T-S系统三篇

T-S系统 篇1

故障树分析方法是对复杂系统进行可靠性分析的一种有效工具,得到了广泛应用[1],然而,二态和概率假设以及布尔逻辑门的不足使传统故障树分析在复杂系统可靠性分析中的应用受到了限制。T-S模糊模型具有处理多态和不确定信息的优点。Song等[2]提出了T-S模糊故障树分析算法,解决了系统多态性和事件间故障联系不确定性的问题[2,3]。文献[4]在验证T-S模糊故障树分析算法可行性的基础上,证实了传统逻辑门只是T-S门的一种特例,T-S模糊故障树更为一般化和精确化,并将传统二态和多态部件重要度分析方法推广到T-S模糊故障树中,首次针对T-S模糊故障树提出了T-S重要度概念及其计算方法。然而,利用T-S模糊故障树进行计算分析时,只能根据T-S模糊故障树的结构从底事件向上逐个计算上级事件发生的可能性,直到顶事件。这种方法难免会产生大量的计算,且不能进行双向推理,不便于在工程应用中推广应用。

贝叶斯网络(Bayesian networks,BN)不仅能够描述系统的多态性及事件间逻辑关系的不确定性,还可以进行双向推理,在可靠性、故障诊断等领域得到了成功应用[5,6]。针对系统建立故障树,将故障树转化为BN,利用BN推理进行可靠性分析计算,是目前基于BN的可靠性分析的主要研究成果[7,8,9,10,11]。Khakzad等[7]、Wilson等[8]研究了传统二态故障树向BN转化的过程和方法,周忠宝等[9]、王广彦等[10]利用传统多态故障树转化而来的BN对系统进行可靠性分析,尹晓伟等[11]研究了应用BN方法建立二态和多态系统可靠性模型的方法。

上述研究都是基于传统故障树的BN转化和分析方法,受到传统故障树的一些局限性限制,例如事件间的故障联系需精确已知等。为此,本文用T-S模糊故障树替代传统故障树,研究利用T-S模糊故障树转化为BN的方法,以期使BN建造更贴近工程实际;结合BN推理给出系统可靠性、底事件重要度及后验概率的计算方法,解决T-S模糊故障树分析运算复杂、不能双向推理的问题,以期弥补已有可靠性分析方法的不足;最后,利用这些方法对900t提梁机液压驱动系统进行可靠性分析。

1 基于T-S模糊故障树的BN建造方法

与传统故障树相比,T-S模糊故障树可以更好地表达事件的多态性、模糊性与故障逻辑关系的不确定性[2]。T-S模糊故障树容易建造,但难以接受和处理新信息,而BN可以通过调整有向无环图结构和条件概率表参数对新的样本进行重新学习,适合于表达更为复杂的、故障机理不确定的系统,但难以建造。因此,研究T-S模糊故障树向BN的转化方法可以有效地解决T-S模糊故障树与BN的不足。

BN为一个带有条件概率表的有向无环图,由节点和有向边构成,每个节点代表一个变量,有向边用于连接节点,定性地表示变量间的关联关系;条件概率表由不同情况下的条件概率组合而成,定量地描述变量间的关联关系。

T-S模糊故障树向BN转化的过程主要分为两个步骤:确定BN的有向无环图结构;确定BN的条件概率表参数。

(1)将T-S模糊故障树转化为有向无环图。首先,将T-S模糊故障树中的每个事件与BN的节点一一对应,即底事件对应根节点,中间事件对应中间节点,顶事件对应叶节点。如果T-S模糊故障树中存在多个相同的事件,则在BN中只需建立一个节点。然后,以输入事件为父节点、输出事件为子节点,用有向边分别连接BN中对应的节点。图1所示为T-S模糊故障树转化为BN的有向无环图的过程。

(2)将T-S门的规则转化为BN中对应节点的条件概率表。T-S门的规则满足条件概率以及独立性,所以T-S门的规则与BN的条件概率表具有相似性,可利用T-S门的规则对BN对应节点的条件概率表进行赋值。T-S模糊故障树用模糊数表示事件的不同状态,因此,首先按照T-S模糊故障树中事件的不同状态扩充对应节点的状态空间,然后根据T-S门的规则确定BN中对应节点的条件概率表。

假设某T-S门的输入事件为x1,x2,…,xn,输出事件为y,故障状态分别描述为模糊数,其中,is=1,2,…,ks,s=1,2,…,n;iy=1,2,…,ky。则T-S门的规则l(l=1,2,…,r)如表1所示,r为规则总数且r=k1k2…kn。

根据表1可确定BN中对应节点y的条件概率表为

由上述给出的T-S模糊故障树向BN转化的方法可以看出,多态系统都可以描述为一个BN,这保证了系统可靠性模型的完整性和一致性。

2 基于BN的T-S模糊故障树和重要度算法

2.1 顶事件发生概率

根据BN的联合概率分布和正向推理算法,可由底事件的发生概率直接计算顶事件的发生概率。

假设节点x1,x2,…,xn对应于T-S模糊故障树所有的底事件和中间事件,则顶事件T故障状态为Tq的发生概率为

除此之外,通过BN还可求得底事件xj(j=1,2,…,n)故障状态为的条件下顶事件T故障状态为Tq的条件概率为

式(2)从可靠性角度反映了底事件故障对系统故障的影响程度。

2.2 事件后验概率

利用求出的顶事件发生概率以及贝叶斯公式进行反向推理,能够得到事件的后验概率。

在顶事件T故障状态为Tq的条件下底事件xj故障状态为的后验概率为

式(3)从故障诊断角度反映了系统故障后底事件修正的故障概率,通过事件后验概率可以对系统的可靠性情况有进一步的了解。

2.3 底事件重要度

重要度描述了底事件发生故障时对顶事件的影响程度,在系统设计、故障预测与诊断等方面有着广泛的应用。

多态系统中底事件的重要度是底事件处于不同故障状态下的重要度的综合评价。利用BN推理算法和文献[4]给出的重要度算法,给出基于BN推理的概率重要度和关键重要度计算公式。

2.3.1 概率重要度

定义1底事件xj故障状态为xj(ij)时关于顶事件T故障状态为Tq的概率重要度为

其中,P(T=Tq|xj=0)表示在底事件xj故障状态为0的条件下系统顶事件T故障状态为Tq的发生概率,那么可以理解为在底事件xj故障状态为的单独条件下引起系统顶事件T故障状态为Tq的发生概率。和P(T=Tq|xj=0)的值可利用式(2)得到。

定义2底事件xj关于顶事件T故障状态为Tq的概率重要度为

式中,kj为底事件xj故障状态的个数。

2.3.2 关键重要度

定义3底事件xj故障状态为时关于顶事件T故障状态为Tq的关键重要度为

定义4底事件xj关于顶事件T故障状态为Tq的关键重要度为

由式(5)和式(7)可以看出,综合底事件所有故障状态的重要度即可得到底事件相应的重要度。

2.4 与T-S模糊故障树算例对比

以文献[4]中的T-S模糊故障树算例进行对比分析,将T-S模糊故障树规则表转化为BN模型,如图2所示。

2.4.1 顶事件发生概率

利用式(1)可求得顶事件y2的发生概率为

计算结果与文献[4]T-S模糊故障树方法的计算结果相同,表明利用BN可以计算T-S模糊故障树顶事件的发生概率。

2.4.2 底事件重要度

(1)概率重要度。根据式(4)可求得底事件x1故障状态为0.5对顶事件y2故障状态为0.5的概率重要度为

同理可得各底事件故障状态为0.5和1的概率重要度分别为

由底事件x1故障状态为0.5和1对顶事件y2故障状态为0.5的概率重要度,根据式(5)得到底事件x1对顶事件y2故障状态为0.5的概率重要度为

同理可得各底事件的概率重要度分别为

(2)关键重要度。根据式(6)可求得底事件x1故障状态为0.5对顶事件y2故障状态为0.5的关键重要度为

同理可得各底事件故障状态为0.5和1的关键重要度分别为

由底事件x1故障状态为0.5和1对顶事件y2故障状态为0.5的关键重要度,根据式(7)得到底事件x1对顶事件y2故障状态为0.5的关键重要度为

同理可得各底事件的关键重要度分别为

上述结果与文献[4]结果相同,表明利用BN可以计算T-S模糊故障树的底事件重要度。

可见,利用BN正向推理可以替代T-S模糊故障树相关运算,且公式表达清晰,利于编程计算;利用BN反向推理能够得出底事件的后验概率,这是T-S模糊故障树方法所不具备的。

3 多态液压系统可靠性分析

图3所示的某型900t双导梁轮胎式提梁机是实现高铁桥梁建设中预制箱梁转场、装载的一种门式起重机,采用了全液压驱动,具有系统结构简单、传递效率高、输出转速无级调速等优点[12]。

液压驱动系统是由变量柱塞泵和液压马达组成的容积调速系统,通过调节变量柱塞泵或液压马达来调节马达的转速,从而控制提梁机的行走速度。

液压驱动系统的可靠性与提梁机的正常工作有着直接的关系,为此,建立以提梁机液压驱动系统故障为顶事件的T-S模糊故障树,如图4所示。

假设所有事件的故障状态可分为无故障、轻度故障、完全故障三种状态,分别用0、0.5、1来表示,T-S门规则见表2~表4。

依照第1节给出的T-S模糊故障树转化为BN的方法,将图4所示的T-S模糊故障树转化为BN的有向无环图,并根据表2~表4的T-S门规则表可得到BN对应节点的条件概率表,进而得到提梁机液压驱动系统的BN模型,BN有向无环图见图5。

假设底事件x1~x8故障状态为1的故障率(10-6/h)分别为0.1、7.5、3.5、0.8、1.2、11.0、10.0、5.7,且底事件x1~x8故障状态为0.5的故障率与为1的故障率相同,则根据式(1)与表2~表4得到液压驱动系统出现各种故障状态的发生概率分别为

利用式(4)得到底事件x1故障状态为0.5时关于顶事件T故障状态为0.5的概率重要度为

同理可得各底事件故障状态为0.5或1时关于顶事件T故障状态为0.5或1的概率重要度,如表5所示。

由底事件x1故障状态为0.5和1时关于顶事件T故障状态为0.5概率重要度,利用式(5)得到底事件x1关于顶事件T故障状态为0.5的概率重要度为

同理可得各底事件关于顶事件T故障状态为0.5或1的概率重要度,如表6所示。

利用式(6)得到底事件x1故障状态为0.5时关于顶事件T故障状态为0.5的关键重要度为

同理可得各底事件关于顶事件T故障状态为0.5或1的T-S关键重要度,如表7所示。

由底事件x1故障状态为0.5和1时关于顶事件T故障状态为0.5关键重要度,利用式(7)得到底事件x1关于顶事件T故障状态为0.5的关键重要度为

同理可得各底事件关于顶事件T故障状态为0.5或1的关键重要度,如表8所示。

通过底事件的关键重要度可识别系统的薄弱环节,提高关键重要度大的底事件的可靠性对系统可靠性的提高更为明显。为了降低顶事件发生概率,有必要对x2、x5、x6等进行重点检查,规范安装调试流程,如控制油液污染、确保连接可靠、不能遗漏密封圈等。

利用BN反向推理可求得在已知顶事件发生的条件下底事件发生的后验概率,进而可以根据各底事件后验概率大小进行故障诊断。图6、图7分别为顶事件T故障状态为0.5、1时,各底事件后验概率的对比直方图。

在故障诊断时,依据顶事件呈现出故障状态的不同,按照对应的各底事件后验概率由大到小的顺序检测相应的底事件。

利用BN的正反向推理结合,可进行可靠性工程实践中的“可靠性预测及设计→故障分析及诊断→可靠性分析及评估”这一技术路线。

4 结论

(1)将T-S模糊故障树和BN进行互补与融合,提出了基于T-S模糊故障树的BN建造方法,它是基于传统故障树的BN建造方法的拓展与补充;提出了基于BN推理的T-S模糊故障树顶事件发生概率、事件后验概率以及底事件重要度的计算方法,解决了T-S模糊故障树运算繁琐、不能双向推理的不足,有助于T-S模糊故障树的发展与应用。

(2)基于T-S模糊故障树与BN的可靠性分析方法,省去了传统故障树单独处理的不交化计算过程和最小割集的求解。通过正向推理,可由底事件的发生概率直接计算顶事件的发生概率和底事件的重要度,无须逐步计算逻辑门或T-S门输出事件的发生概率,简化了计算过程。通过反向推理,可计算出在系统故障的条件下任意一个节点变量故障的后验概率,较T-S模糊故障树分析能够得到更加丰富的信息,更适用于复杂系统的可靠性分析。

(3)通过与T-S模糊故障树算例对比,结合900t提梁机液压驱动系统可靠性分析,计算出顶事件发生概率、事件后验概率以及底事件重要度,验证了该方法应用于多态液压系统可靠性分析的可行性和有效性。

摘要：为解决T-S模糊故障树分析方法在液压系统可靠性分析过程中运算复杂和只能单向推理的问题,提出一种基于T-S模糊故障树与贝叶斯网络的多态系统可靠性分析方法。根据给出的T-S模糊故障树向贝叶斯网络转化的方法确定贝叶斯网络的模型结构与条件概率表,利用贝叶斯网络的推理算法计算顶事件发生概率、事件后验概率以及底事件重要度。该方法既能进行计算系统可靠性指标及重要度的前向推理,又能进行故障诊断的反向推理,而且计算公式简单。最后通过900t提梁机液压驱动系统工程实例验证了算法的可行性与有效性。

关键词：多态,液压系统,可靠性分析,T-S模糊故障树,贝叶斯网络

参考文献

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T-S系统 篇2

烧结过程是高炉炼铁的重要环节,其产品烧结矿是高炉炼铁的主要原料。烧结终点(BTP)是混合料层烧透时对应的风箱位置,它是判断烧结过程正常与否以及烧结矿质量好坏的标志之一[1]。烧结终点位置受混合料的透气性、风箱负压、料层厚度、点火温度等多个因素的影响,很难用准确的数学模型来描述。同时,烧结过程存在严重的滞后现象,必须对烧结终点进行预测。因此,一方面确定控制系统需要检测哪些参数以及相关的仪表,另一方面研究烧结终点的控制方法对于提高烧结矿的质量和产量具有重要意义。

T-S模型是一种典型的动态系统模糊模型[2],该类模型依据输入输出关系间是否存在局部线性关系进行划分,使得全局输出具有良好的数学表达特性,使模糊模型转化为线性时变系统。而预测控制的核心是利用过去及现在的系统信息,预测到系统未来的输出变化,随着自适应研究的发展,为了增加自适应控制系统的鲁棒性,在广义最小方差控制的基础上,吸取了预测控制的滚动优化策略,提出了广义预测控制[3]。因此,将模糊控制和预测控制技术相结合适用于具有大量不确定信息[4]的烧结过程终点的控制。

本文在研究了烧结工艺的基础上确定了烧结终点子系统的部分参数选型,并针对烧结过程的时滞、非线性、不确定等特性,提出了基于T-S模型的烧结终点广义预测自适应控制方法。首先,建立烧结终点与台车速度的分段线性化关系,得到烧结终点的T-S全局模型。在此基础上进行广义预测控制器的设计,为了克服如混合料透气性、风箱负压等多个参数未知或时变对烧结终点造成的影响,在广义预测控制算法中引进了自适应控制算法,并加入了模糊补偿策略,进一步提高了系统的鲁棒性。

2 烧结工艺和检测仪表分析

2.1烧结工艺描述

烧结过程有多道程序,主要包括:配料、混合制粒、布料、点火、烧结、破碎、筛分、冷却和整粒。首先,将各原矿石按要求配成烧结原料,加水蒸气经混合制粒得到水分及粒度均匀的烧结混合料,经由梭式布料机,圆辊给料机和九辊布料器将其均匀地铺在烧结机上,点火并在主抽风机产生的负压作用下自上而下烧结,最终固结成成分适宜、具有一定强度和空隙度的烧结块,通过控制台车速度,使得台车到达机尾时烧结完毕。烧结块料经两级破碎后,大小合适的烧结块料作为原料进入熔炼过程,大小不适合的烧结块料破碎后作为返矿,重新进入配料过程。具体流程如图1所示。

2.2烧结生产过程特性

烧结过程是一个复杂的物化反应过程,是一个典型的具有非线性、时变性、滞后性的系统[5]。烧结过程发生着错综复杂的物理化学变化,影响烧结过程的参数很多,如混合料水分,点火温度,燃料浓度,混合料温度,料层高度,料层透气性等,参数之间存在着非线性,影响烧结终点的因素中如料层的透气性,混合料的温度等都时刻变化着,存在着不确定性,因此很难建立很精确的数学模型[6]。烧结生产从配料,混合造球制粒,布料,点火烧结形成烧结矿,这个过程大约需要1 h。而成品烧结矿再经过破碎、冷却和筛分又得大约需要1 h。化验烧结矿的强度,转鼓指数等大约需要2 h。这一系列的过程决定了烧结作业具有大滞后的特性。

烧结终点反映物料燃烧状况,主要是由混合料垂直烧结速度和台车的速度共同决定,但垂直烧结速度无法直接测量,同时垂直烧结速度与透气性、炉料的物理性质、化学成分、点火温度、进风量及气体成分等因素有关,存在严重的不确定性[7]。因此,烧结终点的控制主要通过调节台车速度实现,即调节主传动电机变频器值,生产中圆辊给料机、烧结机、环冷机和板式给矿机是采用4机联调的,所以不宜对烧结机速度进行频繁改变。实际烧结生产过程中,大多依据工人的经验来调节烧结机速度,这使得烧结终点控制因每人的判断经验不同而产生不同的控制效果,也加大了工人的劳动强度。因此,本文根据上述特性提出了基于T-S模糊模型的烧结终点广义预测自适应控制,有效地克服了如混合料透气性、风箱负压等多个参数未知或时变对烧结终点造成的影响,进一步提高了系统的鲁棒性。

2.3烧结终点子系统检测仪表

检测项的确定和检测仪表的选择对于系统的基础自动化级是非常重要的,因此合理的选取检测仪表,以及检测的准确度,对于控制系统的安全可靠运行以及控制效果的好坏有重要的影响。烧结是一个生产环境比较恶劣的场合,因此对仪表要具有耐高温抗干扰的要求。

这里共有20个风箱,分别在1#,2#,3#,4#,6#,8#,10#,12#,14#,16#,18#,19#,20#风箱南北侧各装铠装K型镍铬-镍硅热电偶测温,差压变送器,压力变送器,测风箱负压检测风箱温度和负压。若机头风箱负压过大会使很多冷风进入风箱,导致点火温度降低;若机头风箱负压太小会浪费热量,因此为了控制好点火炉炉膛的压力,需要在机头1#,2#,3#,4#风箱安装电动蝶阀(电动执行机构)来调节机头风箱风量,并且需要在1#和2#风箱管道左右侧装设单只式侧管流量计检测空气流量,通过流量来计算阀门开度进而调节阀门开度大小,从而保持点火炉炉膛压力稳定在烧结生产需要的范围之内。此外为了调节最后3个风箱风量需要在最后3个风箱也装设电动蝶阀。为便于工人在主控室里能直接看到烧结饼状况,判断工况,还需要装设断面图像分析仪,其由一块CCD摄像机、图像采集卡、微型计算机组成。CCD摄像机装设于烧结机机尾,微型计算机装在主控室内。

3 烧结终点的广义预测自适应控制

3.1T-S模糊模型结构与辨识

选取某烧结厂95组烧结机的历史数据组成建模样本集A,根据烧结反应的特点,可将样本划分为3个聚类,对应于垂直燃烧速度的很慢、适中和很快,建立的T-S局部模型如下:

Ri∶if(φj,yj)∈Ai

$\text{t}\text{h}\text{e}\text{n}y{}^i=\underset{j=0}{\overset{9}{{\displaystyle \text{Σ}}}}g{}_{j‚i}\phi {}_j(k)$ (1)

式中:Ri表示第i条模糊规则,i=1,2,3;Ai表示第j组样本,Ai=(φj,yj);φj包含10个变量,其中φj(0)～ φj(4)分别对应为烧结终点BTP(j)～BTP(j-4),φj(5)～φj(9)分别对应为台车速度u(j)～u(j-4);yj为模型输出,即BTP(j+1);yi为第i个局部子模型输出,g0,1,…,g9,i为第i个聚类通过最小二乘法辨识得到的参数。

将局部模型按隶属度进行模糊加权求和,权值取样本数据与聚类中心的模糊隶属度,得到烧结终点的全局模型输出$\widehat{y}$为

$\widehat{y}=\underset{i=1}{\overset{3}{{\displaystyle \text{Σ}}}}y{}^{i}u{}_i/\underset{i=1}{\overset{3}{{\displaystyle \text{Σ}}}}u{}_i$ (2)

式中:$\widehat{y}$为全局模型输出;ui为样本数据与聚类中心的隶属度。

ui由下式给出:

$u{}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \text{Π}}}}A{}_i^j(x{}_i)$ (3)

式中:Π是模糊算子,通常取极小或乘积运算。

参数辨识是T-S模糊模型的重要组成部分,前提部分参数可采用模糊聚类[8],局部线性模型树(LOLIMOT)方法等[9],本文采用模糊C均值方法来确定模糊系统的规则数以及三角型隶属度函数的中心和宽度,则$\underset{i=1}{\overset{3}{{\displaystyle \text{Σ}}}}u{}_i$恒为1。结论部分参数采用正交最小二乘法来辨识,可得到烧结终点全局模型如下:

$\begin{array}{l}\text{B}\text{Τ}\text{Ρ}(k+1)=\underset{i=1}{\overset{3}{{\displaystyle \text{Σ}}}}g{}_{0,i}\text{B}\text{Τ}\text{Ρ}(k)+\cdots +g{}_{4,i}(k-4)+\\ g{}_{5,i}u(k)+\cdots +g{}_{9,i}u(k-4)(4)\end{array}$

即烧结终点的输出可由烧结终点和台车速度的当前值和历史值的线性化方程给出。

3.2烧结终点建模及广义自适应预测控制策略

上面我们已经得到了烧结终点线性化的全局模型,这里采用广义预测(GPC)对系统进行控制。系统控制框图如图2所示。

式(4)经过推导可得到CARIMA模型[10]如下:

A(z-1)y(t)=B(z-1)u(t-1)+C(z-1)ξ(t)/Δ (5)

式中:y(t)为烧结终点位置;u(t)为台车速度;ξ(t)为零均值的白噪声序列;A(z-1),B(z-1),C(z-1)为后移算子z-1的多项式。

采用性能指标函数如下:

$\begin{array}{l}J=\underset{j={\rm N}{}_0}{\overset{{\rm N}{}_1}{{\displaystyle \text{Σ}}}}[y(t+j)-y{}_r(t+j)]{}^2\times \\ \underset{j=1}{\overset{{\rm N}{}_u}{{\displaystyle \text{Σ}}}}\lambda (j)[\text{Δ}u(t+j-1)]{}^2(6)\end{array}$

式中:Δu(t+j)=0,j=Nu,…,N1,表示在Nu步后控制量不再变化;N0为最大预测时域;Nu为控制时域;λ(j)为控制加权序列。

输出参考序列设定为yr(t+j)(j=1,2,…),为使当前时刻的输出y(t)尽可能平稳地达到设定值yr,选用如下的一阶滤波方程:

yr(t)=yr(t)yr(t+j)

=ayr(t+j-1)+(1-a)yr (7)

式中:a为柔化因子,0≤a<1。

则根据滚动优化和反馈矫正原理,令PT=[p1,p2,…,pN]为矩阵(GTG+λI)-1GT的第1行,则广义预测控制规律可写成如下形式:

Δu(t)=PT[yr-WTHX]Fy(t)-HΔu(t-1)]

=P(z-1)yr(t+N1)-a(z-1)y(t)-

β(z-1)Δu(t-1)

u(t)=u(t-1)+Δu(t) (8)

其中 Δu(t)=[Δu(t),…,Δu(t+Nu-1)]

PT=[p1,…,pN1]

P(z-1)=pN1+pN1z-1+…+p1z-N1+1

FT=[F1,…,FN1] HT=[H1,…,HN]

$\mathit{G}=\left[\begin{array}{cccc}g{}_0& & & 0\\ g{}_1& g{}_0& & \\ ⋮& & & \\ g{}_{{\rm N}{}_u-1}& g{}_{{\rm N}{}_u-2}& \cdots & g{}_0\\ ⋮& & & \\ g{}_{{\rm N}{}_1-1}& g{}_{{\rm N}{}_1-2}& \cdots & g{}_{{\rm N}{}_1-{\rm N}{}_u}\end{array}\right]$

考虑到被控对象参数未知或慢时变导致模型失配,加入自适应控制算法,即取具有遗忘因子的递推最小二乘法[3],将式(3)简记为

$\mathit{y}{}^k=\underset{i=0}{\overset{9}{{\displaystyle \text{Σ}}}}\mathit{f}{}_{ik}\mathit{\theta }$ (9)

式中:fik=[f1k,f2k,…,frk];θ=[θ1,θ2,…,θr]T,r为被辨识的参数个数,r=10×3。

采用下式在线估计出A(z-1)和B(z-1)的系数,然后利用参数估计值代替真实值进行控制规律的推导。

$\widehat{\theta }(t)=\widehat{\theta }(t-1)+\frac{\mathit{{\rm P}}(t-2)\mathit{X}(t-1)\epsilon (t)}{\rho +\mathit{X}(t-1){}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}(t-2)\mathit{X}(t-1)}(10)$

$\mathit{{\rm P}}(t-1)=\frac{1}{\rho }[\mathit{{\rm P}}(t-2)-\frac{\mathit{{\rm P}}(t-2)\mathit{X}(t-1)\mathit{X}(t-1){}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}(t-2)}{\rho +\mathit{X}(t-1){}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}(t-2)\mathit{X}(t-1)}](11)$

式中:ρ为遗忘因子;P(t-1)为任意正定矩阵。

3.3采用模糊补偿作为在线的修正策略

本文在预测控制器中加入模糊补偿作为在线修正策略,增加了系统的自适应机制。模糊控制的原理如图3所示。

其中模糊控制器是关键部分,主要部件是模糊化、知识库、模糊推理、清晰化。这里将烧结终点预测值与终点的理想设定值的偏差e和偏差变化率ec作为输入,台车速度控制量u作为输出,构成二维模糊补偿控制器。

偏差e的基本论域为[-1,+1],标准论域为[-6,+6],量化因子为ke=6,偏差变化率ec的基本论域为[-0.3,+0.3],标准论域为[-6,+6],量化因子为kec=20,控制量u的基本论域为[-0.15,+0.15],标准论域为[-6,+6],比例因子ku=0.025。输入输出变量的隶属度函数取三角形,各有7个模糊子集,由模糊控制理论得到49条规则的模糊规则表见表1。通过模糊推理和单点模糊化得到模糊控制查询表见表2。

将表2中的清晰量经过尺度变换由标准论域到基本论域上去,通过重心解模糊求出模糊补偿量uf,将uf与广义自适应预测控制中的控制量u相加,作为过程输出总控制量。系统将其作为提供给变频器的部分控制量输入信号,进而通过变频器来实现控制主传动电机转速的目的,即达到了控制烧结终点的目的。具体控制算法如下:

1)根据控制对象制定出3条模糊规则;

2)根据输入输出数据,利用模糊C-均值聚类方法辨识T-S模型的前提参数,利用正交的最小二乘法辨识模型的后件参数;

3)给定参数估计算法中的遗忘因子ρ、正定矩阵P(-1)和初始值$\widehat{\theta }(0)$。利用式(10)在线估计出$\widehat{\theta }(t)$代替θ(t);

4)给定预测时域N1、控制时域Nu和加权常数λ。计算矩阵$\widehat{\mathit{G}}$及PT。由式(8)求解控制量u(t);

5)计算e(t+d)和ec(t+d),由模糊控制器得到模糊补偿量uf;

6)总控制量为uM=u+uf;

7)k=k+1,返回第3步。

4 仿真结果及分析

本文中烧结机采用300 m2带式烧结机,其有效烧结面积为300 m2,有效烧结长度75 m,共有台车128个,风箱20个,采用双侧吸风方式,头尾星轮中心距 89.6 m。传动方式采用2台22 kW的电动机驱动,采用1台变频器以一拖二的方式变频调速,台车速度1.7～5.1 m/min。理想烧结终点位置应为18#附近,也就是67～78 m的位置。烧结机正常利用系数为1.736 1 t/(m2·h),年产烧结矿450万t。烧结系统为连续工作制,年工作8 640 h,年作业率为98.63%。

4.1建模仿真结果

通过对该烧结厂某月份95组历史数据进行相关分析,对基于T-S模型的烧结终点广义预测自适应控制进行仿真研究。首先对输入数据进行归一化处理,按模糊C-均值对输入进行聚类,划分为3个模糊集,模糊模型隶属度函数取三角形,通过正交最小二乘法辨识系统的后件参数。 图4为T-S模型的建模输出;图5为T-S模型的建模输出误差。建模误差在0.25%内,辨识精度较高。

4.2控制仿真结果

加入广义预测控制,使系统跟踪方波,图6是没有加入在线补偿机制的模糊预测控制输出,图7是加入了自适应机制的模糊预测控制输出。从中可以看出加入模糊补偿后响应时间快,超调量小,控制效果比较理想。

5 结论

本文针对铁矿石的烧结过程具有时滞、非线性、不确定等特性,在研究了烧结工艺和烧结终点子系统的部分参数选型的基础上,提出一种基于T-S模糊模型的烧结终点的预测控制方法。通过仿真结果可以看出该方法对烧结终点这样的非线性系统可以实现有效的控制,具有一定的实用性。

摘要：针对铁矿石的烧结过程具有时滞、非线性、不确定等特性,在研究了烧结工艺和烧结终点子系统的部分参数选型的基础上提出一种基于T-S(Takagi Sugeno)模糊模型的烧结终点的预测控制方法。首先,根据烧结终点和台车速度之间的动态非线性化关系,建立烧结终点的T-S模糊模型;然后,在此基础上进行广义预测控制器的设计;最后加入了模糊补偿控制,以实现对烧结终点的自适应控制。利用某烧结厂产生的历史数据对该方法进行仿真实验,结果表明该方法具有较高的辨识精度,超调量小,控制时间短,方法有效。

关键词：烧结终点,Takagi Sugeno模糊模型,广义预测控制,模糊补偿

参考文献

[1]范晓慧,王海东,李桃,等.烧结生产自动控制新技术(下)[J].烧结球团,2002,27(2):21-24.

[2]刑宗义,胡维礼,贾利民.基于T-S模型的模糊预测控制研究[J].控制与决策,2005,20(5):495-499.

[3]王伟.广义预测控制理论及应用[M].北京:北京科学出版社,1998.

[4]罗坚,王玲.PLC模糊预测在热泵空调变流量系统中的应用[J].电气传动,2010,40(5):53-55.

[5]吴敏,廖环宇,曹卫华,等.烧结过程智能优化控制方法及应用(上)[J].冶金自动化,2010,34(2):6-7.

[6]孙学波,屈文涛.基于RBF神经网络的烧结终点预测模型[J].世界科技研究与发展,2008,30(1):21-23.

[7]甘晖.烧结终点预测的应用研究[J].安徽工业大学学报:自然科学版,2010,27(3):299-304.

[8]Miyamoto S.Fuzzy Sets in Information Retrieval and Clus-ter Analysis[M].Boston:Kluwer Academic Publishers,1990.

[9]Martin Fischer,Oliver Nelles,Rolf Isermann.Predictive ControlBased on Local Linear Fuzzy Model[J].International Journal ofSystems Science,1998,29(7):679-697.

T-S系统 篇3

欠驱动机器人是指独立控制输入少于系统自由度的机器人[1],对欠驱动机械臂而言,则是指某个或某些关节没有驱动装置,即关节是被动的,也称自由的。欠驱动机器人由于驱动器的减少而具有质量轻、成本低、能耗低等众多优点,因此成为机器人研究领域的新热点[2]。

欠驱动机器人的研究问题包括平衡流形控制、PTP控制、多臂协调操作,甚至其他更复杂的机器人工作任务。为了使欠驱动机器人能像全驱动机器人一样实现各种灵活的操作,人们基于不同的分析工具和方法,对这类非完整系统进行了深入的研究并提出了多种控制方案(如PID控制、自适应控制[3]、滑模变结构控制[2]、智能控制[1]、鲁棒控制[3]等),实现了对某些欠驱动机器人的有效控制。

自T-S模糊建模方法提出以来,基于模糊模型的控制方法已经成为解决某些非线性问题的强有力工具[4,5,6,7]。该建模方法通过IF-THEN规则将非线性系统描述为若干个线性子系统的动态组合,先针对线性子系统单独设计满足一定性能的控制器,然后在并行分布补偿[8](parallel distributed compensation,PDC)设计框架下构建全局控制器,用线性系统理论去分析并解决非线性系统的控制问题。近年来,系统的非脆弱性成为人们感兴趣的课题[9,10,11,12]。现有文献多考虑的是线性系统的非脆弱控制问题,对非线性机器人系统的非脆弱控制问题研究较少。

本文研究欠驱动机器人系统的非脆弱保性能H∞控制问题。利用LMI(linear matrix inequality)方法[13],给出模糊非脆弱保性能H∞控制器存在的充分条件,并证明了闭环系统的稳定性。最后用实例仿真验证了本方法的有效性。

1 欠驱动机器人动力学模型变换

机器人完整的动力学模型描述为

$\mathit{{\rm M}}(\mathit{q})\ddot{{\displaystyle \mathit{q}}}+\mathit{C}(\mathit{q},\dot{\mathit{q}})+\mathit{G}(\mathit{q})=\mathit{\Gamma }$ (1)

式中,M(q)∈Rn×n为对称正定惯性矩阵;$\mathit{C}(\mathit{q},\dot{\mathit{q}})\in \mathbf{R}{}^n$为向心力和哥氏力作用项;G(q)∈Rn为重力作用项;Γ∈Rn为力矩输入项;q、$\dot{\mathit{q}}$、$\ddot{{\displaystyle \mathit{q}}}$分别为关节的位置向量、速度向量和加速度向量。

欠驱动机器人的动力学模型可以用以下分块形式表示

式中,下标a和o分别表示主动关节和被动关节。

由式(2)的第2行得

$\ddot{{\displaystyle \mathit{q}}}{}_{\text{a}}=-\mathit{{\rm M}}{}_{\text{o}\text{a}}^{-1}(\mathit{{\rm M}}{}_{\text{o}\text{o}}\ddot{{\displaystyle \mathit{q}}}{}_{\text{o}}+\mathit{C}{}_{\text{o}}(\mathit{q},\dot{\mathit{q}})+\mathit{G}{}_{\text{o}}(\mathit{q}))$ (3)

将式(3)代入式(2)的第1行得

$\begin{array}{l}\ddot{{\displaystyle \mathit{q}}}{}_{\text{o}}=(\mathit{{\rm M}}{}_{\text{a}\text{o}}-\mathit{{\rm M}}{}_{\text{a}\text{a}}\mathit{{\rm M}}{}_{\text{o}\text{a}}^{-1}\mathit{{\rm M}}{}_{\text{o}\text{o}}){}^{-1}\{\mathit{\Gamma }{}_{\text{a}}+\mathit{{\rm M}}{}_{\text{a}\text{a}}\mathit{{\rm M}}{}_{\text{o}\text{a}}^{-1}(\mathit{C}{}_{\text{o}}(\mathit{q},\dot{\mathit{q}})+\\ \mathit{G}{}_{\text{o}}(\mathit{q}))-\mathit{C}{}_{\text{a}}(\mathit{q},\dot{\mathit{q}})-\mathit{G}{}_{\text{a}}(\mathit{q})\}(4)\end{array}$

由式(4)可知,适当选取主动关节控制输入Γa,就可以通过动力学耦合作用控制被动关节到设定角度。在此采用PD型计算力矩控制,控制律表示为

$\begin{array}{l}\mathit{\Gamma }{}_{\text{a}}=(\mathit{{\rm M}}{}_{\text{a}\text{o}}-\mathit{{\rm M}}{}_{\text{a}\text{a}}\mathit{{\rm M}}{}_{\text{o}\text{a}}^{-1}\mathit{{\rm M}}{}_{\text{o}\text{o}})(\ddot{{\displaystyle \mathit{q}}}{}_{\text{o}\text{d}}-\mathit{k}{}_{\text{v}}\dot{\mathit{e}}{}_{\text{o}}-\mathit{k}{}_{\text{p}}\mathit{e}{}_{\text{o}})-\\ \mathit{{\rm M}}{}_{\text{a}\text{a}}\mathit{{\rm M}}{}_{\text{o}\text{a}}^{-1}[\mathit{C}{}_{\text{o}}(\mathit{q},\dot{\mathit{q}})+\mathit{G}{}_{\text{o}}(\mathit{q})]+\mathit{C}{}_{\text{a}}(\mathit{q},\dot{\mathit{q}})+\mathit{G}{}_{\text{a}}(\mathit{q})(5)\end{array}$

式中,kv、kp分别为恒定对角正定比例矩阵和微分增益矩阵;e为位置误差,eo=qo-qod;qod为关节期望位置。

将式(5)代入式(4)得误差方程:

$\ddot{{\displaystyle \mathit{e}}}{}_{\text{o}}+\mathit{k}{}_{\text{v}}\dot{\mathit{e}}{}_{\text{o}}+\mathit{k}{}_{\text{p}}\mathit{e}{}_{\text{o}}=0$ (6)

式(6)表明如果适当选择反馈增益矩阵kv、kp,位置误差可以渐近收敛到零,即可以实现被动关节的位置跟踪控制。

当被动关节到达期望位置时,锁定被动关节,系统的动力学模型(式(2))转化为

$\mathit{{\rm M}}{}_{\text{a}}(\mathit{q})\ddot{{\displaystyle \mathit{q}}}{}_{\text{a}}+\mathit{C}{}_{\text{a}}(\mathit{q},\dot{\mathit{q}})+\mathit{G}{}_{\text{a}}(\mathit{q})=\mathit{\Gamma }{}_{\text{a}}$ (7)

2 非脆弱保性能H∞控制器的设计

2.1 T-S模型的建立

系统(式(7))的T-S模糊模型描述如下:

Ri:if z1(t) is Ni1 and … and zl(t) is Nil

$\text{t}\text{h}\text{e}\text{n}\dot{\mathit{X}}{}_1=(\mathit{A}{}_i+\text{Δ}\mathit{A}{}_i)\mathit{X}{}_1+(\mathit{b}{}_i+\text{Δ}\mathit{b}{}_i)\mathit{\Gamma }{}_{\text{a}}(8)$

i=1,2,…,r

式中,Nij为模糊集合,j=1,2,…,l;$\mathit{X}{}_1=[\mathit{q}{}_{\text{o}}^{\text{Τ}}\mathit{q}{}_{\text{a}}^{\text{Τ}}\dot{\mathit{q}}{}_{\text{a}}^{\text{Τ}}]{}^{\text{Τ}}$为系统的状态;zj(t)为已知的前件变量;r为模型规则数;Ai和bi为适当维数的已知常数矩阵;ΔAi和Δbi表示系统的不确定性。

对所有的i,用中心平均法解模糊,可得系统模型:

$\begin{array}{l}\dot{\mathit{X}}{}_1=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^r\mu }{}_i[\mathit{z}(t)][(\mathit{A}{}_i+\Delta \mathit{A}{}_i)\mathit{X}{}_1+(\mathit{b}{}_i+\Delta \mathit{b}{}_i)\mathit{\Gamma }{}_{\text{a}}(t)]}{{\displaystyle \sum _{i=1}^r\mu }{}_i[\mathit{z}(t)]}=\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^{r}h}{}_i[\mathit{z}(t)][(\mathit{A}{}_i+\text{Δ}\mathit{A}{}_i)\mathit{X}{}_1+(\mathit{b}{}_i+\text{Δ}\mathit{b}{}_i)\mathit{\Gamma }{}_{\text{a}}(t)](9)\end{array}$

$\mu {}_i[\mathit{z}(t)]={\displaystyle \prod _{j=1}^l{\rm N}}{}_{ij}[z{}_j(t)]$

$h{}_i[\mathit{z}(t)]=\mu {}_i[\mathit{z}(t)]/{\displaystyle \sum _{i=1}^r\mu }{}_i[\mathit{z}(t)]$

z(t)=(z1(t),z2(t),…,zl(t))

式中,z(t)为向量,其中的元素为已知的前件变量;Nij[zj(t)]为zj(t)对于Nij的隶属度,并且$h{}_i[\mathit{z}(t)]\ge 0‚{\displaystyle \sum _{i=1}^{r}h}{}_i[\mathit{z}(t)]=1$。

取$\mathit{X}=\left[\begin{array}{ccc}\mathit{e}{}_{\text{o}}^{\text{Τ}}& \mathit{e}{}_{\text{a}}^{\text{Τ}}& \dot{\mathit{e}}{}_{\text{a}}^{\text{Τ}}\end{array}\right]{}^{\text{Τ}}‚\mathit{Q}{}_{\text{d}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathit{q}{}_{\text{o}\text{d}}^{\text{Τ}}& \mathit{q}{}_{\text{a}\text{d}}^{\text{Τ}}& 0\end{array}\right]{}^{\text{Τ}}$容易看出

X1=X+Qd (10)

将式(10)代入式(9)得

$\begin{array}{l}\dot{\mathit{X}}={\displaystyle \sum _{i=1}^{r}h}{}_i[\mathit{z}(t)][(\mathit{A}{}_i+\text{Δ}\mathit{A}{}_i)(\mathit{X}+\mathit{Q}{}_{\text{d}})+\\ (\mathit{b}{}_i+\text{Δ}\mathit{b}{}_i)\mathit{\Gamma }{}_{\text{a}}(t)](11)\end{array}$

假定式(11)中的ΔAi和Δbi有界,且满足如下约束条件$\left[\begin{array}{cc}\text{Δ}\mathit{A}{}_i& \text{Δ}\mathit{b}{}_i\end{array}\right]=\mathit{D}{}_i\mathit{F}{}_{1i}\left[\begin{array}{cc}\mathit{E}{}_{1i}& \mathit{E}{}_{2i}\end{array}\right]‚\mathit{F}{}_{1i}^{\text{Τ}}\mathit{F}{}_{1i}-\mathit{{\rm I}}\le 0$(文中,矩阵后的符号“>0、<0、≥0、≤0”分别表示矩阵正定、负定、非负定、非正定),其中,Di、E1i、E2i为反映系统不确定性结构的矩阵;F1i为具有Lebesgue可测元素的未知矩阵。将(Ai+ΔAi)Qd看作系统扰动ω,则系统模型可写为

$\dot{\mathit{X}}={\displaystyle \sum _{i=1}^{r}h}{}_i[\mathit{z}(t)][(\mathit{A}{}_i+\text{Δ}\mathit{A}{}_i)\mathit{X}+(\mathit{b}{}_i+\text{Δ}\mathit{b}{}_i)\mathit{\Gamma }{}_{\text{a}}+\mathit{\omega }]$ (12)

2.2 控制器的设计

采用PDC结构的模糊控制器,并考虑其脆弱性,有如下模糊控制规则:

Ri:if z1(t) is Ni1 and…and zl(t) is Nil

then Γa=(ki+Δki)X (13)

整个系统的反馈控制律为

$\mathit{\Gamma }{}_{\text{a}}={\displaystyle \sum _{i=1}^{r}h}{}_i[\mathit{z}(t)](\mathit{k}{}_i+\text{Δ}\mathit{k}{}_i)\mathit{X}$ (14)

式中,ki为确定的反馈增益矩阵;Δki为控制器的参数变化,表示实现的不确定性。

考虑加法式增益摄动,即Δki=Df iEf iFf i,其中,Df i、Ef i为反映控制器不确定性结构的矩阵;Ff i为具有Lebesgue可测元素的未知矩阵,且满足FTf iFf i-I≤0。

则闭环系统全局T-S模型为

$\begin{array}{l}\dot{\mathit{X}}={\displaystyle \sum _{i=1}^r{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}h}}{}_i[\mathit{z}(t)]h{}_j[\mathit{z}(t)]\{[\mathit{A}{}_i+\\ \text{Δ}\mathit{A}{}_i+(\mathit{b}{}_i+\text{Δ}\mathit{b}{}_i)(\mathit{k}{}_j+\text{Δ}\mathit{k}{}_j)]\mathit{X}+\mathit{\omega }\}(15)\end{array}$

选被调输出φ(t)=X。

对系统(式(12))定义系统性能指标:

J=∫∞0(XTQX+ΓTaRΓa)dt

式中,Q、R为给定的正定加权矩阵。

在给出结论前先给出下列引理。

引理1[12](Schur补引理) 对给定的对称矩阵,其中S11为m×m维的矩阵。以下3个条件等价:

(1)S<0

(2)S11<0,S22-ST12S${}_{11}^{-1}$S12<0

(3)S22<0,S11-S12S${}_{22}^{-1}$ST12<0

引理2[12] 给定适当维数的矩阵Y、D和E,其中Y是对称的,则有

Y+DEF+ETFTDT<0

对所有满足FTF-I≤0的矩阵F成立,当且仅当存在常数ε>0,使得

Y+εDDT+ETE/ε<0

定理1 对于给定的系统(式(12)),式(14)的反馈控制律是一个非脆弱保性能H∞控制律,如果存在公共正定矩阵P和ki,使得下列不等式组成立:

θ=P-1Bi=kiθBj=kjθ

Uab=(E1iθ+E2iBj)T+(E1jθ+E2jBi)T

U*i=(Aiθ+biBi)T+(Aiθ+biBi)+εi1DiDTi

U*ij=(Aiθ+biBj)T+(Aiθ+biBj)+εij1DiDTi

U*ji=(Ajθ+bjBi)T+(Ajθ+bjBi)+εji1DjDTj

Uc=εij2biDf j+εji2bjDf i

Ud=εij2E2iDf j+εji2E2jDf i

i,j=1,2,…,r,且i<j

式中,εij1、εji1、εij2、εji2、εi1、εi2、ε′、γ为正常数,

下面给出定理1的证明。

取Lyapunov函数

V(X)=XTPX

则

$\begin{array}{l}\dot{V}(\mathit{X})={\displaystyle \sum _{i=1}^{r}h}{}_i^2(\mathit{\Psi }{}_1-\mathit{Q}-\mathit{k}{}_i^{\text{Τ}}\mathit{R}\mathit{k}{}_i+\mathit{\omega }{}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}\mathit{X}+\mathit{X}{}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}\mathit{\omega })+\\ {\displaystyle \sum _{i<j,i=1}^r{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}h}}{}_{i}h{}_j(\mathit{\Psi }{}_2-2\mathit{Q}-\mathit{k}{}_i^{\text{Τ}}\mathit{R}\mathit{k}{}_j-\mathit{k}{}_j^{\text{Τ}}\mathit{R}\mathit{k}{}_i+\\ 2\mathit{\omega }{}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}\mathit{X}+2\mathit{X}{}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}\mathit{\omega })\\ \mathit{\Psi }{}_1=\mathit{Q}+\mathit{k}{}_i^{\text{Τ}}\mathit{R}\mathit{k}{}_i+\mathit{A}{}_{ii}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}+\mathit{{\rm P}}\mathit{A}{}_{ii}\\ \mathit{\Psi }{}_2=2\mathit{Q}+\mathit{k}{}_i^{\text{Τ}}\mathit{R}\mathit{k}{}_j+\mathit{k}{}_j^{\text{Τ}}\mathit{R}\mathit{k}{}_i+\mathit{A}{}_{ij}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}+\mathit{{\rm P}}\mathit{A}{}_{ij}+\mathit{A}{}_{ji}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}+\mathit{{\rm P}}\mathit{A}{}_{ji}\\ \mathit{A}{}_{ii}=\mathit{A}{}_i+\text{Δ}\mathit{A}{}_i+(\mathit{b}{}_i+\text{Δ}\mathit{b}{}_i)(\mathit{k}{}_i+\text{Δ}\mathit{k}{}_i)\\ \mathit{A}{}_{ij}=\mathit{A}{}_i+\text{Δ}\mathit{A}{}_i+(\mathit{b}{}_i+\text{Δ}\mathit{b}{}_i)(\mathit{k}{}_j+\text{Δ}\mathit{k}{}_j)\\ \mathit{A}{}_{ji}=\mathit{A}{}_j+\text{Δ}\mathit{A}{}_j+(\mathit{b}{}_j+\text{Δ}\mathit{b}{}_j)(\mathit{k}{}_i+\text{Δ}\mathit{k}{}_i)\end{array}$

当ω(t)为零矩阵时只需保证Ψ1<0,Ψ2<0,则

$\dot{V}(\mathit{X})<{\displaystyle \sum _{i=1}^r{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}h}}{}_{i}h{}_j\mathit{X}{}^{\text{Τ}}(-\mathit{Q}-\mathit{k}{}_i^{\text{Τ}}\mathit{R}\mathit{k}{}_j)\mathit{X}<0$ (18)

由Lyapunov稳定性理论可知系统在无外部扰动时全局渐近稳定。对式(18)两边从t=0到t=T积分,因为系统渐近稳定,则X(∞)=0,所以我们可以得到J≤J*=XT(0)PX(0),即该控制律为非脆弱保性能控制律。

当ω(t)为非零矩阵时,对于给定常数γ>0,有

$\begin{array}{l}\dot{V}(\mathit{X})+\mathit{\phi }{}^{\text{Τ}}(t)\mathit{\phi }(t)-\gamma {}^2\mathit{\omega }{}^{\text{Τ}}(t)\mathit{\omega }(t)<\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^{r}h}{}_i^2\left[\begin{array}{cc}\mathit{X}{}^{\text{Τ}}& \mathit{\omega }{}^{\text{Τ}}(t)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\mathit{\Psi }{}_1+\mathit{{\rm I}}& \mathit{{\rm P}}\\ \mathit{{\rm P}}& -\gamma {}^2\mathit{{\rm I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{X}\\ \mathit{\omega }(t)\end{array}\right]+\\ {\displaystyle \sum _{i<j,i=1}^r{\displaystyle \sum _{j=1}^r\left[\begin{array}{cc}\mathit{X}{}^{\text{Τ}}& \mathit{\omega }{}^{\text{Τ}}(t)\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{cc}\mathit{\Psi }{}_2+2\mathit{{\rm I}}& 2\mathit{{\rm P}}\\ 2\mathit{{\rm P}}& -2\gamma {}^2\mathit{{\rm I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{X}\\ \mathit{\omega }(t)\end{array}\right](19)\end{array}$

只需保证和,则

$\dot{V}(\mathit{X})+\mathit{\phi }{}^{\text{Τ}}(t)\mathit{\phi }(t)-\gamma {}^2\mathit{\omega }{}^{\text{Τ}}(t)\mathit{\omega }(t)\le 0$ (20)

对式(20)两端从t=0到t=T积分,可得

V(X)+∫${}_0^{{\rm T}}$[φT(t)φ(t)-γ2ωT(t)ω(t)]dt≤0

因为V(X)≥0,则

‖φ(t)‖2≤γ‖ω(t)‖2 (21)

即系统为H∞稳定的。

由引理1得,要保证和只需保证

因为PP>0则满足式(22)即可保证ψ1<0,ψ2<0,即满足式(22)则可保证系统是非脆弱保性能H∞稳定的。令Φ1=Ψ1+I+PP/γ2,Φ2=Ψ2+2I+2PP/γ2。

下面先求解Φ1<0成立的充分条件:

应用引理2和Schur补引理我们可以得到Φ1<0的充分条件为存在常数εi1>0,使得式(24)成立:

将式(24)分解,并再次应用引理2和Schur补引理可得式(24)成立的充分条件为存在常数εi2>0,使得式(25)成立:

将式(25)分解,并应用Schur补引理可得式(25)等价于:

${\overline{\mathit{U}}}^{\prime }{}_i=(\mathit{A}{}_i+\mathit{b}{}_i\mathit{k}{}_i){}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}+\mathit{{\rm P}}(\mathit{A}{}_i+\mathit{b}{}_i\mathit{k}{}_i)+\epsilon {}_{i1}\mathit{{\rm P}}\mathit{D}{}_i\mathit{D}{}_i^{\text{Τ}}\mathit{{\rm P}}$

式(26)两边分别左右乘diag(P-1,I,I,I,I,I,I,I),并令θ=P-1,Bi=kiθ,即得定理1中的式(16)。

下面求解使Φ2<0成立的充分条件。应用Petersen引理得

只需保证Φij<0且Φji<0便可以实现Φ2<0。与Φ1<0成立条件的求解过程相同,可以求得Φij<0成立的充分条件为存在常数εij1>0和εij2>0使得式(28)成立:

i,j=1,2,…,r且i<j

U*ij=(Aiθ+biBj)T+(Aiθ+biBj)+εij1DiDTi

kj=Bjθ-1

Φji<0成立的充分条件为存在常数εji1>0和εji2>0使得式(29)成立:

i,j=1,2,…,r且i<j

U*ji=(Ajθ+bjBi)T+(Ajθ+bjBi)+εji1DjDTj

ki=Biθ-1

式(28)与式(29)相加得到定理1中的式(17)。定理1得证。

3 仿真研究

为验证上述方案的正确性,本节对两连杆串联机械臂中第一关节为被动关节的情况进行仿真试验。两连杆串联机械臂动力学方程如下:

$\begin{array}{l}m{}_{11}=m{}_{1}L{}_{\text{g}1}^2+{\rm I}{}_1+m{}_{2}L{}_{\text{g}2}^2+{\rm I}{}_2+m{}_{2}L{}_1^2+\\ 2m{}_{2}L{}_{1}L{}_{\text{g}2}\cos q{}_2\\ m{}_{12}=m{}_{21}=m{}_{2}L{}_{\text{g}2}^2+{\rm I}{}_2+m{}_{2}L{}_{1}L{}_{\text{g}2}\cos q{}_2\\ m{}_{22}=m{}_{2}L{}_{\text{g}2}^2+{\rm I}{}_2\\ c{}_1(\mathit{q},\dot{\mathit{q}})=-m{}_{2}L{}_{1}L{}_{\text{g}2}\dot{q}{}_2(2\dot{q}{}_1+\dot{q}{}_2)\sin q{}_2\\ c{}_2(\mathit{q},\dot{\mathit{q}})=m{}_{2}L{}_{1}L{}_{\text{g}2}q{}_1^2\sin q{}_2\\ g{}_1(\mathit{q})=-(m{}_{1}L{}_{\text{g}1}+m{}_{2}L{}_1)g\sin q{}_1-m{}_{2}L{}_{\text{g}2}g\sin (q{}_1+q{}_2)\\ g{}_2(\mathit{q})=-m{}_{2}L{}_{\text{g}2}g\sin (q{}_1+q{}_2)\end{array}$

式中,m1、m2分别为两杆的质量,m1=m2=1kg;L1、L2分别为两杆的长度,L1=1m,L2=2m;Lg1、Lg2分别为两杆的质心距,Lg1=0.5m,Lg2=1m;I1、I2分别为两杆的转动惯量,I1=0.083N·m2,I2=0.330N·m2。

针对此系统在控制的第一阶段,采用PD型计算力矩控制。控制器参数为kv=3,kp=5。

被动关节被锁定后,取z=|q1|/|q2|为前件变量,则可以构造如下T-S模型:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\text{R}{}_1:\text{i}\text{f}z\text{i}\text{s}h{}_1,\text{t}\text{h}\text{e}\text{n}\\ \dot{\mathit{X}}(t)=(\mathit{A}{}_1+\text{Δ}\mathit{A}{}_1)\mathit{X}(t)+(\mathit{b}{}_1+\text{Δ}\mathit{b}{}_1)\mathit{\Gamma }{}_{\text{a}}(t)\\ \text{R}{}_2:\text{i}\text{f}z\text{i}\text{s}h{}_2,\text{t}\text{h}\text{e}\text{n}\\ \dot{\mathit{X}}(t)=(\mathit{A}{}_2+\text{Δ}\mathit{A}{}_2)\mathit{X}(t)+(\mathit{b}{}_2+\text{Δ}\mathit{b}{}_2)\mathit{\Gamma }{}_{\text{a}}(t)\end{array}\}(31)\\ \mathit{A}{}_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1.0000\\ -14.7325& 29.5830& 0\end{array}\right]\\ \mathit{b}{}_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 6.0332\end{array}\right]{}^{\text{Τ}}\\ \mathit{A}{}_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1.0000\\ -7.8176& 15.7068& 0\end{array}\right]\\ \mathit{b}{}_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 3.2029\end{array}\right]{}^{\text{Τ}}\\ h{}_1(z)=\{\begin{array}{l}00\le z\le 0.1\\ 1/2+\sin [\frac{\text{π}(z-2.05)}{3.9}]/20.1<z\le 4\\ 1z>4\end{array}\end{array}$

h2(z)=1-h1(z)

描述不确定性的矩阵如下:

$\begin{array}{l}\mathit{D}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\mathit{E}{}_{11}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 6.0& 5.3& 5.2\end{array}\right]\\ \mathit{E}{}_{12}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 4& 6& 2\end{array}\right]\mathit{E}{}_{21}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 8\end{array}\right]{}^{\text{Τ}}\\ \mathit{E}{}_{22}=[\begin{array}{ccc}0& 0& 7\end{array}]{}^{\text{Τ}}\end{array}$

假定控制器存在可加性摄动,并且选择描述不确定性的矩阵为

$\begin{array}{l}\mathit{E}{}_{f1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 5& 8& 9\end{array}\right]\mathit{E}{}_{f2}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 3.1& 5.9& 6.7\end{array}\right]\\ \mathit{D}{}_f=\left[\begin{array}{ccc}2& 5& 3\end{array}\right]\end{array}$

选取Q为3维单位阵,R取1,应用定理1解LMI可以得到非脆弱保性能H∞控制器的参数

$\begin{array}{l}\mathit{k}{}_1=\left[\begin{array}{ccc}-1274.5& -121.9& -397.9\end{array}\right]\\ \mathit{k}{}_2=\left[\begin{array}{ccc}-436.9838& -42.5378& -136.6250\end{array}\right]\end{array}$

由图1可以看出,控制的第一阶段在PD型计算力矩控制器的作用下,第一关节可以有效实现位置跟踪。在t=5s时对其进行制动,并采用基于T-S模型的非脆弱保性能H∞控制器,使第二关节实现位置跟踪。由图2可以看出,控制的第二阶段在基于T-S模型的非脆弱保性能H∞控制器的作用下,即使系统具有扰动且控制器参数发生摄动,第二关节仍然可以在很短的时间内有效的实现位置跟踪。

4 结束语

针对欠驱动机器人系统,将非脆弱控制、保性能控制以及H∞控制结合,提出了基于T-S模型的欠驱动机器人非脆弱保性能H∞控制策略并进行了仿真研究。仿真结果表明被动关节锁定后,当系统具有外部扰动和控制器参数不确定性时,在基于T-S模型的欠驱动机器人非脆弱保性能H∞控制律的作用下,第二关节能够实现位置跟踪。