对偶思想 篇1
1. 对偶思想概述
我们将从高等几何中的对偶原则出发,逐步阐述对偶思想的内涵.
点与直线是射影平面上的基本元素,它们是射影平面中的一对对偶元素. 在射影平面里设由点、直线及其相互结合的顺序关系所组成的一个命题,将此命题中的各元素改为它的对偶元素,其结果形成另一个命题,这两个命题叫作平面对偶命题. 在射影平面里,如果一个命题成立,则它的对偶命题也成立,这就是高等几何中的对偶原则. 例如:
命题A:通过不同两点必有一直线.
命题B:两不同直线必有一交点.
命题A与命题B是一对对偶命题,命题A成立,由对偶原则,在射影平面里,命题B也成立. 注意,对偶原则仅在射影平面上成立,原因在于点和直线在射影平面上是对等的,地位是平等的,是一对对偶元素,可以彼此互换. 而在欧氏平面中,点与直线的地位不对等,不能构成一对对偶元素,于是在欧氏平面中,命题A成立,但命题B并不成立,对偶原则失效.
高等几何里的对偶原则其实是对偶思想在具体学科中的体现. 可以看出,一个对偶问题,首先要有对偶元素,要成为对偶元素,需要这两个元素的地位平等、可以互换,要有相似的性质;其次,他们具有内在的联系. 在解决数学问题中,当原问题难以得到解决或者解决方法很复杂时,我们可以考虑利用已知条件中元素的对偶元素来构造一个与之地位、作用、功能、性质等完全相同或相似,彼此之间存在内在的关联的对偶式或直接利用对偶元素的等价性质来解决问题的思想方法,称为对偶思想.
通过对中学数学中对偶思想方法的研究,我们发现对偶思想在对学科的发展、解题、教师教学三个方面均有重要指导作用.
2. 对偶思想对学科发展的促进作用
解析几何把代数方程和曲线曲面等联系了起来,这一创造是数学中最丰富最有效的设想之一. 在很长的一段时间里,几何与代数是各自发展的,互相分离或只有局部的联系,就连伟大的数学家牛顿也坚持要区别数的运算和希腊人对于几何物体的运算. 直到费马和笛卡尔时代来临的时候,他们希望把几何与代数结合起来,让它们之间可以相互转换,也就是要让它们成为我们所说的对偶元素,这时才真正的将几何与代数实质性结合起来,促进了双方的共同发展.
再举一例———牛顿和莱布尼兹创立的微积分学. 在微积分创立之前,其实已经有很多数学家研究过已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式,求物体在任意时刻的速度和加速度问题(微分问题),已知物体的速度求物体位移的问题(积分问题),也取得了很大的进展,但当时的数学家们只是把它们当成是两个不同的问题在研究,没有发现它们之间的内在联系. 牛顿和莱布尼兹对微积分的主要贡献就是发现微分与积分其实是一对对偶元素,它们其实是可以相互转换的,这个发现促使了微积分的创立. 如今的中学已经开始学习一些初级的微积分了,如果教师从对偶的观点、统一的观点来讲授微积分,而不是仅仅让同学们死记一些公式可能会对学生掌握微积分思想产生更好的效果.
3. 对偶思想对解题的指导作用
在解题中,我们可以利用对偶元素构造对偶式,再利用对偶元素之间的内在联系、两个对偶式之间的协同作用,使得问题得到快速、巧妙的解答;或者利用对偶元素之间内在等价性质,使得原问题转换为其对偶问题,从而使问题变得更容易解决.
4. 对偶思想对中小学教师教学的指导作用
导入是我们的教学过程中一个很重要的步骤,很多时候教师会感觉导入很难设计,有了对偶思想的指导,我们经常可以通过对偶元素来引入新课. 在讲课过程中,无论是新课还是习题课,适时地提及对偶,可以使学生发现数学知识之间不是孤立的,而是相互联系的,知识之间存在着这样的一种内在的和谐. 这样不仅可以让学生更好地掌握知识,还可以系统化所学知识,有利于日后的知识提取. 进一步,还可以利用对偶思想培养学生的创造性思维.
数学是研究自然的科学,自然的和谐决定了数学的和谐,而数学的和谐也反过来印证了自然的和谐,对偶思想正揭示了这种和谐. 本文通过对对偶思想的研究,认识到对偶思想不仅能够指导解题,更能够使得数学学习系统化. 在教师的引导下,让学生在中小学时代就接触这种并不难理解,但却充满了美与和谐,且十分重要的对偶思想,对学生以后更好更深刻地认识数学是具有极其重要的意义的.
摘要：本文通过对高等几何中的对偶原则的分析探究,提炼了对偶思想的概念,然后讨论了对偶思想对学科的发展、解题以及对教师教学的指导作用.
对偶思想 篇2
研究套利的理论有很多, 其中很多都是数理金融理论中最重要的理论基础, 这些既被用于研究套利, 也被用于导出数理金融中的其他结论。研究套利的方法很多, 如中性概率分布和状态价格向量, 也有很多方法来证明相关理论结论, 这些方法各有优劣, 可以从某些方面揭示套利的实质。
单纯从数学上看, 套利实际为两组线性不等式组的关系。本文利用线性不等式组、线性系统或线性锥系统的择一性和对偶性来构造状态价格向量, 并说明无套利与状态价格向量为一对偶关系, 进而说明中性概率分布和状态价格向量之间的关系。
一、预备知识
1、一些记号
设市场有n个风险资产, 每种资产在未来时刻1有l个状态, 第i个资产在第j个状态出现时的收益率为ri (j) , 价格为Pji (i=1, 2, …, n;j=1, 2, …, l) 。记:
投资策略向量 (资产组合) :x= (x1, x2, …, xn) T;
概率向量:p= (p1, p2, …, pl) T;
第i个资产在当前时刻0的价格 (初始价格) 为vi (i=1, 2, …, n) , 记:
初始价格向量:v= (v1, v2, …, vn) T;
Dv=diag (v1, v2, …, vn) ;
其中:Zji=Pji/vi (i=1, 2, …, n;j=1, 2, …, l) 为在时刻1状态j出现时第i个资产的总收益率, 有关系:
如果x∈R+n, x≠0, 则称x≥0, 同样可以定义x≥y。
2、择一定理
设A是矩阵, x、u是列向量。
引理1对齐次线性不等式组:
则 (Ⅰ) 有解的充分必要条件是 (Ⅱ) 无解。
引理2设x∈Rn、u∈Rm、A∈Rm×n;Cx为Rn中其锥, 其对偶锥为Cx*, 考虑线性锥系统:
则 (Ⅰ) 有解的充分必要条件是 (Ⅱ) 无解。
3、套利定理
引理3 (套利定理) 下列结论有且只有一个正确:
(Ⅰ) 存在投资策略x使得:Rx>0;
(Ⅱ) 存在概率向量p使得:RTp=0。
套利定理表明, 在所有的状态集合中, 要么一定有套利, 要么一定无套利。并且在无套利情况下, 存在一个概率分布, 在这个分布下, 每种投资的期望收益均为0, 这个概率分布也称为风险中性概率分布。
二、状态价格向量的构造
1、概念
套利机会:如果有投资组合x满足下列条件之一:
则称存在套利机会, 反之亦然。
即在0和1时刻资产组合价值的正负性不同, 则有套利机会。
状态价格向量:如果有α∈Rl满足:
则称向量α为支持资产系统P或Z的状态价格向量。
当资产系统存在价格向量时, 每种资产在0时刻的价格向量都可以用1时刻资产在各种状态的价格线性表示。
2、状态价格向量的构造
定理1资产系统不存在套利机会的充分条件是存在支持该资产系统的状态价格向量α∈R+++。
证明:由套利机会的定义, 不存在套利机会等价, 下列两组线性不等式组无解:
无解。
由引理1, 此二线性不等式组等价:
有解。
统一为:
有解。
记u=∈ulu0*, u0∈R+, ul∈R+l+, 有:
将Z=PDv-1代入上式, 即得:
证毕。
三、结论与讨论
判断套利的方法有很多种, 判断状态价格向量是否存在就是其中的方法之一。
从单纯数学角度上看, 判断套利只是关于一类线性不等式组的一个关系问题, 而择一定理正是处理和揭示这类线性不等式组一些性质的理论基础, 所以, 从简单思维上看是很容易将两者结合起来的。
以下是用择一定理来证明无套利与存在状态价格向量等价, 从证明过程可见, 证明过程简洁明了, 也很简单。
1、利用线性锥系统的择一定理 (引理2) 来证明这个结论
由引理2即可得到 (1) 式。
可见, 无套利与状态价格向量实为一对偶关系, 这为套利的应用提供了理论基础和广阔的领域。
2、套利定理 (引理3) 和定理1都是判断套利的等价条件
套利定理表明, 无套利的等价条件是存在风险中性概率, 使每种投资期望收益均为0的。
定理1表明无套利的等价条件是存在正状态价格向量, 使每种资产在0时刻的价格向量都可以用1时刻资产在各种状态的价格正线性表示。
由此可得, 存在风险中性概率和存在正状态价格向量也是等价的。
当然, 可以进一步讨论风险中性概率和状态价格向量之间的关系。
摘要：本文提出了证明无套利与存在正状态价格向量等价的新方法, 即利用择一定理证明, 同时也揭示了无套利与状态价格向量为一对偶关系, 进而说明存在中性概率分布和存在正状态价格向量是等价的。这种处理问题的方法为解决其他类似问题提供了一种新思路。
关键词：状态价格向量,套利定理,风险中性概率,择一定理
参考文献
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[7]魏权龄、闫洪:广义最优化理论和模型[M].科技出版社, 2003.
构造对偶式证明几个不等式 篇3
评析本题 (*) 式的放缩看似放得轻松, 却恰到好处地解决了问题. 从这道题目中可以看到, 当题目条件给出了变量的大小关系时, 对偶式与原式就一定存在大小关系, 本题正是利用这种大小关系才能通过均值不等式进行降次.
例2已知:a≥b≥c > 0, 求证:
这道题是在《高中竞赛数学教程》中所见, 书中给出的解答如下:
评析这种做法看似非常简洁, 但是实际上这种破坏对称性的方法并没有太多的推广价值, 而且最后一行的恒等变形对于代数功底的要求很高, 那一步放缩也显得无迹可寻, 看完解答后总有些知其然而不知其所以然的感觉.
重新审视这道题可以发现此题的条件和例1如出一辙, 欲证不等式本身也有着一定对称性, 因此我们可以尝试着使用构造轮换对偶式的方法.
评析可以很明显地看到构造对偶式的方法比起上面那一种破坏对称性的方法漂亮得多, 也没有太多对于恒等变形的技巧要求.
看到这道题目时一种很自然的想法就是利用柯西不等式, 但是首先想到的可能是但是这样就难以用到a≥b≥c > 0的条件了. 而使用构造轮换的对偶式的方法就能自然地用上这个条件, 巧妙地证明了这道题.
对偶式与原式存在大小关系的情况除了题目条件给出变量大小关系, 还有一种可能是对偶式与原式的差中含有平方式. 这一种情况相比于前者较为难以想到, 有时需要大胆地尝试.
评析A式中x与y之间难以建立联系, 因此很难直接处理, 而巧妙地利用对偶式B进行放缩就能用简单的基本不等式解答此题.
摘要：本文选取数学竞赛中典型的题目, 利用构造对偶式的方法, 巧妙证明几个不等式, 并对解法进行了评析, 归纳总结出一些解题技巧.
关键词：对偶式,构造,不等式
参考文献
[1]熊斌, 刘诗雄.高中竞赛数学教程[M].武汉:武汉大学出版社, 1993:385.
对偶思想 篇4
关键词：偶极子,电场强度,磁场强度,对偶性
引言
电偶极子和磁偶极子作为一种理想化模型, 在电磁理论中具有重要的地位, 他们是很多电磁场求解问题的基础[1,2,3], 例如在研究介质的极化和磁化问题时, 可以将介质等同与无数多个电偶极子和磁偶极子, 然后求解这些偶极子在空间激发场的叠加就可以给出极化介质和磁化介质在空间场的分布[4,5]。而且电磁偶极子是天线中最基本的天线振子[6], 对其场的分布的研究有利于更深层次的理解天线的工作原理, 促进天线技术的开发和应用。本文在球坐标系中利用位函数和场强之间的关系, 给出了电偶极子和磁偶极子全空间场分布的解析表达式, 根据对偶原理分析了电场强度和磁场强度表达式的对偶关系, 为加深理解电磁偶极子全空间场的分布提供一种方法, 有利于促进对极化介质和磁化介质场分布的研究, 同时, 还可以对最基本天线的场分布有初步的认识。
1 电偶极子全空间场的分布
2 磁偶极子全空间场的分布
磁偶极子是指几何线度 (半径a) 远小于场点P2到其中心距离r的载流圆形平面回路, 其磁失位和磁场是研究介质磁化问题的基础。若圆形回路载有电流为I, 且位于直角坐标系的xoy平面, 圆心在坐标原点上, 则该圆形回路的电流分布具有对称性, 在球面坐标系中该载流回路的磁失位只有Aф 分量, 且其只是r和θ的函数, 与ф 无关, 故可将场点选取在xoz平面并不失一般性, 根据磁失位的计算关系, 可得出此载流圆形回路在空间任一点的磁失位为
以上讨论的电磁偶极子的场分布都是电荷和电流都是稳恒的, 若将电偶极子的电荷看作是接高频信号源的开路电流, 将磁偶极子中流过的电流也看作是高频的时变电流, 则可以得到电基本振子天线和磁基本振子天线在全空间的场分布, 利于进一步理解天线的工作原理。
3 电磁偶极子的对偶性分析
4 结语
本文利用位函数和场强之间的关系, 给出了球坐标系中电磁偶极子全空间的场分布, 同时简要分析了电磁偶极子场强之间的对偶关系及应用, 为深入理解和掌握电磁理论提供一种方法和技巧, 也有利于理解物质的极化和磁化, 而且还可以初步了解天线的基本原理, 利于工程应用。
参考文献
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对偶思想 篇5
楔横轧是利用带有楔形凸起模具对坯料进行横轧以获得轴类件锻坯的先进工艺,在汽车、拖拉机、电机、机床等行业的阶梯轴锻坯生产中已得到广泛应用,但其工艺参数确定比较复杂,轧制时有时出现疏松和裂纹等缺陷[1]。这些结果会导致产品的机械性能受到影响,甚至达不到产品的性能要求。目前对轧件内部缺陷的检测通常是采用抽样切开或便携式超声探伤仪人工探伤。抽样切开方法不仅破坏了已有的轧件,而且不能完全保证未被切开的轧件与已切开的轧件是否同样有缺陷,以及缺陷大小、性质等是否相同;便携式超声探伤仪人工探伤受操作者的主观因素影响很大,尤其对于微小缺陷很可能出现漏检现象。
超声检测中所期望获得的与缺陷性质有关的各种信息往往以某种方式隐藏在所获取的信号之中。小波变换独具的“局部化”特性,使小波信号分析成为探测和识别奇异信号和分析非平稳随机信号的有力手段,小波分析技术以其在降噪、特征提取、多分辨率分析等方面的突出成就而在信号处理领域中得到了广泛的应用。它根据缺陷信号和噪声在不同尺度上的表现分别进行处理,在超声检测中能够实现弱信号检测或特征信息提取[2]。文献[3]利用连续小波变换来进行钢层下橡胶界面脱黏信号研究;文献[4]应用离散小波变换,利用变换后各频段能量的差异来进行缺陷回波信号的分析和特征提取;文献[5]采用非抽样小波进行超声回波信号的消噪。这些小波方法都存在某些不足。对偶树复小波变换(dual-tree complex wavelet transform,DT-CWT)具有平移不变性、有限的冗余度和计算量、可精确重构等特点,可较好地解决这些问题,因此,利用DT-CWT的优势,可以改进现有的基于常规离散正交小波变换(DWT)的回波信号处理方法。
1 互为Hilbert变换对的正交小波的构造
一维对偶树复小波包含两个平行的小波树,两棵树中的实数滤波器h0(n)、h1(n)与g0(n)、g1(n)各代表一个共轭正交滤波器对。设H0(ω)与G0(ω)分别是低通滤波器h0(n)、g0(n)的Fourier变换。
文献[6]指出,如果H0(ω)和G0(ω)是两个共轭正交的低通滤波器组,并且满足如下关系:
G0(ω)=H0(ω)e-j ω/2 |ω|<π (1)
那么它们所对应的小波互为Hilbert变换对,并且相应的小波滤波器g0(n)与h0(n)相差半个采样的延迟。
为了构造这样的两个正交小波对,设它们的低通尺度滤波器有如下形式(在z域中表示):
H0(z)=F(z)D(z) (2)
G0(z)=F(z)z-LD(1/z) (3)
式中,D(z)为能够获得(或近似获得)半个采样延迟的分数延迟滤波器;L为D(z)滤波器的延迟度;F(z)为待求滤波器。
由此得到
则传递函数为
如果把此传递函数A(z)设计成一个具有半个采样延迟的全通滤波器,即
A(z)≈z-1/2z在1附近取值 (6)
A(ω)≈e-jω/2ω在0附近取值 (7)
那么式(4)就可以写成
G0(ω)≈H0(ω)e-jω/2ω在0附近取值 (8)
由此近似得到了式(1)。
定理1[7] 设ϕ∈L2(R)是一可积的尺度函数,那么h[n]=〈2-1/2ϕ(t/2),ϕ(t-n)〉的傅里叶级数满足
因此,若ϕ为正交尺度函数,h={h0,h1,…,hN}是对应ϕ的双尺度方程的滤波器,则构造正交小波时h应满足以下方程:
其中,当n=0时,δ=1,当n≠0时,δ=0。
定理2[7] 设φ和ϕ是生成一组正交基的小波和尺度函数。设|φ(t)|=o((1+t2)-p/(2-1))且|ϕ(t)|=o((1+t2)-p/(2-1)),则:①小波φ有p阶消失矩;
由定理2可得到[8]
h0-h1+h2-…+(-1)NhN=0 (13)
h1-2kh2+…+(-1)N-1NkhN=0 0<k<p (14)
通过解式(11)～式(14)得到滤波器h={h0,h1,…,hN},然后按下式:
求出|F0(ej ω)| 在ω∈[0,2π]范围内的上界值,如果它小于等于2p-1,则h即为所求滤波器[8]。
最后联立式(11)～式(15)、式(2)、式(3),可以构造各种互为Hilbert变换对的正交小波。
表1列出了根据该方法构造的两个正交尺度滤波器h、g,其对应的互为Hilbert变换对的正交小波如图1所示(部分示例)。
DT-CWT的平移不变性图示效果见图2[9],可见,DT-CWT对消除伪Gibbs现象的能力相对DWT有明显的提高。图中,S表示原始信号,a4表示第4层近似系数、d1～d4表示第1～4层细节系数的重构信号。
(a)DT-CWT(对偶树复小波变换) (b)DWT(常规离散正交实小波变换)
2 DT-CWT分解在楔横轧轧件缺陷检测中的应用
为了说明构造的新小波对在DT-CWT降噪算法中的有效性,采用实际的从楔横轧轧件采集的超声回波信号进行分析研究。
楔横轧多楔轧制是内楔和外楔同时对轧件进行径向压下和轴向延伸的塑性成形,其工作原理如图3所示。两个具有多个楔形模具的轧辊以相同的方向旋转并带动圆形轧件旋转,轧件在楔形孔型的作用下轧制成各种形状和长度的轴类零件。在轧制过程中,轧件基本上受到轧辊外力作用,轧辊施加给轧件的径向轧制力使轧件径向压缩变形,轧辊施加给轧件的切向摩擦力使轧件产生旋转,这样轧件边旋转边受到径向压下,从而实现连续小变形成形过程。对于多楔轧制,由于楔与楔之间的金属流动受到一个轴向力的作用,它将促使或阻止轧件产生轴向延伸变形,因此楔与楔之间就存在着复杂的相互制约关系,轧件内部的变形过程和金属流动规律就很复杂,也因此更容易产生缺陷。
(b)轧制侧视图
2.1 轧制试验
本试验中的主要设备是H630楔横轧机,该轧机主要技术参数如下:电机功率40kW;轧辊直径620mm;轧辊宽度500mm;轧件最大直径50mm;轧件最大长度500mm;轧辊转速10r/min。在轧制温度1200℃下进行轧制试验。
超声探头采用美国Panametrics-NDT公司的5MHz、直径13mm的双晶直探头,采用反射式探测,采样频率为100MHz。试验对象为45圆钢,直径20mm。轧制过程如图4所示。
2.2 试验结果与分析
由轧件中间横向剖开后的照片(图5)可看出,中心出现了针孔形状的破坏,在轧件的中心位置有一个不规则的孔腔,旁边有一个比较小的小孔。通常的检测方法可以检测出这个较大的中心孔腔,但旁边的小孔通常会被漏检。图6所示为采集的原始超声回波信号,对该信号利用DT-CWT进行分解,小波分解层数为4层,得到图7所示的分解结果。由图7可以看到,在底波之前有两个非常明显的缺陷回波,表明此处有两个缺陷。而由图6在相同位置只能发现一个缺陷,另外一个缺陷极不明显。由此可以看出,采用DT-CWT分解可以有效地提取出微弱缺陷信息,根据该结果可以进一步探求模具工艺参数和变形参数与不产生缺陷的理论关系, 进而改善轧件缺陷
的产生。
3 结论
本文从构造正交小波的充要条件入手,利用延迟滤波器的思想,通过求解代数方程组,构造了新的对偶树复小波,并将对偶树复小波变换应用于超声回波信号处理中。试验证明,由基于本文方法构造的互为Hilbert变换对的小波的对偶树复小波变换可以得到较好的特征提取效果。
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