营地C4。波兰队、捷克队的登山人员也紧跟而上到达了这个位置准备跟着杨春风的队伍一起冲顶。

除了刮风下雪等天气因素，随时可能从天而降的滚石和冰块，也令人恐惧。有一次，杨春风在帐篷里做饭，一块从高空飞落的坠石击穿两层帐篷砸到了他的后脑上，吓得他之后在帐篷里都戴着安全帽。

K2最难攀登的是那段著名的“瓶颈”地段。“瓶颈”位于海拔8000米到8200米的地方。别看只有200米的高度，但这里有一道垂直90度的岩石槽，槽的上方有一大块冰舌，冰舌上方随时有碎石和冰块滚落下来。2005年，一支国外登山队通过这个地段时，一块巨大的冰块从上方的冰塔分离，沿冰谷滑下，击中正在这里的登山者，造成九名登山者死亡，三人失踪。

杨春风第一个通过瓶颈，其他队员在后面等着。岩石槽很窄，一次只能一个人通过。岩壁很滑，冰镐不受力，脚下打滑，但杨春风还是爬了出去。而张京川则没那么幸运了，他被一块一公斤左右的坚硬岩石击中，胸部右侧被砸伤。

原以为通过了危险的“瓶颈”后面的路就好走了，没想到8200米到8400米的大雪坡走了整整五个小时。雪坡很陡，近50度，雪踩上去很松软，深及大腿，行进艰难。最要命的是，夏尔巴人修路修到8400米的时候没绳子了！所带的绳索全部用在了“瓶颈”那一段的修路上。杨春风调集了两名经验丰富的夏尔巴协作在前面开路，他自己紧跟而上，三人结组，老杨一鼓作气，最先抵达顶峰。他掏出烟和国旗，对着镜头，灿烂微笑……

数列极限的定义 篇9

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义



1n

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN 就

有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任

意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

Xupeisen110高中数学

记为：limana 读法：“”趋向于“n” n无限增大时

n

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

例四1．lim

n

证明

证明2：设是任意给定的小正数

要使3n13 只要

2n1

12n1





n

54



取N51当nN时，3n13恒成立

高等数学中的极限计算 篇10

1.利用极限四则运算法则和函数连续性理论计算极限

极限四则运算法则和函数连续性理论是极限计算的基础, 简单的极限计算可利用四则运算法则和函数连续性理论直接求得.

2.恒等变换法

对不满足极限四则运算法则条件的函数, 可通过恒等变换, 使其符合条件后再利用极限四则运算法则求之.主要的变换方法包括分解因式、约分和通分、分子分母有理化、三角变换等.

例1 求极限undefined

undefined

3.运用两个重要极限求极限

两个重要极限:

undefined

例2 求undefined

解undefined,

令undefined,

则undefined

4.利用等价无穷小的替换求极限

例3 求undefined

undefined

undefined

注意 只有对所求极限式中相乘或相除的因式可以用等价无穷小的替换, 而极限式中相加或相减部分不能随意替换.

5.利用洛必达法则求极限

洛必达法则是计算未定式极限的基本方法.undefined和undefined型的未定式可直接利用洛必达法则求极限, 而其他类型的未定式都可设法转化为undefined或undefined型的未定式.

undefined

6.利用麦克劳林公式求极限

例5 求极限undefined

分析 本题若直接用洛必达法则也能计算, 但必须要用六次洛必达法则, 而且导数越求越复杂.用公式就会方便得多.

undefined

7.计算极限的其他方法

(1) 利用无穷小的性质; (2) 夹逼准则; (3) 利用定积分的定义计算极限; (4) 利用级数收敛计算极限; (5) 利用单调有界定理计算极限.

注意对于n项求和的数列极限问题, 一般考虑用夹逼准则或定积分定义计算, 本题应用了夹逼准则.

求极限时, 要根据所求极限表达式的特点选用相应的方法, 对于较复杂的极限要尽量先化简, 常用的化简方法主要有:部分乘积因式的极限为非零常数时立即运用极限乘法法则提出, 等价无穷小的替换.

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学.高等教育出版社, 2002.

[2]彭辉.高等数学同步辅导 (同济5版) .新华出版社, 2004.