数列求和的常见方法七篇

数列求和的常见方法 篇1

类型1: 直接用等差数列或等比数列的求和公式求和

例1求和

分析数列1,a,a2,a3,…,an - 1的通项公式为an=an - 1,因此数列是等比数列,用等比数列求和方法求之.

相关试题: 已知数列7,77,…,777…7( n个7) ,求sn.

类型2: 若数列{ an} 是等差数列或等比数列,{ bn} 是等差数列或等比数列,求{ an±bn} 的前n项和sn. ( 用重新分组法)

例2已知数列,求 sn.

分析数列1,2,3,…,n是等差数列,数列是等比数列,求和时用重新分组法.

类型3: 若数列的通项公式,求其前n项和. ( 用裂项相消法)

例3已知数列的通项公式,求 sn.

分析数列的 通项公式具有的特点求其前n项和用裂项相消法.

相关试题: 设数列{ an} 是等差数列且an≠0,求和

类型4: 若数列{ an} 是等差数列,{ bn} 是等比数列,求数列{ cn} 的前n项和. ( 其中cn= an·bn,用错位相减法)

分析数列1,3,5,…,2n - 1是等差数列,是等比数列,因此求和用错位相减法.

类型5: 在数列{ an} 中,若,…具有相同的特点,求数列{ an} 的前n项和. ( 用倒序相加法)

摘要：数列求和在高考中具有极其重要的地位,是高考必考内容之一,而数列的求和主要看数列的通项公式的特点,数列的通项公式具有什么样的特点数列的求和就有相应的方法.

数列求和的常见方法 篇2

一、裂项相消法

这种方法是将数列的通项公式分成两个式子的代数和, 即an=f (n+1) -f (n) , 然后累加抵消掉中间的许多项, 这种先裂后消的方法叫裂项求和法.用裂项求和, 需要掌握一些常见的裂项, 如:等.

例1求和:

分析本题是属于直接给出前n项和的式子来求和的题型.解这种类型的题目首先要从这个数列的通项公式也就是第n项即入手开始求解.

评析 此题所采用的求和方法是裂项法求和, 这种方法适用的求和题目很单一, 即在数列的各项都是分数的前提下把各项都分裂成两项甚至更多项, 而且各项分裂的项加在一起, 中间的一些项要能够消去才行.还有一点需要注意的是:在裂项相消时, 前面剩下几项, 对应的后面也会剩下相同数目的项.

二、错位相减法

对一个由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列的前n项和, 常用错位相减法.如:an=bncn, 其中{bn}是等差数列, {cn}是等比数列.

记Sn=b1c1+b2c2+……+bncn,

则q Sn=b1c2+b2c3+…+bn-1cn+bncn+1,

其中q为等比数列{cn}的公比.要求Sn, 只需把上两式相减, 然后错位相减即可.推导等比数列的前n项和公式时采用了这种求和方法.

例2求数列x, 2x2, 3x3, …, nxn (x为常数) 的前n项和.

分析 观察本题各项可知, 本数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列, 故可采用错位相减法解答.但本题中的x是一个不定的常数, 且作为等比数列的公比, 故对x的值须分x=1和x≠1讨论.

解设前n项和为Sn, 则

(2) 当x≠1时,

两式相减得:

评析 本例是错位相减的最典型的例题.应用“错位相减”时写出“Sn”与“q Sn”的表达式, 特别注意将两式“同项对齐”, 以便于下一步准确写出“Sn-q Sn”的表达式.乘公比错位相减法是数列求和的重要方法之一, 但这种方法运算过程复杂, 运算量大.所以应加强对运算能力的培养.

三、拆项求和法

在这类方法中, 我们先研究其通项公式, 通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式, 再代入公式求和.

例3 求数列7, 77, 777, …的前n项和Sn.

分析 此数列既不是等差数列也不是等比数列, 我们应先归纳出其通项公式, 可转化为一个等比数列和一个常数列, 分别求和再相加.

总之, 数列求和的方法有很多种, 本文只是罗列了学习中常见的几种方法, 对于每一种方法, 我们都要掌握其实质, 不能只靠生搬硬套.若不然, 对于一些稍微有点变化的题目, 就会感觉没有头绪, 无从下手.

参考文献

[1]人教版数学必修5.

差比型数列的五种求和方法 篇3

题目:(2014年四川高考理科题)设等差数列{an}的公差为d，点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).

(1)若a1=-2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn;

(2)若a1=1，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在轴上的截距为的前n项和Tn.

(1)略;

解法1:(错位相减法)因为

数列求和,依题而择 篇4

例1求下列各式的和:(1)Sn=1+3+5+…+(2n-5);(2)Sn=1+a+a2+…+an.

分析:对于(1)可直接利用等差数列求和公式计算,但要注意项数问题;(2)中要注意需要对参数a进行讨论.

点评:运用等差或等比数列的求和公式时,应注意以下几点:①具体项数,如例1题中都不能认为是前n项的和;②对于等比数列要注意对公比q是不是为1进行判断;③含参数时要注意讨论,不能直接利用公式求解.

策略二分组转化法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成,则求和时可根据数列的项的特征,把数列的每一项拆分为若干项,或把数列的项重新组合,或把整个数列分成几部分使其转化为等差数列、等比数列,然后由等差、等比数列的求和公式求解.

分析:数列{an}的通项公式是一个分段函数,奇数项构成一个等差数列,偶数项构成一等比数列,不能直接利用公式求和,因为从整体上看,数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列,但可以按奇数项、偶数项分成两组,转化为等差、等比数列求和.又由于an是奇数项还是偶数项不确定,可以按n为奇数或偶数分类表示.

点评:若数列{cn}的通项公式为cn=an+bn,其中{an},{bn}中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时,一般利用分组结合法.把数列的每一项都写成通项形式,然后根据不同数列的特点进行分类求和.抓住通项公式的特征是运用分组转化法的关键.

策略三裂项求和法

2),求数列的前n项的和Sn.

分析:观察所给数列{an}的通项,关系特征不明显,进而想对其进行整理分解探究.

点评:裂项法的实质是将数列中的每项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.求和时,要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,即末被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.

策略四错位相减法

例4求和:Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1.

分析:由题意可知,{(2n-1)xn-1}的通项是等差数列(2n-1)的通项与等比数列{xn-1}的通项之积,特征很明显,故考虑用错位相减法求解.

解:因为Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1①,设x Sn=1x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn②,①-②,得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-(2n-1)xn.

六门绝技在手数列求和无忧 篇5

数列的前n项和是历年高考的必考内容, 也是各地模拟考试的“常青树”, 它以题目形式灵活多样、解法精妙在数列中占有重要地位.许多同学由于对这类题“不懂章法”, 陷入思维混乱的状态, 兜了一大圈子仍空手而归.本文以近两年的高考题与模拟题为例, 揭秘求数列的前n项和的六种技巧, 希望同学们面对数列求和问题时能做到有的放矢, 化解自如.

1.饮水思源——公式法

公式法是指运用等差数列与等比数列的前n项和公式求数列的前n项和的方法.公式法是数列求和的最基本、最重要的方法.

2.移花接木——错位相减法

3.因果轮回——倒序相加法

倒序相加法是指已知数列特征是“与首末两端等距离的两项之和相等”, 先把数列求和的式子倒过来写, 然后对两个求和的式子进行相加, 即可求出该数列的前n项和的方法.这种题型虽不多见, 但也需掌握其求解思路.

【攻略秘籍】破解此类试题的关键:需观察数列的特点, 观察数列前后是否具有“对称性”, 若首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数, 则采用倒序相加法求这个数列的前n项和.

4.借石攻玉——裂项相消法

裂项相消法是指把数列的通项公式拆成两项之差, 求和时正负项相消, 只剩下首末若干项 (剩下的项前后位置是对称的) , 达到化简求和目的的方法.用裂项相消法求数列的前n项和的题型在近年高考中常考常新, 应给予关注.

5.中间桥梁——分组求和法

分组求和法是指将一个数列分成若干个简单数列 (如等差数列、等比数列、常数列等) , 然后分别利用等差 (比) 数列的前n项和公式进行求和的方法.

【攻略秘籍】破解此类试题的关键:一是熟练应用数列的前n项和与第n项的关系式, 求数列的通项公式, 同时注意检验是否符合通项;二是观察数列的通项公式的特征, 若其是由若干个等差数列或等比数列或可求其和的数列通项公式组成, 则求和时可用分组求和法, 把数列分成几个可以直接求和的数列;三是会用公式法求和, 对分成的各组的数列的求和, 观察其特点, 经常可采用等差数列或等比数列的前n项和公式求其和.

6.条分缕析——分段讨论法

分段讨论法是指将一个数列分成若干段数列, 然后各段分别利用等差 (比) 数列的前n项和公式、错位相减法等进行求和的方法.常见类型:一是数列的通项公式中含有绝对值符号;二是数列通项公式中含有因子“ (-1) n”.

【攻略秘籍】运用分类讨论法求数列的前n项和的突破口:一是对分类讨论的“度”的把握, 如本题, 因各项前的符号总是以“”、“+”号交叉形式出现, 因此分类的“度”定位到“n分为奇数与偶数”.若遇到含绝对值号的数列, 则其分类的“度”需在零点处下功夫.二是分类标准的确定, 即对各类分法应做到不重不漏, 解题的思路就能顺畅, 问题的解决便可水到渠成.

由以上几例可以看出, 解数列求和问题的关键在于用“慧眼”去找寻“题眼”, 用心灵去感受题意中的数列特征, 科学合理地推理运算.因此, “求和问题”不一定是“难 题”, 只要夯实基础, 掌握好以上六技, 以不变应万变才是我们取胜的法宝.

等差数列求和公式的 篇6

问题2：1+2+3+…+n=?

在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡

设 =1+2+3+…+n ,又有 = + + +…+1

= + + +…+ ，得 =

问题3：等差数列 = ？

学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到 = = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q

问题4：还有新的方法吗？

（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则 = +（ ）++…+[ ]

= = （这里应用了问题2的结论）

问题5： = = ？

学生容易从问题4中得到联想： = = 。显然，这又是一个等差数列的求和公式。

等差数列求和教案 篇7

教学目标

1.掌握等差数列前

项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前

项和公式（1）了解等差数列前

推导的过程，记忆公式的两种形式；

（2）用方程思想认识等差数列前 公式与前

项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；

（3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学建议（1）知识结构

本节内容是等差数列前 前

项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．（2）重点、难点分析

教学重点是等差数列前

项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．

推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 变用公式、前 项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．

高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．（3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前 式综合运用.②前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.项和公

③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.④补充等差数列前

项和的最大值、最小值问题.项和公式.⑤用梯形面积公式记忆等差数列前

等差数列的前教学目标

1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式教学设计示例

项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点 教学重点是等差数列的前 教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讲授法.项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学过程 一.新课引入

提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是（板书）“ ”

这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，„，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？ 二.讲解新课（板书）等差数列前 1.公式推导（板书）项和公式

问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二： 上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两

式左右分别相加，得，于是有：.这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是

.于是得到了两个公式（投影片）： 和.2.公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前 等差数列前 项和的两个公式.项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着

3.公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；

（2）（结果用 表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列 中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 三.小结

1.推导等差数列前 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.项和公式的思路；