函数的极限七篇

函数的极限 篇1

定义1 若函数f (x) 和g (x) 满足以下条件:

undefined

则称f (x) 与g (x) 是当x→Δ时极限等价的, 记为f (x) ≈g (x) (x→Δ) , (其中x→Δ表示自变量的某种变化趋势) .

根据等价无穷小的定义, 若f (x) 与g (x) 是当x→Δ时等价无穷小, 则f (x) 与g (x) 是当x→Δ时极限等价的

性质1 (1) 如果当x→Δ时, f (x) 不为零,

则f (x) ≈f (x) (x→Δ) .

(2) 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) ,

则g (x) ≈f (x) (x→Δ) ;

(3) 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) , g (x) ≈h (x) (x→Δ) ,

则f (x) ≈h (x) (x→Δ) ;

(4) 若undefined, 且A≠0,

则f (x) ≈A (x→Δ) ;

(5) 若f (x) ≈g (x) ≈h (x) (x→Δ) ,

则Af (x) +Bg (x) ≈Ch (x) +Dg (x) (x→Δ) ,

其中A+B=C+D≠0.

证明 (1) ～ (4) 显然成立.

(5) 首先证明当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 不等于零.

假设当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 有等于零的点, 则存在数列{xn}, 使得当n→∞时, xn→Δ, 且对于∀n, Ch (xn) +Dg (xn) =0.由于C+D≠0, 则C, D中至少有一个数不为零, 不妨设C不为零.从而对于∀n有undefined, 再由于g (x) ≈h (x) (x→Δ) , 即undefined, 从而undefined, 显然与C+D≠0矛盾.从而当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 不等于零.

再由于undefined

从而Af (x) +Bg (x) ≈Ch (x) +Dg (x) (x→Δ) .

定理1 若f1 (x) ≈f2 (x) (x→Δ) ,

g1 (x) ≈g2 (x) (x→Δ) 且undefined,

则undefined也存在, 且undefined

undefined

由于等价无穷小必是极限等价的, 因此以上结论对等价无穷小也是成立的.

例1 求undefined

解 由于x≈sinx (x→0) , 根据性质1 (5) , 可知,

x-3sinx≈x-3x (x→0) ,

即x-3sinx≈-2x (x→0) .

又 由于tanx≈x (x→0) , 根据定理1,

可知undefined

由以上求解过程, 可知由x替换sinx是合理的.

定理2 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) , 当x→Δ时, 复合函数h[f (x) ]和h[g (x) ]有定义, h (u) 是有界变差函数, 且存在一正常数M使得|h[g (x) ]|≥M和|g (x) |≥M, 那么h[f (x) ]≈h[g (x) ] (x→Δ)

证明 首先证明undefined

由于h (u) 是有界变差函数, 则存在一正常数H, 使得|h[f (x) -h[g (x) ]]|≤H|f (x) -g (x) |,

从而undefined

再由f (x) ≈g (x) (x→Δ) 可得

undefined

即h[f (x) ]≈h[g (x) ] (x→Δ) .

例2 求undefined

解 令f (x) =x+sinx+2, g (x) =x+2, h (u) =lnu,

则x+sinx+2≈x+2 (x→∞) ,

再由于lnu是有界变差函数, 当x→+∞时,

|ln (x+2) |≥1, |x+2|≥1.

从而由定理2得ln (x+sinx+2) ≈ln (x+2) (x→+∞) ,

上例所求极限虽然是型不定式, 但不符合罗比达法则所要求的条件, 从而无法用罗比达法则求解.

本文中所提出的极限等价函数是对等价无穷小概念的推广, 不要求两个函数极限都存在且趋于零, 而只要求两个函数有相同的变化趋势, 从而在求某些非无穷小量比值的极限时任可以考虑用替换函数的方法.

摘要：本文通过引入极限等价函数的定义, 借鉴利用等价无穷小替换求极限的方法, 给出了利用极限等价函数求极限的方法, 从而推广了利用等价无穷小求极限的方法.

关键词：极限,等价无穷小,极限等价函数

参考文献

[1]谢克藻.高等数学简明教程.北京:科学出版社, 2008.

从事物的极限到函数的极限 篇2

每年秋季刚考进大学的非文科一年级新生们都要学习高等数学这门课程的。而高等数学里第一个概念就是数学极限的定义，这对于学生是非常难学的，老师也感到难教，这是一个历史现象。

目前高中阶段在学习变化率导数时，也是有意地绕过极限定义的。可见极限定义困难的程度。

极限的定义为什么这样难教难学，就是因为我们对于它挖掘认识的不够。

我经过很长一段时间对极限琢磨与研究着，而今我有个重大发现，我窥视到了函数y=f（x）的极限就是函数y=f（x）在某种条件下的极大值ak 极小值。因为极大值、极小值是此前中学阶段里很普通而又很熟练的知识，在这个很熟练的基础上，学习极限就一帆风顺了。下面是我的设计：

一、事物的极限

极限并不陌生和抽象，在生产生活中，我们身边存在和充满着许多通俗易懂极限的问题。

比如我们行走在一座桥的前面看见路旁有个交通警示牌，牌上写着20t，这是什么意思呢？这是告诉人们经过桥梁的车辆及其载物不能超过20吨重，超过了20吨，桥梁就有可能断裂或倒塌，酿成危险性事故。这是桥梁负荷的极大限制值。

用火箭发射人造卫星，火箭的发射速度不能小于7.9km/s，小于这个发射速度，卫星就上不了天，这是卫星上天时火箭发射速度的极小限制值。

严寒的冬天，千里冰封，万里雪飘……必须要到晴天气温才能不断升高，达到0℃以上的时候，冰雪才能融化。这个0℃是标准大气压之下冰雪融化温度的极小限制值。

上面的极大限制值、极小限制值。取极大值、极小值的“极”字，取限制的“限”字。简称为极限。反过来，以后看到“极限”一词也可顾名思义地联想起极限里的“极”字就是极大值或极小值。“限”字就是限制。

这样一来，我们得到了含有变量的事物的极限定义。

定义：含有变量的事物在某种条件下变化着，它的极大限制值或极小限制值，就叫做这事物在该条件下的极限。

于是，上面桥梁的负荷极限是20t，火箭发射人造卫星能上天速度的极限是7.9km/s，冰雪在其温度不断升高时，保持固体形状的极限温度是0℃。

化合物H2O在其温度下降时，保持液体状态的极限温度是0℃，在其温度不断上升时，保持液体状态的极限温度是100℃。

二元函数的极限 篇3

(一)教学目的：

掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．

(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．

基本要求：

(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．

(三)教学建议：

(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极

限的方法．

(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．

一二元函数的极限

先回忆一下一元函数的极限： limf(x)A 的“” 定义(c31)：

xx0

0设函数f(x)在x0的某一空心邻域U(x0,1)内由定义，如果对

0,当 xU(x0,)，即 |xx0| 时，都有 |f(x)A|，0,1，则称xx0时，函数f(x)的极限是 A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：

设二元函数f(x,y)为定义在DR2上的二元函数，在点P0(x0,y0)为D的一个聚点，A是一个确定的常数，如果对 0,0，使得当 P(x,y)U(P0,)D 时，0都有 |f(P)A|，则称f在D上当 PP0时，以A为极限。记作

PP0PDlimf(P)A

也可简写为limf(P)A或

PP0(x,y)(x0,y0)

2limf(x,y)A 例1用定义验证

2lim(x,y)(2,1)2(xxyy)7 222证明:|xxyy7||xx6xyxy1|

|x3||x2||xy1||y1|

限制在（2，1）的邻域 {(x,y)||x2|1,|y1|1}

|x3|6,|xy1|6

取 min{1,/6}，则有

|xxyy|

由二元函数极限定义lim

(x,y)(2,1)

(xxyy)7

xy,(x,y)(0,0)xy22

例2 f(x,y)xy，0,(x,y)(0,0)

证明lim

(x,y)(0,0)

f(x,y)0

xyxy

证|f(x,y)||xy

所以

lim

(x,y)(0,0)

||xy|

lim

(x,y)(0,0)

|f(x,y)|lim

(x,y)(0,0)

|xy|0

|f(x,y)|0

对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：

PP0

limf(P)A 是指： P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任

何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。

对于一元函数，x 仅需沿X轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，P趋于P0的路线有无穷多条，只要有两条路线，P趋于P0时，函数f(x,y)的值趋于不同的常数，二元函数在P0点极限就不存在。

1,0yx2

例1 二元函数f(x,y)

0,rest

请看图像（x62），尽管P(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当P(x,y)沿抛物线 ykx,0k1时，f(x,y)的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。

(考虑沿直线ykx的方向极限).x2y,

例2设函数f(x,y)x2y2

0,

(x.,y)(0,0)(x,y)(0,0)

求证limf(x,y)0

x0

y0

证明因为|f(x,y)0|

x|y|xy



x|y|x

|y|

所以，当(x,y)(0,0)时，f(x,y)0。

请看它的图像，不管P(x,y)沿任何方向趋于原点，f(x,y)的值都趋于零。

通常为证明极限limf(P)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两

PP0

个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关.但应注意 ,沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在.例3

设函数

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)

xy,22

f(x,y)xy

0,

证明函数 f(x,y)在原点处极限不 存在。

证明尽管 P(x,y)沿 ｘ轴和ｙ轴

趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零，但沿直线ymx 趋于原点时

xmxx(mx)

f(x,y)

mx

(1m)x



m1m

沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例１沿任何路线趋于原点时，极

限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。

例4

非正常极限极限

lim

(x,y)(x0,y0)

判别函数f(x,y)

xy11xy

在原点是否存在极限.f(x,y)的定义:

12x3y

例1设函数f(x,y)证明limf(x,y)

x0y0

证|

12x3y

||

13(xy)

|

只要取

16M

|x0|,|y0|时，都有

|

12x3y16

||

13(xy)

|

M

12x3y

请看它的图象，因此是无穷大量。

例2求下列极限: i)

lim

xyxy

;ii)

(x,y)(0,0)(x,y)(3,0)

lim

sinxyy

;

iii)

(x,y)(0,0)

lim

xy11xy

;iV)

(x,y)(0,0)

lim

ln(1xy)

xy

.二.累次极限: 累次极限

前面讲了P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时 f(x,y)的极限，称为累次极限。对于二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)的累次极限由两个

limlimf(x,y)和limlimf(x,y)

yy0xx0

xx0yy0

例1

f(x,y)

xyxyxyxy

222, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.22

例2 f(x,y), 求在点(0 , 0)的两个累次极限.例3 f(x,y)xsin

1y

ysin

1x, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.二重极限与累次极限的关系:

（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。

例函数 f(x,y)

xyxy

xy

22的两个累次极限是 yyyxxx

limlim

xyxy

xyxyxy

xy

y0x0

lim

y0

lim(y1)1

y0

lim(x1)1

x0

limlim

x0y0

lim

x0

（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 例f(x,y)

xyxy

xyxy，两个累次极限都存在limlim

y0x0

0,limlim

xyxy

x0y0

0

但二重极限却不存在，事实上若点P(x,)沿直线 ykx趋于原点时，kx

f(x,y)

x(kx)



k1k

二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)xsin

1yysin

1x

由|f(x,y)|  |x||y|0 ,(x ,y)(0,0).可见二重极限存在 ,但

1x

limsin

x0

和limsin

y0

1y

不存在，从而两个累次极限不存在。

（4）二重极限极限lim

(x,y)(x0,y0)

f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存

xx0yy0

在 , 则必相等.(证)

（5）累次极限与二重极限的关系

多元函数的极限与连续 篇4

1.求下列极限：

x2y111)lim(4x3y)；

2）lim(xy)sinsin；

3）lim2.2x0x2x0xyxyy0y1y02

2.证明：若f(x，y)

xy，(xy0)，求 limlimf(x，y)与limlimf(x，y).x0y0y0x0xyx4y43.设函数f(x，y)4，证明：当点(x，y)沿通过原点的任意直线(ymx)趋于（0,0）时，函数f(x，y)23(xy)存在极限，且极限相等.但是，此函数在原点不存在极限.x2y22D(x，y)yx4.若将函数f(x，y)2限制在区域，则函数f(x，y)在原点（0，0）存在极限.2xy

5.求下列极限： 1）lim

3）lim(xy)In(xy)；

4）limx0y022xysinxy；

函数极限 篇5

第三章 函数极限

xbl

第三章 函数极限

教学目的：

1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限

和，并能熟练运用；

4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点：

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教学时数：16学时

§ 1 函数极限概念（3学时）

教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。

教学重点：函数极限的概念。

教学难点：函数极限的定义及其应用。

一、复习：数列极限的概念、性质等

二、讲授新课：

（一）时函数的极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例4 验证

例5 验证

例6 验证

证 由 =

为使

需有

需有

为使

于是, 倘限制 , 就有

例7 验证

例8 验证(类似有

（三）单侧极限:

1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

我们引进了六种极限:.以下以极限，为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th 4 若使，证 设

和都有 =

(现证对 都存在, 且存在点 的空心邻域)，有

註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有

5.6.以

迫敛性:

”为“ 举例说明.”, 未必

四则运算性质:(只证“+”和“ ”)

（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

补充题:已知

求和（）§ 3 函数极限存在的条件（4学时）

教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。

教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限

为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：

Th 1 设函数在,对任何在点

且的某空心邻域

内有定义.则极限都存在且相等.(证)

存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为

单调趋于

.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.7 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

教学难点：两个重要极限的证明及运用。

教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一．

（证）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 证明极限 不存在.二.证 对

有

例6

特别当 等.例7

例8

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

三． 等价无穷小：

Th 2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3(等价无穷小替换法则)

几组常用等价无穷小:（见[2]）

例3 时, 无穷小

与

是否等价? 例4

四.无穷大量:

1.定义:

2.性质:

性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大

习题 课（2学时）

一、理论概述：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例7.求

.注意 时, 且

.先求

由Heine归并原则

即求得所求极限

.例8 求是否存在.和.并说明极限

解;

极限的四则运算函数的连续性 篇6

极限的四则运算，函数的连续性

二.教学重、难点： 1.函数在一点处连续

2.函数在开区间，闭区间上连续 3.连续函数的性质

（1）若与在处连续，则，（）在处也连续。

（2）最大、最小值，若是[]上的连续函数，那么在上有最大值和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。

【典型例题】 [例1] 求下列极限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2] 求下列各数列的极限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式

[例3] 已知数列是正数构成的数列，且满足，其中是大于1的整数，是正数。

（1）求的通项公式及前项和；（2）求的值。解：

（1）由已知得

∴ 是公比为的等比数列，则

（2）① 当时，原式 ② 当时，原式 ③ 当时，原式

[例4] 判定下列函数在给定点处是否连续。（1）在处；（2），在处。解：（1），但

故函数在处不连续（2）函数在处有定义，但，即

故不存在，所以函数在点处不连续。

[例5] 已知函数，试求：（1）的定义域，并画出的图象；（2）求，；

（3）在哪些点处不连续。解：

（1）当，即时，当时，不存在 当时，当时，即或时，∴

∴ 定义域为（）（），图象如图所示

（2）

∴ 不存在

（3）在及处不连续

∵ 在处无意义 时，即不存在∴ 在及处不连续

[例6] 证明方程至少有一个小于1的正根。证明：令，则在（0，1）上连续，且当时。时，∴ 在（0，1）内至少有一个，使

即：至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小于1的正根。

[例7] 函数在区间（0，2）上是否连续？在区间[0，2]上呢？ 解：（且）任取，则

∴ 在（0，2）内连续，但在处无定义 ∴ 在处不连续，从而在[0，2]上不连续

[例8] 假设，在上不连续，求的取值范围。

解：若函数，在上连续，由函数在点处连续的定义，必有，因为，所以，所以，若不连续，则且。

[例9] 设

（1）若在处的极限存在，求的值；（2）若在处连续，求的值。解：

（1），因为在处极限存在，所以，所以，即（2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且，由（1）知，且，又，所以。

【模拟试题】 一.选择题：

1.已知，则下列结论正确的是（）

A.B.不存在C.=1

D.= 2.的值为（）

A.5

B.4

C.7

D.0 3.的值为（）

A.1

B.0

C.D.4.的值为（）

A.B.C.1

D.5.若，则的取值范围是（）

A.B.C.D.6.若在上处处连续，则常数等于（）

A.0

B.1

C.2

D.7.在点处连续是在点处连续的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

8.的不连续点是（）

A.无不连续点

B.C.D.二.解答题： 1.求下列极限：

（1）

（2）

（3）2.为常数，1，求。

3.已知

（1）在处是否连续？说明理由；（2）讨论在和上的连续性。

【试题答案】 一.1.B

2.C

3.C D

二.1.解：（1）（2）

① 当时，∴

② 当时，∴

③ 当时，（3）2.解：∵

∴

∴，4.B

5.C

6.C

7.A

8.3.解：

（1）∵，则

∴

∵，且

∴

∵

∴ 不存在∴ 在处不连续（2）∵

∴ 在上是不连续函数 ∵

一、多元函数、极限与连续解读 篇7

一定法则总有确定的值与它对应，则称 是变量 x、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为

（或），点集 D 为该函数的定义域，x、y 为自

为该函数值域。由此变量，为因变量，数集也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是一张曲面。例如 面。

㈡二元函数的极限

⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域）D 内有定义，是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式，都有 的一切点

是球心在原点，半径为 1 的上半球

成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当

或 , 这里 时的极限，记作

。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。⒉注意：二重极限存在是指 都无限接近A。因此，如果条定直线或定曲线趋于

沿任意路径趋于，函数

沿某一特殊路径，例如沿着一时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。

㈢多元函数的连续性 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内有定义，是 D 的内点或边界点且

。如果

连续。如果函，则称函数 f（x，y）在点

数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。2 ．性质

⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；

⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；

⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两 个值之间的任何值至少一次；

⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。

二、偏导数和全微分 ㈠偏导数

⒈偏导数定义：设函数

在点 的某一邻域内有定义，时，相应地函数有增量

存在，则称此极限为

处对 的偏导数，记作，当 固定 在而 在处有增量，如果函数

或 类似，函数 在点

在点

处对 的偏导数定义为，记作

际中求，或。在实的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以求 时只要将暂时看作常量而对 求导数；求 时，则只要将 暂时看作常量而对 求导数。偏导数可以推广到二元以上的函数 注意：对于一元函数来说 可以看作函数的微分 分 之商，而偏导数的记

与自变量微号是一个整体符号，不能看作分母与分子之商。⒉偏导数的几何意义：设 过 做平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面，则导数

上的方程为

为曲面

上的一点，即偏导数

对 轴的 斜率。同样，偏导数 截得的曲线在点 的切线

处，就是这曲线在点 处的切线 的几何意义是曲面被平面 所对 轴的斜率。

在区域 D 内具有偏导数，都是，⒊高阶偏导数：设函数，那么在 D 内 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有以下四个二阶偏导数： ,。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理：如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。（即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。）㈡全微分

⒈全微分定义：如果函数

可表示为

赖于、而仅与、有关，在点

可微分，而

称

在点 的全增量，其中 A、B 不依，则称函数

为函数

在点 的全微分，记作，即。如果函数在区域 D 内各点都可微分，那么称这函数在 D 内可微分。定理 1（必要条件）：如果函数 函数在点 的偏导数

在点 的全微分为 在点

可微分，则该必定存在，且函数

。定理2（充分条件）：如果函数续，则函数在该点可微分。的偏导数 在点 连以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。习惯上将自变量的增量、分别记作、；并分别称为自变量的微分，则函数 的全微分可表示为 分等于它的两个偏微分之和

这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。

三、多元复合函数的求导法则 ㈠复合函数的全导数：如果函数 函数 在对应点

在点 可导，且

及

都在点 可导。通常将二元函数的全微具有连续偏导数，则复合函数 其导数可用下列公式计算：。此定理可推广到中间变量多余两个的情况，例如，，则，其中 称为全导数。上述定理还可推广

到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。㈡复合函数的偏导数 : 设 则

是

可微，函数，对，并且，的复合函数。如果 的偏导数存在，则 复合函数

对 的偏导数存在，且

㈢全微分形式的不变性 : 设函数 则有全微分 果、又是，如 的函数、具有连续偏导数，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合 函数 的全微分为

由此可见，无论 是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。

四、隐函数的求导公式 ㈠、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 ：设函数 有连续的偏导数，且，内恒能

唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满，则方程

在点 的某一邻域

在点 的某一邻域内具 足条件，并有

隐函数存在定理 2 ：设函数 具有连续的偏导数，且，一邻域

内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，则方程

在点 的某

在点 的某一邻域内，并有

㈡、方程组的情况 隐函数存在定理 3 ：设 某一邻域内、在点 的具有对各个变量的连续偏导数，又，且，偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）行列式）：

在点 点 不等于零，则方程组，在的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件，并有，，五、方向导数、梯度 ㈠、方向导数 1、定义：设函数

在点 的某一邻域 内有定义，自点 P 引射线。设轴正向到射线 的转角为 , 并设

为 上的另一点，且

。我们考虑函数的增量 的比

与 和 两点间的距离

值。当 沿着 趋于 时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数 在点沿着方向的方向导数，记作，即。、定理：如果函数 在点 是可微分的，那么函数，在该点沿任一方向 的方向导数都存在，且有 其中 为 x 轴到方向 的转角。上述定义也可推广到三元函数 着方向（设方向 的方向角为，其中，它在空间一点

沿）的方向导数可以定义为，如果函数在所考虑的点处可微，则函数在该点沿着方向 的方向导数为

㈡、梯度、定义(二元函数的情形)：设函数 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点量，这个向量称为函数，即，在点

在平面区域 D，都可定出一个向的梯度，记作，由梯度的定义可知，梯度的模为： 当 不为零时，x 轴到梯度的转角的正切为 2、与方向导数的关系：如果设

是与方向 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知：

由此可知，就是梯度在 上的投影，当方向 与梯度的方向一致时，有，从而 有最大值。所以沿梯度方向的方向导数达最大值，也就是说，梯度的方向是函数

在该点增长最快的方向，因此，函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。※上述所讲的梯度的概念也可推广到三元函数的情况。设函数 续偏导数，则对于每一点，这个向量称为函数

六、多元函数的泰勒公式、极值和几何应用 ㈠、二元函数的泰勒公式 定理：设 的连续偏导数，在点 的某一邻域内连续且有直到

阶

在空间区域 G 内具有一阶连，都可定出一个向量

在点 的梯度，即 为此邻域内任一点，则有

一般地，记号 表示

设，则上式可表示为

⑴，公式⑴称为二元函数

在点的n阶泰勒公式，而的表达式为拉格朗日型余项。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，则⑴式成为 n 阶麦克劳林

㈡、多元函数的极值 定理 1（必要条件）：设函数 数，且在点

在点（,）具有偏导(,)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

定理 2（充分条件）: 设函数 内连续且

有一阶及二阶连续偏导数，又)=A,(,)=B,(,)=C, 则 f(x,y)在（,）处是否取得极值的条件如下：，令

(,，在点（,）的某邻域⑴ AC->0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值，当 A>0 时有极小值；

⑵ AC-<0 时没有极值；

⑶ AC-=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。㈢、几何应用、空间曲线的切线和法平面： ⑴设空间曲线 的参数方程为 在曲线上取相应于 的一点，这里假设 解析几何中有，假设三个函数都可导，则曲线在点 M 处的切线方程为

均不为零。如果有个别为零，则应按空间关直线的对称式方程来理解。切线的方向向量成为曲线的切向量。向量

就是曲线 在点 M 处的一个切向量。

⑵通过点 M 而与切线垂直的平面称为曲线 在点 M 处的法平面，它是通过点

而与 T 为法向量的平面，因此方程为。

⑶若空间曲线 的方程以 为： 的形式给出 , 则切线方程，其中分母中带下标 0 的行列式表示

行列式在点 的值；曲线在点

处的法平面方程为 的值；曲线在点 处的法平面方程为、曲面的切平面和法线 ⑴若曲面方程为 M 处的

切平面的方程为：

；，是曲面上一点，则曲面在点

法线方程为： ⑵若曲面方程为，则切平面方程为